我們知道，函數(shù)的觀點和方法既貫穿于高中數(shù)學(xué)的全過程，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以函數(shù)問題一直是高考命題重點與熱點.而導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)最為基礎(chǔ)的內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)必選的重要知識之一.由于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性，可為解決所學(xué)過的函數(shù)問題提供更有效的工具或更一般性的方法，因此在高考中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)“形影不離”.那么從高考命題角度看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主要有哪些熱點呢？

熱點一?函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

例1?（1）（山東省煙臺市2019屆高三3月）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（14）=1，當x<0時，f（x）=log2（-x）+m，則實數(shù)m=????.

（2）（2019年高考天津改編）已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為????.

解析：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（14）=1，且x<0時，f（x）=log2（-x）+m，∴f（-14）=log214+m=-2+m=-1，∴m=1.

（2）∵c=0.30.2<0.30=1，a=log27>log24=2，1

說明：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

熱點二?函數(shù)的圖象

例2?（1）（2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)）函數(shù)f（x）=sinx+xcosx+x2在[-π，π]的圖象大致為（??）

（2）（北京市朝陽區(qū)2019屆高三5月模擬）已知函數(shù)f（x）=2x，x≥a

-x，x

解析：（1）由f（-x）=sin（-x）+（-x）cos（-x）+（-x）2=-sinx-xcosx+x2=-f（x），得f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱.

又f（π2）=1+π2（π2）2=4+2ππ2>1，f（π）=π-1+π2>0，可知應(yīng)為D選項中的圖象.故選D.

（2）函數(shù)f（x）=2x，x≥a

-x，x

若函數(shù)f（x）存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）.

說明：對于函數(shù)圖象同學(xué)們要做到以下三點：

（1）會作圖：常用描點法和圖象變換法.圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換.尤其注意y=f（x）與y=f（-x）、y=-f（x）、y=-f（-x）、y=f（|x|）、y=|f（x）|及y=af（x）+b的相互關(guān)系.

（2）會識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系.

（3）會用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究.

熱點三?函數(shù)的零點個數(shù)問題

例3?（1）函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)是????.

（2）（2015·江蘇）已知函數(shù)f（x）=|lnx|，

g（x）=0，0

|x2-4|-2，x>1，則方程|f（x）+g（x）|=1實根的個數(shù)為????.

解析：（1）因為f′（x）=2xln2+3x2>0，所以函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）上遞增，

且f（0）=1+0-2=-1<0，f（1）=2+1-2=1>0，所以有1個零點.

（2）當0

當x>1時，由|f（x）+g（x）|=1得|lnx|=3-|x2-4|或|lnx|=1-|x2-4|.分別在同一個坐標系中作出函數(shù)y=|lnx|與y=3-|x2-4|的圖象（如圖1）和函數(shù)y=|lnx|與y=1-|x2-4|的圖象（如圖2）.

當x>1時，它們分別有1個、2個交點，故x>1時，方程有3個實根.

綜上，方程|f（x）+g（x）|=1共有4個不同的實根.

說明：函數(shù)零點（即方程的根）的確定問題，常見的有①函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定;②零點個數(shù)的確定;③兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解.

熱點四?函數(shù)的零點（方程的根）與參數(shù)的范圍?例4?（2019年高考江蘇）設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數(shù).當x∈（0，2]時，f（x）=1-（x-1）2，g（x）=k（x+2），0

-12，10.若在區(qū)間（0，9]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是????.

解析：作出函數(shù)f（x），g（x）的圖象，如圖所示.由圖可知，函數(shù)f（x）=1-（x-1）2的圖象與g（x）=-12（1

要使關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數(shù)根，則f（x）=1-（x-1）2，x∈（0，1]與g（x）=k（x+2），x∈（0，1]的圖象有2個不同的交點，

由點（1，0）到直線kx-y+2k=0的距離為1，可得|3k|k2+1=1，解得k=24（k>0），

∵兩點（-2，0），（1，1）連線的斜率k=13，

∴13≤k<24，

綜上可知，滿足f（x）=g（x）在（0，9]上有8個不同的實數(shù)根的k的取值范圍為[13，24）.

說明：已知函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象交點個數(shù);也可以利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進行求解.

熱點五?導(dǎo)數(shù)的運算和幾何意義

例5?（1）（2019年高考全國Ⅰ卷）曲線y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為????.

（2）（2019年高考江蘇）在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是????.

解析：（1）因為y′=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3（x2+3x+1）ex，

所以切線的斜率k=y′|x=0=3，

則曲線y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為y=3x，即3x-y=0.

（2）設(shè)出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值，可得切點坐標.

設(shè)點A（x0，y0），則y0=lnx0.

又y′=1x，當x=x0時，y′=1x0，

則曲線y=lnx在點A處的切線為

y-y0=1x0（x-x0），即y-lnx0=xx0-1，

將點（-e，-1）代入，得-1-lnx0=-ex0-1，即x0lnx0=e，

考察函數(shù)H（x）=xlnx，當x∈（0，1）時，H（x）<0，當x∈（1，+∞）時，H（x）>0，且H′（x）=lnx+1，當x>1時，H′（x）>0，H（x）單調(diào)遞增，注意到H（e）=e，

故x0lnx0=e存在唯一的實數(shù)根x0=e，此時y0=1，故點A的坐標為（e，1）.

說明：（1）求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.

熱點六?利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

例6?（2019年高考全國Ⅲ卷）已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

解析：（1）f′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f′（x）=0，得x=0或x=a3.

若a>0，則當x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）時，f′（x）>0;當x∈（0，a3）時，f′（x）<0.故f（x）在區(qū)間（-∞，0），（a3，+∞）單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，a3）單調(diào)遞減;

若a=0，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）單調(diào)遞增;

若a<0，則當x∈（-∞，a3）∪（0，+∞）時，f′（x）>0;當x∈（a3，0）時，f′（x）<0.故f（x）在區(qū)間（-∞，a3），（0，+∞）單調(diào)遞增，在區(qū)間（a3，0）單調(diào)遞減.

（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在.

（i）當a≤0時，由（1）知，f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為f（0）=b，最大值為f（1）=2-a+b.此時a，b滿足題設(shè)條件當且僅當b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.

（ii）當a≥3時，由（1）知，f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，所以f（x）在區(qū)間[0，1]的最大值為f（0）=b，最小值為f（1）=2-a+b.此時a，b滿足題設(shè)條件當且僅當2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.

（iii）當0

若-a327+b=-1，b=1，則a=332，與0

若-a327+b=-1，2-a+b=1，則a=33或a=-33或a=0，與0

綜上，當且僅當a=0，b=-1或a=4，b=1時，f（x）在[0，1]的最小值為-1，最大值為1.

說明：這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和不等式的綜合題，題目難度比往年降低了不少，考查函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值這種基本量的計算.注意：求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值時，方法是不同的.求函數(shù)在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

熱點七?導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、不等式的綜合

例7?（2019年高考天津）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）ex，其中a∈R.

（1）若a≤0，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若0

（3）設(shè)x0為f（x）的極值點，x1為f（x）的零點，且x1>x0，證明3x0-x1>2.

解析：（1）由已知，f（x）的定義域為（0，+∞），且

f′（x）=1x-[aex+a（x-1）ex]=1-ax2exx.

因此當a≤0時，1-ax2ex>0，從而f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）證明：（i）由（1）知f′（x）=1-ax2exx.

令g（x）=1-ax2ex，由0

可知g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，

又g（1）=1-ae>0，且

g（ln1a）=1-a（ln1a）21a=1-（ln1a）2<0.

故g（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有唯一解，從而f′（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為x0，則1g（x0）x=0，所以f（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞增;當x∈（x0，+∞）時，f′（x）=g（x）x

令h（x）=lnx-x+1，則當x>1時，h′（x）=1x-1<0，故h（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，從而當x>1時，h（x）

f（ln1a）=ln（ln1a）-a（ln1a-1）eln1a

=ln（ln1a）-ln1a+1=h（ln1a）<0，

又因為f（x0）>f（1）=0，所以f（x）在（x0，+∞）內(nèi)有唯一零點.又f（x）在（0，x0）內(nèi)有唯一零點1，從而，f（x）在（0，+∞）內(nèi)恰有兩個零點.

（3）由題意，f′（x0）=0，

f（x1）=0，即ax20ex0=1，

lnx1=a（x1-1）ex1，

從而lnx1=x1-1x20ex1-x0，即ex1-x0=x20lnx1x1-1.因為當x>1時，lnxx0>1，故ex1-x02.

說明：研究函數(shù)零點及不等式問題，都要運用函數(shù)性質(zhì)，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具.基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)，必要時畫出函數(shù)的草圖輔助思考.

熱點八?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用

例8?（江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）鹽城市政府響應(yīng)習(xí)總書記在十九大報告中提出的“綠水青山就是金山銀山”的號召，對環(huán)境進行了大力整治.目前鹽城市的空氣質(zhì)量位列全國前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社組織了一個旅游團于近期來到了鹽城市黃海國家森林公園.數(shù)據(jù)顯示，近期公園中每天空氣質(zhì)量指數(shù)近似滿足函數(shù)f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），其中x為每天的時刻.若在凌晨6點時刻，測得空氣質(zhì)量指數(shù)為29.6.

（1）求實數(shù)m的值;

（2）求近期每天在[4，22]時段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時刻.（參考數(shù)值：ln6=1.8）

解析：（1）由題f（6）=29.6，代入

f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），

解得m=12.

（2）由已知函數(shù)求導(dǎo)得：

f′（x）=12-xx+600144-x2（x2+144）2

=（12-x）[1x+600（12+x）（x2+144）2]，

令f′（x）=0得x=12，

所以函數(shù)在x=12時取極大值也是最大值，即每天空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時刻為12時.

答：（1）實數(shù)m的值為12;（2）每天空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時刻為12時.

說明：（1）關(guān)于解決函數(shù)的實際應(yīng)用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實際問題中去.（2）對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學(xué)）