郭紀(jì)源

(江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江，212003)

物理知識(shí)的學(xué)習(xí)需要有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而隨著物理問題和物理知識(shí)應(yīng)用越接近實(shí)際，所需解決的問題越復(fù)雜，需要的數(shù)學(xué)知識(shí)越多且越抽象。例如對(duì)于復(fù)雜的變量問題和連續(xù)性模型問題的求解，需要學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)中的微積分知識(shí)。但低年級(jí)大學(xué)生往往受限于抽象的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算法則的定義，在微積分解題中，生搬硬套的多，而缺乏靈活理解。所以，盡管大學(xué)物理的初始學(xué)習(xí)安排在高等數(shù)學(xué)微積分之后，仍然有較多學(xué)生在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí)不理解微積分的應(yīng)用[1-5]。在大學(xué)物理教與學(xué)過程中，如何結(jié)合微積分把大學(xué)物理知識(shí)學(xué)好，把大學(xué)物理問題解決好，是一個(gè)值得探索的問題。

任課教師在講解基礎(chǔ)力學(xué)物理知識(shí)時(shí)，忽略或者降低極限、微分和積分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算法則與物理問題的關(guān)聯(lián)性，只是直接地套用到基礎(chǔ)力學(xué)知識(shí)教與學(xué)中，容易讓學(xué)生感到迷惑，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣大打折扣[6-7]。數(shù)學(xué)是抽象的，在學(xué)習(xí)極限、微分和積分時(shí)，很多學(xué)生僅僅是根據(jù)運(yùn)算法則來求解這類數(shù)學(xué)題目，而這種抽象是不利于物理學(xué)習(xí)的，學(xué)生很難理解這種抽象法則的意義。理解描述物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式的物理意義是教學(xué)中的重點(diǎn)。微積分也是源于物理問題的求解，在微積分的物理知識(shí)初始應(yīng)用中，不妨回歸到微積分的起源。基于上述分析，本文從高等數(shù)學(xué)微積分的基本思想出發(fā)，以數(shù)學(xué)對(duì)Δ，d，∑和?這4種運(yùn)算符號(hào)的法則定義為起點(diǎn)，結(jié)合基礎(chǔ)力學(xué)中物理量的定義和推導(dǎo)，提出了體現(xiàn)微積分應(yīng)用的Δ→d和∑→?這2種教學(xué)策略。

1 微積分的基本思想

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)與微分、積分有關(guān)理論和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。函數(shù)是微積分研究的基本對(duì)象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限[8-9]。早期微積分是由英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲基于前人的工作，以直觀的無窮小量為出發(fā)點(diǎn)建立的，數(shù)學(xué)上雖然缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，但是在實(shí)際應(yīng)用中更好理解。之后，魏爾斯特拉斯和柯西把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上；加之后來實(shí)數(shù)理論的建立，使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善。但也因?yàn)槠淅碚摰膰?yán)密性，對(duì)于初學(xué)者來說，微積分更加抽象而難于直觀理解。

微積分思想用于解決實(shí)際問題，是一種非常重要的物理思維方法，它包含了局部與整體及離散與連續(xù)的關(guān)系。把復(fù)雜的物理量進(jìn)行無限分割，使得離散的某一個(gè)時(shí)間或空間上的局部趨于無限小，也即微分；反過來，再把無限多個(gè)離散的某段時(shí)間或空間上的微元累加求和即積分。微積分包含了有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一，近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。它把復(fù)雜的物理問題進(jìn)行時(shí)間、空間范圍的有限次分割，在有限小的局部范圍內(nèi)進(jìn)行近似處理。將分割無限地進(jìn)行下去，局部范圍也就無限地變小。伴隨著這樣的極限過程，通過有限向無限的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)由近似到精確的分析過程，這正是微積分思想和方法的精妙之處。

2 Δ→d教與學(xué)策略

符號(hào)Δ代表的運(yùn)算法則是進(jìn)行一個(gè)物理量的變化或者是它的增量計(jì)算，一般定義為這個(gè)物理量的后來時(shí)刻的值減去之前時(shí)刻的值。強(qiáng)調(diào)后來時(shí)刻的值在前，實(shí)際上不僅包含了物理量的時(shí)間演化問題，也包含了空間的矢量性問題(標(biāo)量正負(fù))。例如在基礎(chǔ)力學(xué)中[10]，常見的物理量增量描述有：

Δr=r2-r1

(1)

Δv=v2-v1

(2)

Δt=t2-t1

(3)

Δx=x2-x1

(4)

ΔS=S2-S1

(5)

Δθ=θ2-θ1

(6)

Δω=ω2-ω1

(7)

式(1)表示位置矢量的增量；式(2)表示速度的增量；式(3)表示時(shí)間的增量；式(4)表示x方向位置的增量；式(5)表示路程的增量；式(6)表示角位移的增量；式(7)表示角速度的增量。

總結(jié)說來，符號(hào)Δ作用在某個(gè)具體的物理量上，代表對(duì)這個(gè)物理量進(jìn)行增量計(jì)算。基礎(chǔ)力學(xué)學(xué)習(xí)中還常見到2個(gè)Δ量的比值，例如：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(8)表示平均速度；式(9)表示平均加速度；式(10)表示x方向平均速度；式(11)表示平均角速度；式(12)表示平均角加速度；式(13)表示因變量隨自變量的平均變化率。

式(8)至式(13)的Δ量的比值是給出了一段時(shí)間內(nèi)物理量的平均變化效果，強(qiáng)調(diào)的是物理量的平均值。平均代表了一種近似，或者說是一定精度范圍內(nèi)的估算。中學(xué)物理中，由于涉及的物理模型較為簡(jiǎn)單(離散或孤立模型)，解決問題的精度要求不高，所涉及的物理量推導(dǎo)及定義較多地采用這種描述方式。而對(duì)平均值的描述，中學(xué)數(shù)學(xué)的工具足夠了。

隨著求解問題的精度要求提高和物理模型的復(fù)雜化(連續(xù)模型)，符號(hào)d被引入進(jìn)來。d通常代表了一個(gè)物理量的微小變化或者是它的微小增量。例如在基礎(chǔ)力學(xué)中，常見的d量描述有dr，dv，ds，dx，dθ，dω和dt等?？梢岳斫鉃榉?hào)d代表的運(yùn)算法則是對(duì)其作用的物理量取一個(gè)微元。很多同學(xué)在第一次接觸微元時(shí)，很可能不太理解。習(xí)慣了Δ量的描述，通常認(rèn)為Δ量是一個(gè)比較大的量，d量是比較小的量。d有多??？數(shù)學(xué)上來講就是取極限的問題，比如說可以是趨近于0。從物理模型分析來講，如果Δ量是一個(gè)宏觀變化量，那么d量可以認(rèn)為是一個(gè)微觀變化量，就是在物理量模型上取了極小的一份。例如，dr是取了極小的一段位移，以至于兩個(gè)位置幾乎靠近。dt表示取了極小的一段時(shí)間，幾乎就是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)。

當(dāng)人們不滿足于了解物理量的平均變化效果，而需要更精準(zhǔn)地描述時(shí)，便引入了d量微元。把Δ代表的量進(jìn)一步細(xì)分，從極限思想來說，Δ量可分成無限多個(gè)d量。就時(shí)間段Δ量而言，分成無限多個(gè)時(shí)間d量，把一段時(shí)間分成了很多微元，每個(gè)微元趨于0，就近似地得到了1個(gè)個(gè)代表時(shí)刻的d量，即dt。在基礎(chǔ)力學(xué)中，常見到2個(gè)d量的比值：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式(14)表示瞬時(shí)速度；式(15)表示瞬時(shí)加速度；式(16)表示瞬時(shí)速率；式(17)表示x方向的速度分量；式(18)表示瞬時(shí)角速度；式(19)表示瞬時(shí)加速度；式(20)表示因變量隨自變量的瞬時(shí)變化率。

式(14)至式(20)的d量的比值給出了對(duì)應(yīng)t時(shí)刻物理量的瞬時(shí)變化率。把Δ量比值定義推廣到了d量比值定義，也是把描述物理量的變化由平均近似描述擴(kuò)展到了瞬時(shí)精確描述。以速度為例，中學(xué)階段學(xué)習(xí)的就是平均速度，反映的是一段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的快慢，這個(gè)時(shí)間段越長(zhǎng)，得到的反映運(yùn)動(dòng)情況的信息越粗糙。大學(xué)物理學(xué)習(xí)的是瞬時(shí)速度，時(shí)間微元取極限，反映的是某個(gè)瞬間物體運(yùn)動(dòng)的快慢，這樣得到的運(yùn)動(dòng)信息就很精確了。

數(shù)學(xué)上Δ→d是1個(gè)取極限的抽象過程，理論嚴(yán)密，法則林立，學(xué)習(xí)者感覺難度較大。物理學(xué)中，這實(shí)際上是基于無限分割的思想，在時(shí)間上把一段時(shí)間變?yōu)樵S許多多的時(shí)間微元；在空間上，把一段區(qū)域變?yōu)樵S許多多的空間微元，采用比值之后，把平均量推廣到瞬時(shí)量。這個(gè)過程的連續(xù)描述形式如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

大學(xué)物理力學(xué)中Δ→d的出現(xiàn)是在位移矢量到速度矢量的推導(dǎo)過程中引入的。大學(xué)物理教材大多僅僅是從物理量的定義來說明Δ和d所代表的量，而忽略了Δ和d以及Δ→d所代表的數(shù)學(xué)意義。把Δ和d以及Δ→d所代表的數(shù)學(xué)意義結(jié)合物理量的物理意義一起分析和講授問題，能更清楚地給學(xué)生展示知識(shí)點(diǎn)的本源，學(xué)生更容易理解。

3 ∑→?教與學(xué)策略

當(dāng)需要把多個(gè)原本離散的小量進(jìn)行累加求和時(shí)，或者被分割的很多的離散極小量累加起來回歸連續(xù)性問題時(shí)，就用到了∑→?運(yùn)算過程。數(shù)學(xué)運(yùn)算中符號(hào)∑表示求和，作用到物理量上，代表的運(yùn)算法則是把物理量進(jìn)行累加。相對(duì)來說，這樣的加法運(yùn)算是學(xué)生最熟悉和最容易理解的。對(duì)于離散的時(shí)間或離散的空間系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的運(yùn)算法則應(yīng)用就是疊加原理。例如，物體以不同的加速度在對(duì)應(yīng)的時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)，得到的總速度可以表示為

(26)

類似地，物體以不同的速度在對(duì)應(yīng)的時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)，得到的總位移可以表示為

(27)

此外，離散模型中，質(zhì)點(diǎn)系所受外力在時(shí)間上的累加效果，即沖量表達(dá)式：

(28)

還有，質(zhì)點(diǎn)系所受外力在空間上的累加效果，即力所做的功：

(29)

式(26)至式(29)描述的是在某時(shí)間段內(nèi)或某空間范圍內(nèi)的累加效果，所得的物理量，誤差通常是比較大的，時(shí)間段Δt或空間范圍Δr越大，誤差越大。而關(guān)于連續(xù)模型，采用離散化近似處理之后，再∑求和，所得結(jié)果誤差也與Δ大小有關(guān)，不僅如此，離散化處理時(shí)，解決∑求和的項(xiàng)數(shù)所采用的方法就是用積分。?是積分符號(hào)，表示進(jìn)行積分運(yùn)算。不定積分求解是尋找連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)過程，數(shù)學(xué)上比較抽象。但其物理問題涉及的都是定積分計(jì)算，物理意義清楚，容易理解。?表示定積分運(yùn)算，即要在某段時(shí)間或空間上進(jìn)行某個(gè)物理量的累加求和，此時(shí)累加的項(xiàng)數(shù)可以是無窮多，而對(duì)應(yīng)的時(shí)間段或空間段是極小的微元?！拼砬蠛瓦\(yùn)算，相應(yīng)的可以表示為下面的連續(xù)描述形式：

(30)

(31)

(32)

可以看出，當(dāng)求和項(xiàng)數(shù)增加時(shí)，在這個(gè)固定時(shí)間內(nèi)的Δ量變小，Δt越小，越能精確地描述物理量的變化，直至取為dt，項(xiàng)數(shù)也趨于無窮，累加求和趨于取極限，運(yùn)算法則變成了積分，這同時(shí)也就得到了物體在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)速度、位移和沖量的精確計(jì)算結(jié)果。力作用在運(yùn)動(dòng)物體上連續(xù)做功，可以由下面連續(xù)描述表達(dá)式進(jìn)行精確計(jì)算：

(33)

而這實(shí)際上是把力在每一個(gè)微小位移上做的功都進(jìn)行了累加。

對(duì)于作用在連續(xù)模型上的物理量，把模型離散化，離散至Δ量大小。在這個(gè)Δ量大小時(shí)(比如時(shí)間Δt或空間Δr)，物理量只能近似地看成是一個(gè)恒定的值，進(jìn)行累加求和(用∑)，所得結(jié)果的誤差與Δ量大小相關(guān)。而若把模型分得更小，每份趨于d量，在這個(gè)d量時(shí)(比如時(shí)間dt或空間dr)，物理量可以認(rèn)為是恒定值，d量越小，份數(shù)越多，越精確。取極限，當(dāng)dt或dr趨于0時(shí)，累加求和(用?)所得結(jié)果是精確的。通過這樣的過程，以離散化的基本思想為切入點(diǎn)(微元法或微元思維)，也同時(shí)解決了連續(xù)性模型中的物理計(jì)算問題。

4 結(jié)論

高等數(shù)學(xué)中微積分的學(xué)習(xí)過于抽象，而在大學(xué)物理教材中往往只是給出了物理量的直接定義，雖然有物理意義的分析，但常常忽略物理量所描述符號(hào)的數(shù)學(xué)意義。在大學(xué)物理教學(xué)實(shí)踐中，教師可以將微積分應(yīng)用問題分解為Δ→d和∑→? 這2兩種教學(xué)方式。在物理知識(shí)講解和物理問題分析過程中，以這樣的整體教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)，并把物理量的物理意義和數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)學(xué)意義結(jié)合起來進(jìn)行分析，化繁為簡(jiǎn)，由抽象變生動(dòng)，學(xué)生克服了學(xué)習(xí)物理的數(shù)學(xué)障礙，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)物理的主觀能動(dòng)性，進(jìn)而增強(qiáng)了課程教學(xué)和學(xué)習(xí)效果。