王艷

【摘要】當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革必須將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).構(gòu)建與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)連貫一致的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)，無(wú)論在理論層面，還是在實(shí)踐層面都很有必要.本文主要介紹了根據(jù)兩道中考題設(shè)計(jì)的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課“探究反比例函數(shù)中與k有關(guān)的面積問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)錄以及課后反思.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);教學(xué)評(píng)價(jià);案例分析

一、選題背景

歷年的數(shù)學(xué)中考試題中，除了考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解和掌握情況，還注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)分析、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).近幾年的中考題都考查了反比例函數(shù)中與k有關(guān)的面積和、面積差，究其本質(zhì)就是考查學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖像的本質(zhì)理解，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)抽象能力和知識(shí)遷移能力.這類題目對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大，得分率低.如果學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)此類問(wèn)題的本質(zhì)就是k的幾何意義，那么問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.因此，我們有必要設(shè)計(jì)一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，探究反比例函數(shù)中與k有關(guān)的面積問(wèn)題.

二、教學(xué)實(shí)錄

1.問(wèn)題引入，溫故舊知

上課伊始，教師直接引入本節(jié)課的課題：反比例函數(shù)中與k有關(guān)的面積問(wèn)題（板書）.

問(wèn)題1：反比例函數(shù)y=kx在第一象限的雙曲線圖像如圖1所示，你能得出什么結(jié)論？

生：k>0.

問(wèn)題2：若k=4，在圖像上任取一點(diǎn)A并向x軸、y軸作垂線段，你能得到什么結(jié)論？

生：所圍成的矩形面積為4.

師：再取一點(diǎn)B呢？

生：面積同樣為4.

師：反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，所形成的矩形的面積都為k.

【評(píng)析】每個(gè)學(xué)生都不一樣，所以，教師在教學(xué)中應(yīng)給每個(gè)學(xué)生都留下能夠發(fā)揮自己能力的空間，讓他們加入知識(shí)的探索中來(lái).本課從最簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)入手，復(fù)習(xí)反比例函數(shù)圖像的基本性質(zhì)及k的幾何意義.

2.圖形變換，探究新知

變式1：如圖2，兩個(gè)反比例函數(shù)y=4x和y=2x在第一象限內(nèi)的圖像分別是C1、C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上.PA⊥y軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)Q.PB⊥x軸于點(diǎn)B，QD⊥x軸于點(diǎn)D.求四邊形QDBP的面積.

生：面積為2.因?yàn)辄c(diǎn)P在C1上，所以SOAPB=4，點(diǎn)Q在C2上，所以SOAQD=2，則SQDBP=SOAPB-SOAQD=2.

變式2：如圖3，如果圖像在第二象限呢？

生：面積為2.（過(guò)程說(shuō)明略）

變式3：如圖4所示是反比例函數(shù)y=2x和y=-4x在第一、二象限內(nèi)的圖像，P、Q是圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，PQ∥x軸，PA⊥x軸于點(diǎn)A，QB⊥x軸于點(diǎn)B，求四邊形PABQ的面積.

生：面積為6.（過(guò)程說(shuō)明略）

變式4：如圖5，如果在二、三象限呢？

生：面積為6.（過(guò)程說(shuō)明略）

【評(píng)析】通過(guò)解決簡(jiǎn)單的變式問(wèn)題，探究圖像中蘊(yùn)含的規(guī)律，從幾個(gè)具體的圖形中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、推理能力.

問(wèn)題3：從四個(gè)圖形的變化中，你能得到什么結(jié)論？

生：如果兩個(gè)反比例函數(shù)的圖像在同一個(gè)象限，矩形QDBP的面積為|k1|-|k2|，如果兩個(gè)反比例函數(shù)的圖像在不同的象限，那么面積就變成了|k1|+|k2|.

3.應(yīng)用新知，探究本質(zhì)

例1 如圖6所示，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是反比例函數(shù)y=k1x和y=k2x在第三象限內(nèi)圖像上的兩點(diǎn)，AB∥x軸，AB=2，點(diǎn)A（a，-3），則k2-k1=.

生：如圖7，由圖可知k2>k1>0，k2-k1就是兩個(gè)矩形的面積差，等于6.

變式1：（2016·濱州）如圖8，已知點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y=ax的圖像上，點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)y=bx的圖像上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側(cè)，AB=34，CD=32，AB與CD間的距離為6，則a-b的值是.

生：如圖9，SABFE=SCDNM，設(shè)DN=x，則BF=6-x，由34（6-x）=32x，解得x=2，所以面積為2×32=3，a-b=3.

變式2：（2015·寧波）如圖10，已知點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y=a[]x（a>0）的圖像上，點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)y=b[]x（b<0）的圖像上，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側(cè)，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

師：在應(yīng)用結(jié)論的過(guò)程中，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：可以把絕對(duì)值去掉，不管是面積和還是面積差，都可以用k1-k2來(lái)表示，條件是k1>k2.

【評(píng)析】例1意在給后面的兩個(gè)變式練習(xí)做鋪墊，給學(xué)生的思維搭個(gè)梯子，使他們意識(shí)到原來(lái)中考的壓軸題也可以這么簡(jiǎn)單.兩道例題都是求a-b的值，與前面學(xué)生總結(jié)的結(jié)論產(chǎn)生沖突，學(xué)生在思維沖突的過(guò)程中產(chǎn)生頓悟，他們對(duì)面積和和面積差就會(huì)有新的認(rèn)識(shí)，從而認(rèn)識(shí)到k1-k2的本質(zhì).學(xué)生在思考問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的能力得到提升.

三、課堂總結(jié)，知識(shí)升華

師：總結(jié)一下今天我們學(xué)到了什么知識(shí)？這些知識(shí)包含哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法？

生：當(dāng)兩個(gè)反比例函數(shù)的圖像在同一個(gè)象限或在不同的象限時(shí)，所形成的矩形面積和與面積差都可以用k1-k2來(lái)表示.

生：解決反比例函數(shù)的問(wèn)題用到了數(shù)形結(jié)合的思想，還用到了轉(zhuǎn)化的思想.

四、關(guān)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的思考

1.以學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力再提高為目的

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)不僅需要關(guān)注教師的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)手段、教學(xué)目的等，也要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的表現(xiàn).教師要鼓勵(lì)學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)多獨(dú)立思考，嘗試通過(guò)自己的努力來(lái)解決問(wèn)題，讓他們能夠?qū)ψ陨淼淖詫W(xué)能力、獨(dú)立思考能力進(jìn)行鍛煉，從而有益于他們以后的學(xué)習(xí)生活.

2.關(guān)注點(diǎn)應(yīng)該有所改變

教學(xué)評(píng)價(jià)的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)從教師身上轉(zhuǎn)移到學(xué)生身上，對(duì)于課堂教學(xué)中使用的教學(xué)方法的思考應(yīng)從是否靈活轉(zhuǎn)變到是否適合學(xué)生.應(yīng)該關(guān)注學(xué)生與教師之間的交流互動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，而不再只是關(guān)注解題結(jié)果，要對(duì)課堂教學(xué)是否能夠反映出學(xué)生學(xué)習(xí)上的問(wèn)題進(jìn)行評(píng)判，轉(zhuǎn)變以往的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).

3.關(guān)注弱勢(shì)，面向全體

新課標(biāo)指出，不同的人在數(shù)學(xué)上應(yīng)該得到不同的發(fā)展.專題復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師很容易忽視小部分“后進(jìn)生”，更多關(guān)注成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，教學(xué)時(shí)習(xí)慣只講有難度的習(xí)題，沒(méi)有注意到個(gè)體的差異，這樣不能取得很好的教學(xué)效果.因此，教師在教學(xué)中更應(yīng)該關(guān)注學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生，給予他們更多的幫助和鼓勵(lì)，設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)盡量降低起點(diǎn)，搭好階梯，設(shè)計(jì)有梯度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使他們也能參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中來(lái)解決問(wèn)題，由此激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心;對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，要多為他們?cè)O(shè)計(jì)有難度的探索式問(wèn)題，幫助他們獲得進(jìn)一步的發(fā)展，堅(jiān)持“抓中間、促兩頭”，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生的發(fā)展.