董華 趙翔華

【摘要】本文通過對幾道例題的分析，展示了分解法在求期望和方差中的作用，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)從而培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】分解;數(shù)學(xué)期望; 方差

【基金項目】曲阜師范大學(xué)教改項目

大學(xué)的課堂與中學(xué)的課堂有著本質(zhì)的差別，中學(xué)學(xué)習(xí)主要是學(xué)生從教師已梳理好的、系統(tǒng)的知識體系中去汲取，而大學(xué)學(xué)習(xí)不僅是為了掌握知識點，更是為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.研究性的學(xué)習(xí)能夠充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性并使其主動參與課堂教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.培養(yǎng)具有探索創(chuàng)新精神的大學(xué)生正是新時代大學(xué)的使命.因此，大學(xué)課堂開展研究性學(xué)習(xí)非常必要.

數(shù)學(xué)期望和方差是隨機(jī)變量的兩個重要的數(shù)字特征.數(shù)學(xué)期望是消除隨機(jī)性的主要手段，方差則刻畫了隨機(jī)變量的取值在數(shù)學(xué)期望周圍的“波動”程度.數(shù)學(xué)期望與方差在金融、保險、醫(yī)學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中都有廣泛的應(yīng)用，因此如何求數(shù)學(xué)期望和方差就是一個重要的問題了.通常情況下，我們求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差主要是利用定義和性質(zhì).有些問題中隨機(jī)變量的分布很難求，有些問題中雖然隨機(jī)變量的分布不難求但是用定義法求期望和方差需要大量的、繁雜的數(shù)學(xué)計算.因此，僅靠定義法求數(shù)學(xué)期望和方差不是一個高效的辦法.在一些比較復(fù)雜的問題中，如果能夠結(jié)合數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)并合理利用一些分解變量的小技巧就能夠使求數(shù)學(xué)期望的問題變得簡單，方差問題也是如此.對于一些初學(xué)者來說，學(xué)會一個事半功倍的方法有助于他們快速解決一類問題，更有助于他們在日后的學(xué)習(xí)中增強(qiáng)信心，發(fā)散思維繼而解決更多的難題.本著研究性學(xué)習(xí)的初衷，本文我們通過幾個求數(shù)學(xué)期望和方差的例子展示概率中研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)過程，帶領(lǐng)學(xué)生探索求數(shù)學(xué)期望和方差的方法，希望學(xué)生能夠?qū)W會舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神.

巧妙利用隨機(jī)變量的分解法求數(shù)學(xué)期望和方差在文獻(xiàn)[1]中已有探索.下面首先回顧一下這道例題：

例1[2] 設(shè)隨機(jī)變量X～b（n，p），試求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

解 設(shè)X1，X2，…，Xn為相互獨立的隨機(jī)變量，且Xi都服從0-1分布b（1，p），則

E（Xi）=p，Var（Xi）=p（1-p）且X=∑ni=1Xi～b（n，p）.

由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)得

E（X）=∑ni=1E（Xi）=np，

Var（X）=∑ni=1Var（Xi）=np（1-p）.

例1將隨機(jī)變量X～b（n，p）分解為n個獨立同分布的0-1分布的隨機(jī)變量的和，然后再利用數(shù)學(xué)期望的線性性就可以方便地求得隨機(jī)變量X的期望.通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，例1在利用分解的方式求數(shù)學(xué)期望和方差的過程中并不需要“同分布”這一性質(zhì)，所以我們可以把例1中的分解方法運(yùn)用到一些可以分解為相互獨立的0-1分布隨機(jī)變量和的問題.

例2[2] 設(shè)進(jìn)行n次獨立隨機(jī)試驗，事件A在第k次試驗中發(fā)生的概率記為pk，求事件A在n次試驗中出現(xiàn)的總次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差.

解 令Xk=1，第k次試驗中事件A發(fā)生，0，第k次試驗中事件A不發(fā)生，

則X1，X2，…，Xn相互獨立且X=∑nk=1Xk.

令pk=P（Xk=1），則E（Xk）=pk，Var（Xk）=pk（1-pk）.

所以E（X）=∑nk=1E（Xk）=∑nk=1pk，

Var（X）=∑nk=1Var（Xk）=∑nk=1pk（1-pk）.

顯然，當(dāng)pk=p時，例題2就是例題1.那是不是只有在隨機(jī)變量X能分解為n個獨立的0-1分布隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn 的和時我們才能用前面的分解法求數(shù)學(xué)期望和方差呢？答案當(dāng)然是否定的，我們看下面的例子：

例3 把m個球隨機(jī)地放進(jìn) n個盒子，X表示空盒子數(shù).求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

解 令A(yù)k表示第k（k=1，2，…，n）個盒子是空的，則

X=∑nk=1IAk且P（Ak）=n-1nm，P（AkAj）=n-2nm.

由期望的線性性可得X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=∑nk=1E（IAk）=n1-1nm.

而E（X2）[ZK（]=E（∑nk=1IAk）2=E∑nk=1∑nj=1E（IAkAj）

=∑k≠jE（IAkAj）+∑nk=1E（IAk）

=n（n-1）1-2nm+n1-1nm，[ZK）]

因此，X的方差為

Var（X）=E（X2）-（E（X））2=n（n-1）1-2nm+n1-1nm-n21-1n2m.

這里的空盒子數(shù)就可以理解為空盒子出現(xiàn)的“次數(shù)”，每個盒子或“是空盒子”或“不是空盒子”，所以對每個盒子而言，“空盒子”出現(xiàn)次數(shù)或是“0”或是“1”，并且各個盒子之間是不是空盒子不是獨立的.因此，分解法對于隨機(jī)變量能分解為不獨立的隨機(jī)變量和的問題也是適用的.

在教學(xué)過程中，用例1作為引子，引導(dǎo)學(xué)生放寬題設(shè)條件，依次引入例2（獨立不同分布）和例3（不獨立但可以同分布）.讓學(xué)生在分析中自己去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié).不難看出，例1～3都是把一個表示“總次數(shù)”的隨機(jī)變量分解成幾個0-1分布隨機(jī)變量和的方式求數(shù)學(xué)期望和方差的.那么是不是只有表示“總次數(shù)”的隨機(jī)變量能分解為0-1分布隨機(jī)變量和的形式才能用分解法來求期望和方差呢？當(dāng)然不是！我們看下面的例4.

例4[3] 流水作業(yè)線上生產(chǎn)的每個產(chǎn)品為不合格品的概率為p，當(dāng)生產(chǎn)出k個不合格品時即停工檢修一次.求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

解 設(shè)X表示兩次檢修之間的產(chǎn)品總數(shù)，生產(chǎn)到第X1件產(chǎn)品出現(xiàn)第一件不合格品，從第i-1 件不合格品出現(xiàn)后再生產(chǎn)Xi件產(chǎn)品出現(xiàn)第i 件不合格品.因此，X=X1+…+Xn，且Xi～Geo（p）.

由題意可知Xi（i=1，2，…，n）相互獨立，因此，由期望和方差的性質(zhì)分別可得 E（X）=∑ni=1E（Xi）=np，Var（X）=∑ni=1Var（Xi）=n（1-p）p2.

例4中通過將隨機(jī)變量分解為許多獨立同分布的幾何隨機(jī)變量的和來求隨機(jī)變量的期望，說明分解法對分解出來的隨機(jī)變量的類型是沒有要求的.實際上，許多具有可加性的分布都是可以反過來通過分解法求期望的，比如負(fù)二項分布、卡方分布、伽馬分布等.

例1～4都是通過將隨機(jī)變量經(jīng)過一次分解來解題的，實際上分解是可以多次進(jìn)行的.下面的游程數(shù)問題是個比較綜合的問題，需要經(jīng)過多次分解.

例5[4] 設(shè)n個1和m個0隨機(jī)地排成一個序列，一共有（m+n）！[]m！n！種可能的排列法，每種排列法都是等可能的.在一個序列中，連在一起的1構(gòu)成“1”的游程.例如，n=6，m=4，6個1和4 個0構(gòu)成如下的一個排列：1，1，1，0，1，1，0，0，1，0，其中第一組3個1構(gòu)成一個“1”的游程，在這個序列中一共有3個“1”的游程.求n個1和m個0隨機(jī)地排成一個序列時游程個數(shù)的期望.

解 令A(yù)i 表示一個1的游程開始于第i個位置，排列中“1”的游程個數(shù)記為R（1），“0”的游程個數(shù)記為R（0）.由題意可知，R（1）=∑m+ni=1IAi.經(jīng)計算可知：

P（A1）=nm+n，

對于1

E（IAi）=P（Ai）=mm+n·nm+n-1.

因此，

E（R（1））[ZK（]=∑m+ni=1E（IAi）

=nm+n+（m+n-1）mn（m+n）（m+n-1）

=nm+n+mnm+n.[ZK）]

類似地，

E（R（0））=∑m+ni=1E（IAi）=mm+n+mnm+n.

所以，游程個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E[R（1）+R（0）]=1+2mnm+n.

例5先按照游程是由“0”還是由“1”形成的進(jìn)行了第一次分解，然后再按照每個游程開始的具體位置進(jìn)行了第二次分解.

在例1的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生不斷提出問題，然后逐步放寬限制，最終把例1的分解思想推廣到一些更一般的情況，這個過程也體現(xiàn)了分解法在不同模型中的應(yīng)用.引導(dǎo)學(xué)生對比這幾道例題的共同之處，做出總結(jié)，從而掌握一類解決問題的方法.這個學(xué)習(xí)過程調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]鄧集賢，楊維權(quán)，司徒榮，等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]Sheldon M.Ross.概率論基礎(chǔ)教程（原書第9版）[M].童行偉，梁寶生，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.