馬艷榮 汪曉勤

【摘要】兩角和與差的正弦和余弦公式常常被稱為平面三角學(xué)基本公式，用其中任何一個公式都能推導(dǎo)出其他公式。研究者從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，以相關(guān)數(shù)學(xué)史料為主線，通過設(shè)置層層遞進(jìn)的問題串，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷兩角和與差的余弦公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，從而以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生探究出歷史上的幾何模型，體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程。

【關(guān)鍵詞】HPM;問題串;重構(gòu)式

一、引言

兩角和與差的正弦和余弦公式常常被稱為平面三角學(xué)基本公式，用其中任何一個公式都能推導(dǎo)出其他公式。在數(shù)學(xué)史上，兩角和與差的正弦和余弦公式源于編制弦表的需要，因此，它們幾乎伴隨著三角學(xué)的誕生而誕生。在西方早期三角學(xué)教科書中，這些公式的幾何推導(dǎo)方法精彩紛呈[1]。

現(xiàn)行各種版本的高中數(shù)學(xué)教科書大多以兩角差的余弦公式作為出發(fā)點，只是所采用的引入方式和證明方法各有不同。初學(xué)者面對形式對稱的兩角和與差的余弦公式，常常會產(chǎn)生以下疑問：為何不按照三角函數(shù)的學(xué)習(xí)順序，先講兩角和與差的正弦，再講兩角和與差的余弦？這樣的公式一開始究竟是如何想到的？為何要引進(jìn)兩角和與差的正弦和余弦公式？

根據(jù)學(xué)生和教師的調(diào)查表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)兩角和與差的余弦公式時，存在以下困難：（1）難以想到用向量法或兩點間距離公式來推導(dǎo)兩角差的余弦公式;（2）用兩點間距離公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式時，難以想到差角的構(gòu)造;（3）利用帕普斯模型推導(dǎo)公式時，在用線段量角度、角的轉(zhuǎn)化與表示、添加輔助線構(gòu)造等量關(guān)系等步驟上存在一定困難。

已有的HPM視角下的教學(xué)設(shè)計[2-3]并沒有很好地解決上述問題。鑒于此，教師設(shè)置層層遞進(jìn)的問題串，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷兩角和與差的余弦公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，從而以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中。擬訂的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）能夠?qū)山呛团c差的余弦公式進(jìn)行簡單且正確的應(yīng)用（主要是化簡、求值），能夠進(jìn)行簡單三角恒等變換。

（2）經(jīng)歷兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和證明過程，體驗探究之樂，理解公式的多種證明方法，進(jìn)一步感受方法之美。

（3）領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。

（4）感受數(shù)學(xué)文化的魅力，感悟數(shù)學(xué)的人文精神。

二、數(shù)學(xué)史料

西方早期三角學(xué)教科書中，關(guān)于兩角和與差的正弦和余弦公式的最典型的推導(dǎo)方法是利用帕普斯模型，該幾何模型源于古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus）在《數(shù)學(xué)匯編》中提出的一個命ymbol^A@OB，垂足為H，交半圓于點E。過點H作OA、CD的垂線，垂足分別為G和M。再過點E作OA、HG的垂線，垂足為F和N。易知OH=cosβ，HG=sinαcosβ，OG=cosαcosβ，CH=HE=sinβ，CM=HN=cosαsinβ，MH=DG=GF=sinαsinβ。因為CD=MD+CM=HG+CM，OD=OG-DG，EF=HG-HN，OF=OG+GF，故得兩角和與差的正弦和余弦公式。

三、教學(xué)設(shè)計與實施

根據(jù)帕普斯模型，筆者設(shè)計了由11個問題組成的問題串[4-5]。

（一）課題引入

問題1：如何求30°和45°這些特殊角的正弦和余弦值？

生1：用計算器。

生2：通過測量。

生3：利用勾股定理。

生4：畫出一個斜邊為1的直角三角形，根據(jù)三角形的特殊性質(zhì)，利用勾股定理得出各邊的長度，然后用對邊比斜邊可得sin30°=12，sin45°=22，鄰邊比斜邊可得cos30°=32，cos45°=22。

問題2：能否利用45°和30°的正弦和余弦值求cos15°呢？

師：若用銳角α和β分別代替45°和30°，那么是否可以用α和β的正弦和余弦來表示cos（α-β）呢？

生：cos45°-cos30°=22-32，但是cos15°=cos（45°-30°）≠cos45°-cos30°。因此，對任意角α和β，等式cos（α-β）=cosα-cosβ不成立。

師：那究竟如何用α和β的正弦和余弦來表示cos（α-β）呢？帶著這樣一個問題，我們一起走進(jìn)今天的課題——兩角和與差的余弦公式。

（二）公式探究

問題3：如圖2，給定斜邊均為1、一個內(nèi)角分別為α和β的兩個直角三角形AOC和BO′D，如何構(gòu)造出α-β？

生1：將兩個直角三角形拼在一起，使頂點O和O′重合。

師：如何得到α-β？

生2：頂點O和O′重合，OC和O′D部分重合，則∠AOB=α-β（如圖3）。

生3：頂點O和O′重合，OC和O′B部分重合，則∠AOD=α-β（如圖4）。

師：由于時間關(guān)系，我們只選擇方法一（如圖3）和方法三（如圖5）進(jìn)行研究。

問題4：能否利用α和β盡可能將圖中的線段長度表示出來？

（教師將學(xué)生分成兩組，一組根據(jù)圖3進(jìn)行研究，一組根據(jù)圖5進(jìn)行研究。）

生：AC=sinα，OC=cosα，BD=sinβ，O′D=cosβ。

問題5：通過添加輔助線，能否找到一條線段，使其長度等于cos（α-β）？

生1：過點A作OB的垂線，垂足為N（如圖7），則ON=cos（α-β）。

生2：過點B作OC的垂線，垂足為N（如圖8），則ON=cos（α-β）。

師：很好，要研究cos（α-β），就需要研究線段ON的長度。

問題6：如何用α，β 的正弦和余弦來表示線段ON的長度？

在教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)，學(xué)生求圖7中線段OQ和線段QN的長度，以及圖8中線段OC和線段CN的長度，都遇到了困難。

師：同學(xué)們解題遇到了困難，看來還需要添加新的輔助線，對線段ON進(jìn)行分割。

生1：如圖9，過點C作OB的垂線，垂足為E，則OE=OCcosβ=cosαcosβ，ON=OE+EN。

生2：如圖10，過點D作ON的垂線，垂足為E，則OE=ODcosα=cosαcosβ，ON=OE+EN。

問題7：如何利用已知的三角比來表示線段EN的長度？

生1：如圖9，過點C作AN的垂線，垂足為F，在Rt△AFC中，CF=ACsinβ=sinαsinβ。

生2：如圖10，過點B作DE的垂線，垂足為F，在Rt△DFB中，BF=BDsinα=sinαsinβ。

問題8：能否利用已表示出來的線段長度建立cos（α-β）與α和β 的正弦和余弦之間的關(guān)系？

生1：如圖9，ON=OE+EN=OE+CF，即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

生2：如圖10，ON=OE+EN=OE+BF，即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

問題9：如圖10，以上推導(dǎo)是建立在α和β為銳角的前提下的。如果α和β為任意角，結(jié)論是否成立？

生：當(dāng)α和β是其他范圍內(nèi)時，可以利用誘導(dǎo)公式，證明公式也成立。

教師板書，即C（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（α，β為任意角）。

問題10：除了以上的幾何推導(dǎo)方法，推導(dǎo)兩角差的余弦公式，還有其他簡便方法嗎？

師：回憶剛才銳角情形下的帕普斯模型和任意角的定義，能否找到一個更簡便的幾何模型，直接得到任意角情形下的兩角差的余弦公式呢？

教師播放微視頻1，并板書展示用兩點間距離公式進(jìn)行推導(dǎo)的方法。微視頻1內(nèi)容如下。

帕普斯模型為我們帶來了直觀感知，但古代數(shù)學(xué)家僅僅滿足于銳角的情形。隨著角的推廣，數(shù)學(xué)家開始關(guān)心兩角差的余弦公式是否適用于任意角的情形。利用帕普斯模型得出的公式，還需借助誘導(dǎo)公式加以推廣，比較煩瑣。1941年，美國數(shù)學(xué)家麥克沙恩（E. J. McShane）對兩角差的余弦公式重新進(jìn)行了推導(dǎo)。如圖11所示，在單位圓中，α和β為任意角，它們的終邊與單位圓交于點B和C，其坐標(biāo)分別為B（cosα，sinα），C（cosβ，sinβ）。將△BOC沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得OC與OA重合，OB與OD重合，此時就是與α-β終邊相同的角。點D的坐標(biāo)為（cos（α-β），sin（α-β）），由AD=CB，利用兩點間距離公式得到兩角差的余弦公式。這也是教科書中所提供的證明方法。由形到數(shù)，兩點間距離公式的推導(dǎo)方法也適用于任意角的情形。

問題11：知道兩角差的余弦公式，你能直接得出兩角和的余弦公式嗎？

生：cos（α+β）=cosα-（-β）=cosαcos（-β）-sinαsin（-β）。

教師板書，即C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（α，β為任意角）。

（三）歷史回眸

教師播放微視頻2，內(nèi)容如下。

打開20世紀(jì)以前的任何一部西方三角學(xué)著作，我們發(fā)現(xiàn)公式中至少有一個是用幾何方法推導(dǎo)證明的。公元2世紀(jì)，古希臘著名數(shù)學(xué)家托勒密在編制弦表的過程中，發(fā)現(xiàn)并提出了后人以其名字命名的定理：圓內(nèi)接四邊形兩條對角線乘積等于兩組對邊乘積之和。利用該定理可推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式。公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯為我們提供了許多三角公式的幾何模型。20世紀(jì)中葉以前，絕大多數(shù)三角學(xué)教科書都采用了帕普斯模型來證明銳角情形下的兩角和與差的余弦公式，然后利用誘導(dǎo)公式，證明任意角的情形。我們剛才課堂上帶領(lǐng)大家探索的兩角差的余弦公式的幾何模型正是帕普斯模型為我們帶來的靈感。而今天，我們對兩角和與差的余弦公式證明方法的探索仍未止步，不少學(xué)者還利用出入相補(bǔ)原理，推導(dǎo)出面積視角下的兩角和與差的余弦公式。

（四）公式應(yīng)用

例1利用兩角和與差的余弦公式求cos15°和cos75°的值。

例2化簡cosαcos（60°-α）-sinαsin（60°-α）。

例3求證下列恒等式。

（1）cosπ2-α=sinα;（2）sinπ2-α=cosα。

設(shè)計意圖：教師請學(xué)生作答，讓學(xué)生熟練運用公式，并體會三角代換的思想，為下節(jié)課學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦公式做鋪墊。

（五）小結(jié)延伸

教師和學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。

1三種方法。基于帕普斯模型的兩種方法的核心思想是通過構(gòu)造直角三角形，找出相應(yīng)的三角函數(shù)線段，直觀性比較強(qiáng);而麥克沙恩的旋轉(zhuǎn)法的優(yōu)點在于簡潔方便，可以直接得出任意角的兩角差的余弦公式，突破了帕普斯模型從銳角到鈍角的局限性。

2兩類素養(yǎng)。通過兩個幾何模型推導(dǎo)兩角差的余弦公式，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)。

3一個專題。微視頻2呈現(xiàn)了“兩角和與差的余弦公式”的歷史，拓寬了學(xué)生的視野，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的人文精神。

最后，教師讓學(xué)生課后解決以下問題。

（1）利用公式cos（αβ）=cosαcosβ±sinαsinβ，cosπ2-α=sinα和sinπ2-α=cosα，推導(dǎo)關(guān)于sin（α±β）的公式。

（2）利用α-β的構(gòu)造方法二和方法四，能否推導(dǎo)兩角差的余弦公式？

四、學(xué)生反饋

（一）視頻分析結(jié)果

弗蘭德斯互動分析系統(tǒng)的結(jié)果顯示[6]，教師以問題驅(qū)動的形式來加強(qiáng)師生間的互動，對于學(xué)生的回答，教師能及時做出回應(yīng)，并加以追問，課堂氣氛較活躍，學(xué)生參與度較高。

（二）問卷調(diào)查結(jié)果

在兩次教學(xué)的實施過程中，大部分學(xué)生認(rèn)為教師在公式推導(dǎo)過程中設(shè)置的層層遞進(jìn)的問題可以引導(dǎo)他們步步深入地分析問題、解決問題和建構(gòu)知識，幫助他們深入理解推導(dǎo)過程，形成較為完整和清晰的知識體系，同時可以引領(lǐng)他們突破難點，掃清學(xué)習(xí)障礙[7]。教師讓學(xué)生利用幾何模型推導(dǎo)sin（α+β），學(xué)生能夠給出4種解決方法，且在第二次教學(xué)中，6857的學(xué)生能給出完整的證明過程。有關(guān)線段度量角度、角的轉(zhuǎn)化與表示、添加輔助線構(gòu)造等量關(guān)系等，大部分學(xué)生的困惑也得到了解決。

（三）學(xué)生訪談結(jié)果

課后教師分別對5名學(xué)生進(jìn)行了訪談，進(jìn)一步了解學(xué)生對兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)過程的理解與掌握情況，以及對HPM問題串教學(xué)的反饋情況。從學(xué)生的反饋可以看出，HPM問題串在一定程度上能夠激發(fā)學(xué)生的思考，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)難點，促進(jìn)知識的理解。學(xué)生訪談結(jié)果表明，以微視頻銜接基于帕普斯模型的幾何方法和基于兩點間距離公式的解析幾何方法，促進(jìn)了學(xué)生對后者的理解。從特殊到一般的研究方法，加深了學(xué)生對公式推導(dǎo)過程的理解。同時可以看出，學(xué)生的回答與FIAS互動分析的結(jié)果基本吻合，這表明，F(xiàn)IAS量化數(shù)據(jù)是有效的。

五、結(jié)語

課堂從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，以相關(guān)數(shù)學(xué)史料為主線，通過設(shè)置層層遞進(jìn)的問題串，由易到難，逐步探究兩角和與差的余弦公式，可學(xué)性較強(qiáng)。從趣味性方面看，幾何的味道較濃，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高。此外，有關(guān)兩角和與差的余弦公式歷史的微視頻，在一定程度上激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情與興趣。從有效性方面看，學(xué)生自行探究3分鐘，為學(xué)生留下了充分思考的空間，能較好發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生自己探究出歷史上的幾何模型，體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程。

因此，要想讓數(shù)學(xué)史自然融入課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)問題串的設(shè)計不可或缺。問題串的設(shè)計是HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，問題串的使用將更完整地為我們再現(xiàn)概念、公式、定理和思想的發(fā)生和發(fā)展歷史，使數(shù)學(xué)史的教育價值得以最大化地發(fā)揮，使數(shù)學(xué)課堂變得流暢而精彩。問題1到問題11，一線貫穿，構(gòu)成了一個完整的問題串，緊扣教學(xué)目標(biāo)，堅持以學(xué)生為主體，關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以帕普斯模型為主線貫穿始終，讓學(xué)生在歷史的長河中享受探究之樂，體會方法之美，感悟文化之魅。每一個問題的設(shè)計都具有一定的指向性，保證了問題之間的連貫性。但問題串設(shè)計的自然性還有待改善，尤其問題10的銜接過于生硬，若沒有微視頻的輔助，更是讓學(xué)生琢磨不透。

利用帕普斯模型推導(dǎo)兩角差的余弦公式時，學(xué)生主要在利用線段度量角度、角的轉(zhuǎn)化與表示、添加輔助線構(gòu)造等量關(guān)系三個方面存在困難，數(shù)學(xué)史的融入能夠引導(dǎo)學(xué)生深入理解公式的推導(dǎo)。學(xué)生之所以對公式中的符號變換混淆不清，并且陷入“死記硬背”的誤區(qū)，主要在于不理解公式背后所揭示的單角和復(fù)合角之間的關(guān)系，而數(shù)學(xué)史的融入能夠幫助學(xué)生走出公式記憶誤區(qū)。數(shù)學(xué)史的融入在促進(jìn)學(xué)生公式運用方面效果不明顯，盡管大部分學(xué)生在課后測試卷中能夠運用公式解決一些簡單問題，能夠發(fā)現(xiàn)簡單問題中所隱藏的兩角差的余弦公式。但是訪談結(jié)果表明，學(xué)生在公式運用過程中還存在一些困惑。要想解決公式運用過程中的困惑，一節(jié)課的效果并不是很明顯，需要后續(xù)的不斷練習(xí)作為輔助，在更深入理解其背后的代換思想后，學(xué)生才會慢慢有所體會，公式運用起來才能得心應(yīng)手。

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