尚亞明，何憶捷，熊 斌

國外數(shù)學(xué)問題提出能力影響因素的研究述評——基于學(xué)生自身的知識經(jīng)驗和觀念系統(tǒng)等“變量”因素

尚亞明，何憶捷，熊 斌

（華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生問題提出能力的發(fā)展不僅與教師的教學(xué)有關(guān)，還受到學(xué)生自身已有的觀念系統(tǒng)與知識經(jīng)驗等“變量”因素的影響．論述數(shù)感、符號意識、空間觀念、推理能力、問題意識、學(xué)習(xí)方式等6個學(xué)生“變量”在數(shù)學(xué)教育中的大致發(fā)展進(jìn)程和主要概念解釋，對國外有關(guān)問題提出學(xué)生“變量”的研究成果進(jìn)行分析和述評，為中國問題提出能力的培養(yǎng)和教學(xué)提供了借鑒和思考的方向：關(guān)注不同內(nèi)容領(lǐng)域的問題提出特點研究；加強(qiáng)學(xué)生自身主觀因素對問題提出能力的影響研究．

問題提出；數(shù)學(xué)問題提出；影響因素；變量

美國教育家Silver給出了被國際數(shù)學(xué)教育界廣泛認(rèn)同的問題提出的概念：“問題提出是指通過對情境的探索產(chǎn)生新問題或在解決問題過程中對問題的再闡述．”[1]問題提出對學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn)，在新的情境提出問題或?qū)σ延袉栴}進(jìn)行新的闡釋，可培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性和靈活性，增強(qiáng)學(xué)生問題解決能力，豐富、鞏固其對數(shù)學(xué)基本概念的理解．隨著問題提出教學(xué)研究走進(jìn)課堂，問題提出開始成為數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者共同關(guān)注的研究話題，由理論論證支持的問題提出在學(xué)校數(shù)學(xué)中的重要性隨著經(jīng)驗證據(jù)的增多而得到加強(qiáng)，研究者們開始積極探索影響學(xué)生問題提出能力發(fā)展的各種因素，如概念理解、教學(xué)方法和學(xué)習(xí)動機(jī)等．

中國學(xué)者夏小剛首次提出了問題提出“變量”的概念，認(rèn)為問題提出與學(xué)生在學(xué)習(xí)或與教師交往過程中的許多潛藏的或外顯的“變量”因素有關(guān)，如學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、推理能力、問題意識和學(xué)習(xí)方式，以及教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀、教學(xué)問題意識、教學(xué)態(tài)度、教學(xué)方式和教學(xué)技能等[2]．6個學(xué)生“變量”中，不論是屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》十大關(guān)鍵詞中的數(shù)感、符號意識、空間觀念、推理能力，還是其它視角下的問題意識、學(xué)習(xí)方式，根據(jù)夏小剛的研究[2]，它們都與學(xué)生自身的知識經(jīng)驗和觀念系統(tǒng)有關(guān)，影響著學(xué)生問題提出能力的發(fā)展．國外學(xué)者在問題提出的“變量”研究中，尤其是在學(xué)生“變量”方面，取得了大量的研究理論與成果．

下面將借鑒夏小剛的觀點，從數(shù)感、符號意識、空間觀念、推理能力、問題意識及學(xué)習(xí)方式這6個學(xué)生“變量”出發(fā)，選取國外學(xué)界對問題提出學(xué)生“變量”的研究進(jìn)行評述，以期為國內(nèi)教育研究者進(jìn)行問題提出能力的培養(yǎng)研究，以及教師如何開展問題提出教學(xué)實踐提供一些思考與借鑒．

1 數(shù)感與問題提出

1954年，Dantzing首次提出“數(shù)感”的概念：數(shù)感（number sense）是對微小數(shù)量變化的一種直覺感受[3]．由于數(shù)感的高度個性化，不同的論者持有不同的見解，因此，目前學(xué)界還沒有關(guān)于“數(shù)感”的統(tǒng)一定義．美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）在1989年的《中小學(xué)課程和評量標(biāo)準(zhǔn)》中曾提出：數(shù)感是對數(shù)的一種直觀感受，它從數(shù)字的所有不同的意義的表現(xiàn)得以體現(xiàn)[4]；中國在2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》首次將“數(shù)感”作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容列為六大學(xué)習(xí)內(nèi)容（數(shù)感、符號感、統(tǒng)計觀念、空間觀念、推理能力、應(yīng)用意識）之首，并對數(shù)感做了描述性的敘述：理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體環(huán)境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估計運(yùn)算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性做出解釋[5]．至于數(shù)感的培養(yǎng)，有學(xué)者[3]指出：兒童數(shù)感的發(fā)展主要在學(xué)前和小學(xué)低年級階段進(jìn)行，會影響兒童以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心，與兒童以后的數(shù)學(xué)成就密切相關(guān)．因此，對數(shù)感的早期培養(yǎng)顯得至關(guān)重要．

單獨(dú)的數(shù)感教學(xué)或問題提出教學(xué)都給教師帶來了極大的挑戰(zhàn)，教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感和問題提出能力的同時，還要確保課程的平衡與實施．研究者們迫切需要回答諸如“就提出數(shù)學(xué)問題而言，數(shù)感該如何教，怎樣學(xué)，怎么應(yīng)用以及兩者之間到底是怎樣的關(guān)系”等問題．通過大量的努力，學(xué)生的數(shù)感和問題提出能力之間的關(guān)系愈來愈明顯，但聚焦于兩者之間關(guān)系的研究卻仍少見．就數(shù)感對問題提出能力的影響而言，國外學(xué)者進(jìn)行了探索性的研究．比如，澳大利亞學(xué)者English在對27名具有不同數(shù)感和問題解決能力表現(xiàn)的小學(xué)五年級學(xué)生所進(jìn)行的為期十周的實驗研究[6]（設(shè)實驗組、控制組）中，按照測試水平，將被試分為3類：數(shù)感強(qiáng)但問題解決能力弱型、數(shù)感弱但問題解決能力強(qiáng)型、兩者都強(qiáng)型，并要求學(xué)生分別在常規(guī)和非常規(guī)的問題情境下創(chuàng)設(shè)和提出數(shù)學(xué)問題．通過分析發(fā)現(xiàn)，實驗組學(xué)生的問題提出能力均得到了不同程度的提高，且數(shù)感和問題解決能力在學(xué)生的問題提出發(fā)展中扮演了很重要的角色（可通過提出的問題特點來體現(xiàn)）．在此基礎(chǔ)上，English又就不同數(shù)感和問題解決能力的小學(xué)生在提出數(shù)學(xué)問題上存在的特點進(jìn)行分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，數(shù)感和問題解決能力較強(qiáng)的學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性和運(yùn)算復(fù)雜性上比較平衡[7]．進(jìn)一步地講，在問題提出的過程中，那些具有較強(qiáng)的數(shù)感和問題解決能力的學(xué)生往往能夠提出數(shù)量較多且復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，而數(shù)感較弱的學(xué)生在提出數(shù)學(xué)問題，尤其是復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時通常會遇到困難．上述研究為國內(nèi)有關(guān)問題提出的影響因素研究及問題解決與問題提出之間的關(guān)系研究提供了一些方向．

2 符號意識（符號感）與問題提出

19世紀(jì)以來，國內(nèi)外學(xué)者、數(shù)學(xué)教育研究者對學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的研究逐漸成為熱點．最初，“符號感”的提出是與“數(shù)感”相平行的一個概念．學(xué)生在算術(shù)中形成的直覺稱之為“數(shù)感”（number sense），那么關(guān)于代數(shù)的直覺自然而然就形成了“符號感”（symbol sense）．“符號感”與“符號意識”在英文中是不加區(qū)別的，都用“symbol sense”表示．由于符號意識的多層面性和復(fù)雜性，目前學(xué)界對其還未形成統(tǒng)一的界定，但許多教育學(xué)者都討論和分析了符號意識的實質(zhì)內(nèi)涵．國外關(guān)于“Symbol Sense”理論比較有代表性的是Fey和Abraham Arcavi的研究，他們都認(rèn)為人們對數(shù)感的研究已經(jīng)很廣泛了，但對符號意識的關(guān)注還不夠．Fey認(rèn)為符號意識是進(jìn)行符號表達(dá)和符號操作的非正式技能（informal skill）[8]．Arcavi在Fey的基礎(chǔ)上對符號意識的目標(biāo)成分進(jìn)行擴(kuò)充[9]，指出符號感是一種對符號快速準(zhǔn)確的欣賞和直覺感悟，并羅列出7個他所理解的符號意識的例子．在國內(nèi)，自2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》首次提出“符號感”，經(jīng)過十年的課程實踐，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在經(jīng)驗總結(jié)中反思，最終將符號感修改為符號意識，但仍然只是對其進(jìn)行表現(xiàn)性的行為描述，提出符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推測，得到的結(jié)論具有一般性[10]．以后關(guān)于符號意識的闡釋多以此為基礎(chǔ)，表現(xiàn)出一致性．

數(shù)學(xué)符號是抽象思維的主要表征形態(tài)，可以表示現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律．事實上，每位數(shù)學(xué)教師都知道，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開符號意識的發(fā)展．符號意識的缺乏將直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和感悟．教師在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的一項重要任務(wù)，就是引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)活動，親身體驗數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所起的積極作用，形成對數(shù)學(xué)符號的內(nèi)化．問題是數(shù)學(xué)活動的主要載體，可驅(qū)動學(xué)生的思維發(fā)展．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是學(xué)生完成數(shù)學(xué)活動的前提，也是符號意識教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，對于學(xué)生猜想、探究等思維的發(fā)展有著重要作用．無疑，學(xué)生符號意識的發(fā)展離不開問題提出，反過來符號意識又能有效地發(fā)展學(xué)生的問題提出能力，這已被國外相關(guān)研究所證實．比如，English曾要求被測試的小學(xué)三年級學(xué)生在常規(guī)符號（僅限加號和減號）或部分常規(guī)符號所缺失的問題情境下提出數(shù)學(xué)問題，以研究學(xué)生能否識別常規(guī)符號并提出盡可能多的正確數(shù)學(xué)問題[7]．通過分析發(fā)現(xiàn)，那些能夠正確識別數(shù)學(xué)符號的學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題在前后語義結(jié)構(gòu)上往往都是一致的．進(jìn)一步來說，在問題提出的活動中，符號意識對問題提出能力的發(fā)展有一定的影響和作用，符號意識強(qiáng)的學(xué)生通常有著較好的問題提出表現(xiàn)．María等人在對55個已完成初中課程且有問題提出經(jīng)驗的學(xué)生所進(jìn)行的調(diào)查研究[11]中，要求被試根據(jù)一份含有8個由代數(shù)符號所表征的封閉陳述的問卷（問卷中沒有顯示具體的數(shù)學(xué)問題）創(chuàng)建數(shù)學(xué)問題．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生運(yùn)用代數(shù)符號的能力會影響學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的類型和復(fù)雜性，可通過他們提出問題的語法和語義結(jié)構(gòu)間的差異來體現(xiàn)．更深一步地說，符號意識強(qiáng)的學(xué)生通常能提出正確且復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．學(xué)者Stephens曾通過線性方程對學(xué)生的問題提出能力進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)這種既包含變量又包含代數(shù)符號的內(nèi)容可以提高學(xué)生的問題提出能力，但前提是學(xué)生需要正確理解代數(shù)符號本身所代表的數(shù)學(xué)意義[12]．同樣地，Elena等人在對中學(xué)生的問題提出能力所進(jìn)行的兩次研究[13–14]中，要求被測試學(xué)生根據(jù)與日常生活情境相關(guān)且包含方程和方程組的問卷，提出運(yùn)用已有的方程和方程組所提供的概念性知識而能解決的數(shù)學(xué)問題．通過分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念性知識的正確理解可促使學(xué)生提出更多的可解決的數(shù)學(xué)問題，也就是說，符號意識對學(xué)生的問題提出能力有一定的積極作用．對國內(nèi)的相關(guān)研究來說，上述研究不僅能幫助理解符號意識與問題提出之間的關(guān)系，還為研究學(xué)生在方程主題上的問題提出特點提供了參考．

3 空間觀念與問題提出

在幾何課程中，空間想象力一直被認(rèn)為是諸多數(shù)學(xué)能力中的重要部分，而隨著20世紀(jì)幾何教育的落后，教育家開始逐漸認(rèn)識到作為空間想象力發(fā)展基礎(chǔ)的空間觀念（spatial sense）對幾何發(fā)展的重要性．長久以來，國內(nèi)外學(xué)術(shù)界對空間觀念的研究已有很多，但對空間觀念的界定卻一直沒有定論．1989年的美國《數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》對空間觀念有比較明確的描述：“空間觀念是一個人對周圍環(huán)境和實物的直接感知；對二、三維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果[4]是空間觀念的重要方面．”《全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》于2001年首次將“空間觀念”明確納入中國數(shù)學(xué)課程，作為義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生初步的創(chuàng)新精神和實踐能力的一個重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，并給出了空間觀念表現(xiàn)性的具體描述：“能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從比較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實物或幾何圖形的運(yùn)動和變化；能采用適當(dāng)?shù)姆椒枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考”[5]．而在其與幾何課程的關(guān)系上，Coxford認(rèn)為“心理學(xué)家必須提供空間—幾何概念的基本信息而數(shù)學(xué)教育家必須將它們放在適當(dāng)?shù)奈恢谩盵15]．

如何在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)重點．學(xué)生空間觀念的發(fā)展不是隨著年齡的增長和心理成熟而自然獲得的，而是經(jīng)由適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)干預(yù)而逐漸提升的．關(guān)于問題提出能力發(fā)展規(guī)律的研究也得出了類似的結(jié)論：問題提出能力可能不是學(xué)生擁有的一種自然技能，教師或研究者需要設(shè)計一些教學(xué)干預(yù)來提升學(xué)生的問題提出能力[16]．但就問題提出教學(xué)而言，教師需要清楚知道空間觀念和問題提出之間的關(guān)系，以保證學(xué)生問題提出能力得到發(fā)展的同時，又能兼顧學(xué)生空間觀念的提升．國外學(xué)者對此進(jìn)行了大量的探索性研究，并取得了有益的研究成果．比如，Elif和Hasan對46個八年級學(xué)生的問題提出能力進(jìn)行了研究[17]，要求被試根據(jù)3個與四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)、幾何領(lǐng)域相關(guān)的半結(jié)構(gòu)化問題情境提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并對提出的問題從靈活性、創(chuàng)新性與復(fù)雜性進(jìn)行分析．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對3個數(shù)學(xué)主題的概念理解對學(xué)生問題提出能力有重要的影響和作用．而單從幾何領(lǐng)域來看，空間觀念在學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的過程中發(fā)揮了重要的積極作用，并且問題提出也可以很好地促進(jìn)學(xué)生對空間概念的理解和學(xué)習(xí)．Puay[16]等人在對480個無問題提出經(jīng)驗學(xué)生的問題提出特點進(jìn)行了研究，要求被試學(xué)生根據(jù)兩個幾何任務(wù)情境創(chuàng)設(shè)和提出可解決的數(shù)學(xué)問題，并從提出問題的種類、問題所包含的信息、解決方案的種類和所涉及的知識領(lǐng)域進(jìn)行分析．通過分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的空間觀念在自身提出問題的過程中發(fā)揮了一定的積極作用，同時，問題提出也能培養(yǎng)學(xué)生理解各空間主題之間聯(lián)系的能力．Mahendra等人曾將“問題提出學(xué)習(xí)模式”修改成“現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育下的問題提出學(xué)習(xí)模式”，并先后兩次研究其對初中生及高中生幾何學(xué)習(xí)的影響，結(jié)果表明現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育下的問題提出教學(xué)模式可以提高學(xué)生的幾何想象能力和對幾何概念的理解，而在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的問題提出能力也得到進(jìn)一步地提升[18–19]．Majid等人為調(diào)查“What if Not”策略對學(xué)生提出幾何問題能力的影響，要求被試參與到為期6個月的“What if Not”策略的教學(xué)試驗研究，并對被試在試驗前提出的問題和試驗后提出的問題進(jìn)行對比分析．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，“What if Not”策略的教學(xué)設(shè)計可以加強(qiáng)學(xué)生對相關(guān)空間概念的聯(lián)系和理解，從而使他們提出更復(fù)雜的幾何問題，同時，隨著學(xué)生空間觀念的提高，學(xué)生提出問題的能力也得到提高[20]．這也與English早期的研究結(jié)果不謀而合[21]．上述研究為國內(nèi)相關(guān)研究提供了一些思考的方向，比如，學(xué)生在幾何情境下的問題提出特點怎樣；依據(jù)其特點，采取怎樣的方法、模式進(jìn)行教學(xué)會比較有效等．

4 推理能力與問題提出

推理（reasoning）是由一個或幾個已知判斷推出另一未知判斷的思維形式．?dāng)?shù)學(xué)教育的核心是數(shù)學(xué)思維問題，而數(shù)學(xué)思維活動的核心又是數(shù)學(xué)推理．?dāng)?shù)學(xué)推理按其結(jié)論的可信度分為兩種：用于開展數(shù)學(xué)證明的演繹推理（deductive reasoning）與用于發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題并尋求問題解答的探索過程的合情推理（plausible reasoning）．?dāng)?shù)學(xué)對發(fā)展推理能力的作用不言而喻，但從歷史發(fā)展的角度看，許多國家對推理能力的要求并非是一個一勞永逸的過程，而是一個不斷發(fā)展完善的過程．比如，中國在1963年首次將邏輯推理能力納入數(shù)學(xué)教育目標(biāo)，之后將其納入思維能力，成為邏輯思維能力的一部分，2001年又以獨(dú)立于思維能力的形式被單獨(dú)提出，成為學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)之一；美國在1989年由NCTM首次提出數(shù)學(xué)推理能力，并在2000年將數(shù)學(xué)推理能力改為推理與證明能力等．

問題提出和問題解決一樣，是數(shù)學(xué)思維的中心．問題提出是數(shù)學(xué)思維的重要過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中推理與交流的重要環(huán)節(jié)．在某種程度上，問題提出能促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展，同時，推理也能發(fā)展學(xué)生的問題提出能力．比如，學(xué)者Cheng曾要求測試對象根據(jù)兩個與分?jǐn)?shù)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)任務(wù)在問題解決后提出數(shù)學(xué)問題[22]，以研究學(xué)生的推理能力、問題解決能力和問題提出能力之間的關(guān)系．結(jié)果表明，問題提出是問題解決和推理之間的“橋梁”，可以促進(jìn)學(xué)生問題解決和推理能力的發(fā)展，而在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的問題提出能力也會得到提升．進(jìn)一步地說，推理能力和問題解決能力對學(xué)生自身問題提出能力的提高有重要的積極作用．事實上，任務(wù)的選擇對學(xué)生獲得提出問題和推理的機(jī)會是至關(guān)重要的，特別是有挑戰(zhàn)性的任務(wù)．Sullivan等人在對小學(xué)5個班級學(xué)生所進(jìn)行的研究[23]中，要求被試通過一些有挑戰(zhàn)性的任務(wù)來創(chuàng)建數(shù)學(xué)問題，以調(diào)查和研究學(xué)生的推理能力和問題解決能力．通過研究發(fā)現(xiàn)，根據(jù)挑戰(zhàn)性任務(wù)提出數(shù)學(xué)問題能激發(fā)學(xué)生的思維，提升學(xué)生的推理能力和問題解決能力，而在此過程中，學(xué)生的問題提出能力也會得到更進(jìn)一步地發(fā)展．在課堂教學(xué)中，教師習(xí)慣用講授法進(jìn)行授課，學(xué)生在形成和解決問題時缺乏對數(shù)學(xué)推理能力的實踐．研究者Zaenab大膽嘗試，用新穎的“問題提出”學(xué)習(xí)模式取代傳統(tǒng)的授課法，并對學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，“問題提出”學(xué)習(xí)模式可以發(fā)展學(xué)生在形成和解決問題過程中的數(shù)學(xué)推理能力，同時，問題解決能力和推理能力的發(fā)展也能促進(jìn)學(xué)生自身問題提出能力的提高[24]．在發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過程中，提出一個問題往往比解決一個問題更重要，教師需要通過各種各樣的途徑來發(fā)展學(xué)生的問題提出能力．Putra等人從學(xué)生問題提出能力的培養(yǎng)出發(fā)，使用一套包含觀察、嘗試、推理等數(shù)學(xué)活動的練習(xí)題對學(xué)生進(jìn)行測試，并運(yùn)用“What-if-not”策略對學(xué)生的問題提出能力進(jìn)行分析，結(jié)果表明，包含推理等活動的練習(xí)題與學(xué)生的問題提出能力有很重要的正相關(guān)性[25]．進(jìn)一步來說，推理對學(xué)生問題提出能力的提升有促進(jìn)作用．隨著統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展，統(tǒng)計推理開始走進(jìn)人們的視線．統(tǒng)計推理是含有統(tǒng)計信息和統(tǒng)計觀點的推理[26]．Lavigne等人認(rèn)為調(diào)查情境的選取對于推理能力的檢測很重要，問題提出情境比實驗等其它情境更有效，而經(jīng)過研究也發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計推理在學(xué)生提出問題的過程中也起到很重要的積極作用[27]．上述研究不僅深入剖析了學(xué)生推理能力對問題提出能力的影響作用，也在問題提出的策略和教學(xué)模式方面進(jìn)行了有益探索．國內(nèi)相關(guān)研究應(yīng)從研究思路上進(jìn)行拓展，在深度把握兩者關(guān)系的基礎(chǔ)上，尋找行之有效的方法與模式，幫助學(xué)生更好地提出問題．

5 問題意識與問題提出

“問題意識”（problem sense）一詞最早見于錢學(xué)森的《關(guān)于思維科學(xué)》，用來描述直覺思維的形成過程．時至今日，學(xué)界對“問題意識”并沒有形成一個統(tǒng)一的界定，可謂是仁者見仁，智者見智，但國內(nèi)外教育專家、學(xué)者都非常關(guān)注學(xué)生的問題意識的培養(yǎng)．基于數(shù)學(xué)問題意識的培養(yǎng)在歐美國家的研究起步較早，在教學(xué)中的應(yīng)用也較多．美國強(qiáng)調(diào)“問題意識”的教學(xué)探索開始于20世紀(jì)60年代，許多教育學(xué)者相繼在中小學(xué)展開了意在培養(yǎng)問題意識的改革實驗，在問題意識與實際教學(xué)的整合中取得了一定的成果，并逐漸成為國際趨勢．而國內(nèi)針對學(xué)生問題意識培養(yǎng)的專門研究開始于20世紀(jì)90年代，幾十年來，這一研究也由最初的教學(xué)經(jīng)驗總結(jié)，逐漸走向了理論建構(gòu)與實證研究的方向．

問題意識的產(chǎn)生是學(xué)生提出問題的前提，人們對這點早已認(rèn)同并深信不疑．提出問題需要評判性的思維、評估和反思等，提出一個新的問題并且不斷完善它，目的在于探索相關(guān)的問題提出活動的給定情境．然而，在某些情況下，學(xué)生在提出問題的過程中可能會遇到困難．Supianto等人指出這樣的困難與問題的結(jié)構(gòu)有關(guān)，應(yīng)在問題提出的環(huán)境中設(shè)置某些“腳手架”來幫助學(xué)生加強(qiáng)對問題結(jié)構(gòu)的意識，從而使學(xué)生的問題提出能力得到進(jìn)一步提高[28]．自1980年美國數(shù)學(xué)教育協(xié)會在《關(guān)于行動的議程》（）中提出“必須把問題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心”以后，問題解決已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中的熱點之一．問題解決是用來掌握數(shù)學(xué)專業(yè)知識的必不可少的學(xué)習(xí)活動，為了增加學(xué)習(xí)的有效性，學(xué)生必須要有問題間差異性的意識．有學(xué)者認(rèn)為通過改變已有問題的條件來提出新問題的過程，有助于學(xué)生意識到問題間的差異性并更好地提出數(shù)學(xué)問題，如Polya、Brown等[29–30]．事實上，在提出新問題的過程中，學(xué)生的反饋是很重要的，而為了得到有效的反饋，教師或?qū)W生需要對新問題做出評估．Hirashima等人曾要求測試學(xué)生在一個能評估問題變化并能及時給予反饋的互動學(xué)習(xí)環(huán)境下提出數(shù)學(xué)問題，并對學(xué)生的問題意識進(jìn)行分析．通過分析發(fā)現(xiàn)，評估—反饋的學(xué)習(xí)環(huán)境可以加強(qiáng)學(xué)生對原問題和新問題間差異性的意識[31]，而在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的問題提出能力會得到提高．以上研究表明，問題意識可以促進(jìn)學(xué)生問題提出能力的提高，問題提出從某個層面上也可以培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，問題意識和問題提出之間是相輔相成、相互促進(jìn)的關(guān)系．這對國內(nèi)闡述二者之間關(guān)系的相關(guān)研究提供了依據(jù)與幫助．

6 學(xué)習(xí)方式與問題提出

“學(xué)習(xí)方式”（learning style）一詞最早是由美國學(xué)者哈伯特·塞倫于1954年提出的，是指人們在學(xué)習(xí)過程中習(xí)慣或者偏愛的方式[32]．目前教育學(xué)界對它的解釋并不完全統(tǒng)一，中外學(xué)者由于其視角和立場的不同，都有著自己別具一格的看法．正如托馬斯·貝勒所指出，學(xué)習(xí)方式的定義幾乎與此課題的研究者一樣多．20世紀(jì)中后期，世界各國紛紛推進(jìn)教育改革，都把轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式作為重要的切入口，如美國提倡以探究式為特征的學(xué)習(xí)，注重培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作學(xué)習(xí)的能力；日本推出“個性教學(xué)”的教育方針，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動要以學(xué)生為主體，培養(yǎng)學(xué)生問題意識和創(chuàng)造力等．而在國內(nèi)，自2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》明確指出“有效的學(xué)習(xí)活動不能單純依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探究、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”后，廣大研究者對于轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式的研究與探索逐日增多，逐步形成了自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)等多樣化的學(xué)習(xí)方式．

問題提出不僅是一種教學(xué)的目的或方法，也是一種學(xué)習(xí)模式，是一種具有哲學(xué)意義的學(xué)習(xí)理念與學(xué)習(xí)價值觀．盡管問題提出教學(xué)已經(jīng)被學(xué)生接受并對學(xué)生的學(xué)業(yè)成就及學(xué)習(xí)態(tài)度起到了積極的促進(jìn)作用，但聚焦于課堂的調(diào)查研究仍舊匱乏[1]．研究者們開始探索在課堂上作為學(xué)習(xí)模式的問題提出與學(xué)習(xí)方式之間的影響關(guān)系，如Aprisetyani等人在對問題提出學(xué)習(xí)模式下學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就所進(jìn)行的研究[33]中，曾要求被試學(xué)生按照視覺型、聽覺型、動作型3種學(xué)習(xí)方式提出數(shù)學(xué)問題，并對提出問題的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行兩兩對比分析．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，視覺型和聽覺型學(xué)生對問題提出的學(xué)習(xí)效果是一樣的，聽覺型和動作型學(xué)生對問題提出的學(xué)習(xí)效果也是一樣的，但視覺型學(xué)生對問題提出的學(xué)習(xí)效果卻比動作型學(xué)生的學(xué)習(xí)效果好．也就是說，在問題提出活動中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式對問題提出能力的發(fā)展具有一定的影響．Winihati等人通過比較問題提出與合作學(xué)習(xí)、問題提出、傳統(tǒng)教學(xué)3種模式對學(xué)生數(shù)學(xué)成就的影響，發(fā)現(xiàn)問題提出與合作學(xué)習(xí)模式的影響效果最好[34]．進(jìn)一步地說，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，合作學(xué)習(xí)能促使學(xué)生更好地提出數(shù)學(xué)問題，以達(dá)到理想的學(xué)習(xí)效果．學(xué)生的學(xué)習(xí)方式具有多樣性和差異性，而如何在學(xué)習(xí)方式和問題提出之間找到恰當(dāng)?shù)钠鹾宵c是教師進(jìn)行有效問題提出教學(xué)的關(guān)鍵．國內(nèi)相關(guān)研究應(yīng)為解決這個問題而努力．

7 結(jié)語

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生與教師基于課堂對話與教學(xué)互動形成了一個數(shù)學(xué)共同體，學(xué)生問題提出能力的發(fā)展不僅與教師的教學(xué)有關(guān)，還受到學(xué)生自身已有的觀念系統(tǒng)與知識經(jīng)驗等“變量”因素的影響．基于國際視角對每個學(xué)生“變量”進(jìn)行概念解釋，然后再對國外問題提出學(xué)生“變量”的相關(guān)研究進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)：就問題提出的學(xué)生“變量”的研究而言，國外學(xué)者進(jìn)行了有意義的探索性研究．事實上，這不僅使人們對問題提出的若干理論問題得到更加深刻的理解，同時，也對國內(nèi)的問題提出能力的培養(yǎng)及教學(xué)提供了新的研究和思考方向，主要體現(xiàn)在以下兩個方面．

7.1 關(guān)于不同內(nèi)容領(lǐng)域的問題提出特點研究

美國教育家Silver全面而深入地論述了問題提出在課程與教學(xué)中的重要作用：問題提出是創(chuàng)新式教學(xué)的重要標(biāo)志，是研討式教學(xué)的重要組織形式，是數(shù)學(xué)活動的重要形式，是提高學(xué)生問題解決能力的重要方法，是探測學(xué)生數(shù)學(xué)理解的重要渠道，同時也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)氣質(zhì)的重要手段[1]．問題提出的多重功能性充分體現(xiàn)了其本質(zhì)及在數(shù)學(xué)教育界的重要性，聚焦問題提出在不同數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)研究愈來愈多．研究者應(yīng)深度挖掘問題提出在不同內(nèi)容領(lǐng)域的表現(xiàn)特征，以幫助教師掌握學(xué)生對不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況，從而實施有效的問題提出教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力．從國外關(guān)于問題提出學(xué)生“變量”的研究成果看，以“內(nèi)容領(lǐng)域”為視角的問題提出特點研究涉及的內(nèi)容比較廣泛：數(shù)與代數(shù)部分對分?jǐn)?shù)、方程等問題提出的結(jié)構(gòu)、情境以及運(yùn)算的研究，幾何部分對圖形、測量等問題提出的類型和復(fù)雜性的分析，以及統(tǒng)計部分對問題提出情境的探索，等等．其中，學(xué)者Elif和Hasan在分析四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)以及幾何測量3個內(nèi)容領(lǐng)域的問題提出能力方面取得了重要的研究成果．該研究[17]結(jié)果表明，盡管問題提出在不同的知識領(lǐng)域是獨(dú)立的，但學(xué)生在不同學(xué)習(xí)主題上的表現(xiàn)仍具有差異性，如學(xué)生在提出分?jǐn)?shù)問題時相對有困難，而產(chǎn)生這種差異的根本原因則是學(xué)生對不同數(shù)學(xué)知識的概念理解存在差異．

在國內(nèi)，問題提出教學(xué)研究雖然已由最初的教學(xué)經(jīng)驗總結(jié)走向了理論建構(gòu)與實證研究的方向，但由于起步較晚，有關(guān)問題提出在不同知識領(lǐng)域的特點研究并未引起人們的普遍重視．雖然一些學(xué)者，如呂傳漢、汪秉彝和鄭雪靜在研究學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題能力的評價問題時，曾對學(xué)生在代數(shù)情境和圖形情境下提出數(shù)學(xué)問題的類型和水平有過深入研究[35]；陳麗敏等人在調(diào)查學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題能力的現(xiàn)狀時，曾對算數(shù)領(lǐng)域的問題提出從流暢性、變通性、新穎性和復(fù)雜性4個維度進(jìn)行過評價和分析[36]等．但整體來看，國內(nèi)有關(guān)問題提出的教學(xué)研究仍然缺乏“內(nèi)容領(lǐng)域”意識．因此，以下問題有待研究者們深入探究和分析：①學(xué)生在不同內(nèi)容領(lǐng)域的問題提出有什么特點或差異？如何針對這些特點或差異進(jìn)行問題提出教學(xué)？學(xué)生在提出問題的過程中會遇到什么樣的困難？采取怎樣的措施才有助于學(xué)生克服困難并成功地提出數(shù)學(xué)問題？②在同一個內(nèi)容領(lǐng)域的問題提出活動中，男、女學(xué)生的問題提出能力有什么不同？在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)如何把握這種不同才能有助于學(xué)生問題提出能力的培養(yǎng)，等等．通過對這些問題的思考和研究，教師可深入探測學(xué)生對不同數(shù)學(xué)知識的掌握和理解水平，并將培養(yǎng)問題提出能力作為一個重要的教學(xué)目標(biāo)落實在各內(nèi)容領(lǐng)域的課堂教學(xué)中．

7.2 有關(guān)學(xué)生自身主觀因素對問題提出能力的影響研究

多年來，關(guān)于“問題提出”教學(xué)研究的進(jìn)展，國外教學(xué)研究視角發(fā)生了明顯的變化：由將“問題提出”視為“問題解決”教學(xué)手段的“問題解決”視角，轉(zhuǎn)向了將“問題提出”作為一種相對獨(dú)立的數(shù)學(xué)活動的“問題意識”視角．這種視角的變化也使得研究問題轉(zhuǎn)向了對學(xué)生“問題意識”與“問題提出能力”的培養(yǎng)．國外數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展研究已逐步轉(zhuǎn)向縱向發(fā)展，其理論基礎(chǔ)較為完善和成熟．上述國外研究涉及到影響問題提出能力發(fā)展的6個“變量”因素：數(shù)感、符號意識、空間觀念、推理能力、問題意識和學(xué)習(xí)方式，它們都與學(xué)生自身的知識經(jīng)驗和觀念系統(tǒng)等主觀因素有關(guān)，并對學(xué)生問題提出能力的發(fā)展有著重要的影響和作用．

國內(nèi)有關(guān)學(xué)生問題提出能力的影響因素研究，大多都是現(xiàn)狀調(diào)查后的歸因與總結(jié)．比如，趙取花等人在對農(nóng)村學(xué)校學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題能力進(jìn)行調(diào)查后，曾總結(jié)教師的教學(xué)觀念陳舊、教學(xué)方法不當(dāng)，以及學(xué)生缺乏良好的學(xué)習(xí)、生活環(huán)境等因素是造成學(xué)生問題提出能力低下的原因[37]；夏小剛和王寬明在對水族學(xué)生問題提出能力現(xiàn)狀所進(jìn)行的研究中，曾指出水族的文化背景以及教師對“提出問題”教學(xué)知識和技能的缺乏是制約水族學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題能力的主要因素[38]．此外，在這些研究中，研究者們大多只是從教學(xué)觀念、教學(xué)方法、學(xué)習(xí)環(huán)境或文化背景等較為客觀的因素進(jìn)行考慮和分析，很少涉及到學(xué)生自身的一些知識、觀念或能力等主觀因素．盡管陳麗敏等人曾就學(xué)生的問題解決及數(shù)學(xué)觀念對自身問題提出能力的影響關(guān)系進(jìn)行過深入分析[36，39]，但總體看來，國內(nèi)仍缺乏學(xué)生自身主觀因素對問題提出能力的影響研究．因此，如何彌補(bǔ)國內(nèi)數(shù)學(xué)問題提出研究在此方面的缺陷是需要進(jìn)一步研究的課題，是需要教師或研究者走近學(xué)生，走進(jìn)課堂做出深入思考與分析的話題．

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Review on Foreign Studies of the Influencing Factors on Mathematical Problem Posing

SHANG Ya-ming, HE Yi-jie, XIONG Bin

(School of Mathematics and Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

In mathematics teaching, the development of students’ ability to pose questions is not only related to teachers’ teaching, but also influenced by the “variable” such as students’ own concept system and knowledge experience. This paper discusses the general development process and main concept interpretation of six “variables” in mathematics education, such as number sense, symbol sense, spatial sense, reasoning ability, problem sense and learning style, analyzes and reviews on the research results of the students’ “variables” of problem posing in foreign countries, provides direction for the developing and teaching of problem posing ability: Characteristics research of problem posing in different content areas; Research on the influence of students’ subjective factors on their problem posing ability.

problem posing; mathematical problem posing; influencing factors; variable

G623.5

A

1004–9894（2020）02–0058–06

2019–11–20

上海市核心數(shù)學(xué)與實踐重點實驗室課題——數(shù)學(xué)實踐（18dz2271000）

尚亞明（1991—），女，河南南陽人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育研究．

尚亞明，何憶捷，熊斌．國外數(shù)學(xué)問題提出能力影響因素的研究述評——基于學(xué)生自身的知識經(jīng)驗和觀念系統(tǒng)等“變量”因素[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（2）：58?63．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]