曾麗，徐樂群，蔡珊

(1.長沙理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙，410000；2.長沙理工大學 湖南省工程數(shù)學建模與分析重點實驗室，湖南 長沙，410000)

(1)

則稱式(1)為Berry-Esseen不等式。

Berry-Esseen不等式通常用來研究中心極限定理的收斂速率，但在統(tǒng)計估計量等方面也發(fā)揮著重大作用。英國的Glaton和Watson建立了G-W過程。模型自建立以來，引起了國內(nèi)外眾多學者的研究興趣。為了讓模型更具實際研究意義，研究者對其進行了擴充，如給出了隨機環(huán)境中分枝過程(branching process in a random environment，BPRE)、泊松隨機指數(shù)分枝過程等。G-W過程及其推廣過程統(tǒng)稱為分枝過程。分枝過程是一種特殊的隨機過程，其廣泛應(yīng)用于遺傳學、生物學等學科。而分枝模型的Berry-Esseen界是研究分枝模型的大偏差的漸進性質(zhì)的重要工具?？偨Y(jié)分枝模型Berry-Esseen界的國內(nèi)外動態(tài)，對分枝模型Berry-Esseen界的研究提供了新的方法及思路。

1 分枝過程

HEYDE和BROWN[2]在三階矩有限的條件下證明了上臨界分枝過程的中心極限類似物的Berry-Esseen界。

HEYDE和LESLIE[3]改進了文獻[2]中三階矩有限的條件，得到了二階矩有限的情況下上臨界分枝過程中心極限類似物的Berry-Esseen界。

定理2[3]設(shè)1

r是任意固定整數(shù)，

2 帶遷入的分枝過程

定義2[4]若對于n≥1，有

HEYDE和SENETA[5]把文獻[2]的結(jié)論推廣到了帶遷入的上臨界分枝過程。設(shè)遷入分布的均值有限，10。

HEYDE和LESLIE[3]改進了文獻[5]中三階矩有限的條件，得到了二階矩有界的條件下中心極限類似物的Berry-Esseen界。

定理4[3]設(shè)1

r是任意固定整數(shù)，

且Φ(x)是N(0，1)的分布函數(shù)。

當n→∞時，記un↑1，且vn↑1 。

3 隨機環(huán)境中分枝過程

記N={0，1，2，…}，N*={1，2，…}。設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)和(Θ，B)分別是概率空間和可測空間。ξ=(ξ0，ξ1，ξ2，…)是一列獨立同分布(independent and identically distributed，i.i.d.)的隨機變量序列，取值于(Θ，B)。BPRE的模型定義如下。

定義3[6]令{Zn，n=0，1，2，…}為(Ω，F(xiàn)，P)中的隨機變量序列，{Xn，i，n=0，1，2，…，i=1，2，…}是一族隨機變量序列且定義在N上，并滿足

則{Zn，n=0，1，2，…}為BPRE。

logZn=Sn+logWn。

WANG等[7]等把HEYDE和BROWN[2]的結(jié)論推廣到隨機環(huán)境，得到了環(huán)境獨立同分布時W∞-Wn正規(guī)化的Berry-Esseen界。

令

其中按照約定，當k=∞時，Wn+k=W∞。

A1：對于每個k∈N*∪{∞}，存在1個常數(shù)δ∈(0，1]，使得

GRAMA等[6]研究了隨機環(huán)境中上臨界分枝過程的Berry-Esseen界，得到了logZn在退火率P下Berry-Esseen界。

A3：存在1個常數(shù)δ∈(0，1]，使得

E(X)2+δ<∞。

A4：存在1個常數(shù)p>1，使得

定理6[6]在A3和A4條件下，則有

FAN等[8]把Graman0=0的相應(yīng)結(jié)果推廣到n0∈N，得到了在n0∈N時ln(Zn+n0/Zn0)的Berry-Esseen界。

令

定理7[6]若條件A5成立，那么在n∈N0中一致成立：對n≥2，

和

4 泊松隨機指數(shù)分枝過程

則稱這個連續(xù)的過程{ZNt，t≥0}為泊松隨機指數(shù)分枝過程。

GAO[9]通過Stein方法得到了泊松隨機指數(shù)分枝過程的對數(shù)的Berry-Esseen不等式。

對任意t≥0，定義Yt=ZNt，則

A6：p0=0，m∈(1，∞)，σ2=E(Z1-m)2∈(0，∞)。

定理8[9]在條件A6下，有

其中：C是1個正的常數(shù)。

5 展望

通過上述Berry-Esseen界的總結(jié)，發(fā)現(xiàn)幾個有待深入研究的問題：

1)把文獻[7]中隨機環(huán)境上臨界分枝過程W∞-Wn正規(guī)化的中心極限定理的收斂速率的Berry-Esseen界推廣到帶遷入的情形；

2)把文獻[8]中隨機環(huán)境上臨界分枝過程ln(Zn+n0/Zn0)的Berry-Esseen界的結(jié)論推廣到帶遷入中。

若進一步研究分枝模型中Berry-Esseen界，則以下問題有待解決：

1)兩性分枝過程Berry-Esseen界的研究；

2)臨界多型分枝過程Berry-Esseen界的研究；