函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點與難點內(nèi)容之一，是高考命題熱點與難點問題，在數(shù)學(xué)基本概念、數(shù)學(xué)基本思想方法、數(shù)學(xué)運算與推理能力等方面要求較高.但是，不少同學(xué)在概念理解上出現(xiàn)偏差，不夠清晰;不善于運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法解決問題;在運算求解過程中出現(xiàn)一些運算錯誤等等.本文試從這些方面總結(jié)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中的常見易錯點，讓大家理清概念，掌握方法.

易錯點一：忽視函數(shù)定義域的首位意識

例1?（1）已知f（x+1x）=x2+1x2，求函數(shù)f（x）的解析式.

（2）已知f（2x+1）=lgx，求f（x）的解析式.

錯因：在求函數(shù)解析式時，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域問題.求出解析式后要標注x的取值范圍.利用換元法求解析式時要注意新元的取值范圍.如已知f（x）=x+1，求函數(shù)f（x）的解析式，可通過換元的方法得f（x）=x2+1，函數(shù)f（x）的定義域是[0，+∞），而不是（-∞，+∞）.

正解：（1）由于f（x+1x）=x2+1x2=（x+1x）2-2，

所以f（x）=x2-2，x≥2或x≤-2，

故f（x）的解析式是f（x）=x2-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）.

（2）令2x+1=t，得x=2t-1，

代入得f（t）=lg2t-1，又x>0，所以t>1，

故f（x）的解析式是f（x）=lg2x-1，x∈（1，+∞）.

例2?已知函數(shù)f（x）=x2-m是定義在區(qū)間[-3-m，m2-m]上的奇函數(shù)，則f（0）與f（m）的大小關(guān)系是????.

錯因：本題學(xué)生容易忽略函數(shù)具備奇偶性的前提是函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，所以不清楚實數(shù)m是一個具體的確定的值.

正解：因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以-3-m+m2-m=0，解得m=3或-1.當(dāng)m=3時，函數(shù)f（x）=x-1，定義域不是[-6，6]，不合題意;當(dāng)m=-1時，函數(shù)f（x）=x3在定義域[-2，2]上單調(diào)遞增，又m<0，所以f（m）

例3?已知函數(shù)f（x）=x2-2x-3，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為????.

錯因：本題容易忽視函數(shù)單調(diào)性中對定義域的要求，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，所以不能僅僅根據(jù)某個區(qū)間內(nèi)的兩個特殊變量x1，x2對應(yīng)的函數(shù)值的大小就判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，必須保證這兩個變量是區(qū)間內(nèi)的任意兩個自變量.

正解：設(shè)t=x2-2x-3，由t≥0，

即x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3.

所以函數(shù)的定義域為（-∞，-1]∪[3，+∞）.

因為函數(shù)t=x2-2x-3圖象的對稱軸為x=1，所以函數(shù)t在區(qū)間（-∞，-1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，+∞）.

糾錯訓(xùn)練1：函數(shù)y=5-4x-x2的單調(diào)增區(qū)間是????.

答案：[-5，-2]

糾錯訓(xùn)練2：已知y=loga（2-ax）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是????.

答案：（1，2]

易錯點二：對函數(shù)值域概念理解不清

例4?已知f（x）=（1-2a）x+3a，x<1，

lnx，x≥1的值域為R，那么實數(shù)a的取值范圍是????.

錯因：分段函數(shù)的值域是每一段函數(shù)值域的并集，本題求出下一段函數(shù)的值域為[0，+∞），容易錯誤的轉(zhuǎn)化為上一段函數(shù)的值域為（-∞，0），導(dǎo)致出錯.

正解：要使函數(shù)f（x）的值域為R，

需使1-2a>0，

ln1≤1-2a+3a，所以a<12，

a≥-1，

所以-1≤a<12，即a的取值范圍是[-1，12）.

例5?已知函數(shù)f（x）=（13）ax2-4x+3.

（1）若f（x）有最大值3，求a的值;

（2）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值集合.

錯因：函數(shù)的最值與函數(shù)的值域是兩個不同的概念，第（1）問中函數(shù)的最大值為3，則轉(zhuǎn)化為指數(shù)式的最小值為-1，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解;第（2）問中函數(shù)的值域為（0，+∞），即函數(shù)值能取遍區(qū)間（0，+∞）內(nèi)所有的值，而且只能取遍這個范圍內(nèi)的值.易錯點的對函數(shù)值域理解不透徹，求出的是實數(shù)a的范圍.

正解：（1）令g（x）=ax2-4x+3，則f（x）=（13）g（x），由于f（x）有最大值3，所以g（x）應(yīng)有最小值-1，

因此必有a>0，

g（2a）=3a-4a=-1，

解得a=1，即當(dāng)f（x）有最大值3時，a的值等于1.

（2）令g（x）=ax2-4x+3，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，

要使f（x）=（13）ax2-4x+3的值域為（0，+∞），

應(yīng)使g（x）=ax2-4x+3的值域為R，

因此只能a=0.（因為若a≠0，則g（x）為二次函數(shù)，其值域不可能為R）.故a的值為0.

糾錯訓(xùn)練3：設(shè)函數(shù)f（x）=m+x2，|x|≥1，

x，|x|<1

的圖象過點（1，1），函數(shù)g（x）是二次函數(shù)，若函數(shù)f（g（x））的值域是[0，+∞），則函數(shù)g（x）的值域是????.

答案：因為函數(shù)f（x）=m+x2，|x|≥1，

x，|x|<1的圖象過點（1，1），所以m+1=1，解得m=0，所以f（x）=x2，|x|≥1，

x，|x|<1.畫出函數(shù)y=f（x）的大致圖象如圖所示，觀察圖象可知，

當(dāng)縱坐標在[0，+∞）上時，橫坐標在（-∞，-1]∪[0，+∞）上變化.

而f（x）的值域為[-1，+∞），f（g（x））的值域為[0，+∞），因為g（x）是二次函數(shù)，

所以g（x）的值域是[0，+∞）.

易錯點三：不理解分段函數(shù)的概念及性質(zhì)

例6?已知函數(shù)f（x）=（12）x，x≥4，

f（x+1），x<4，則f（1+log25）的值為????.

錯因：求分段函數(shù)的函數(shù)值，沒有選確定自變量的范圍，不清楚代入哪一段解析式，故要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f（f（a））的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.少數(shù)同學(xué)對于對數(shù)函數(shù)的運算不到位，導(dǎo)致運算錯誤.

正解：因為2

糾錯訓(xùn)練4：設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1，x<1，

x13，x≥1，則使得f（x）≤2成立的x的取值范圍是????.

答案：當(dāng)x<1時，由ex-1≤2得x≤1+ln2，所以x<1;當(dāng)x≥1時，由x13≤2得x≤8，所有1≤x≤8.綜上，符合題意的x的取值范圍是x≤8.

糾錯訓(xùn)練5：設(shè)函數(shù)f（x）=x，x∈（-∞，a），

x2，x∈[a，+∞）.若f（2）=4，則a的取值范圍為????.

答案：因為f（2）=4，若2∈（-∞，a），則f（2）=2，矛盾，所以2∈[a，+∞），f（2）=4成立所以a≤2，則a的取值范圍為（-∞，2].

反思：求某條件下自變量的值或范圍，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值或范圍，切記代入檢驗，看所求的自變量的值或范圍是否滿足相應(yīng)各段自變量的取值范圍.

例7?已知函數(shù)f（x）=（a-2）x，x≥2，

（12）x-1，x<2是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是???.

錯因：分段函數(shù)的單調(diào)性理解出現(xiàn)偏差，誤認為在每一段上都有相同的單調(diào)性，則整個函數(shù)就具有單調(diào)性，沒有考慮分段函數(shù)在端點處的函數(shù)值的大小.

正解：因為函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，

所以a-2<0，

2（a-2）≤（12）2-1，解得a≤138.

糾錯訓(xùn)練6：已知f（x）=（2-a）x+1，x<1

ax，x≥1 是R上的增函數(shù)，求a的取值范圍.

答案：要使得f（x）在R上是增函數(shù)，則兩個函數(shù)g（x）=（2-a）x+1與h（x）=ax均為增函數(shù)，并且還要滿足在x=1處，有g(shù)（1）≤f（1），即2-a>0

a>1

2-a+1≤a，解得32

所以a的取值范圍是[32，2）.

易錯點四：對函數(shù)的零點概念理解不清

例8?函數(shù)f（x）=x2-3x+2的零點是???.

A.（1，0）?B.（2，0）?C.（1，0），（2，0）?D.1，2

錯因：錯誤的原因是沒有理解零點的概念，“望文生義”，認為零點就是一個點.而函數(shù)的零點是一個實數(shù)，即使f（x）=0成立的實數(shù)，也是函數(shù)y=f（x）的圖象與軸交點的橫坐標.

正解：由f（x）=x2-3x+2=0得，x=1和2，所以填1，2.

糾錯訓(xùn)練7：若函數(shù)f（x）=ax+b有一個零點是2，那么函數(shù)g（x）=bx2-ax的零點是????.

答案：由題意知2a+b=0，即b=-2a.

令g（x）=bx2-ax=0，得x=0或x=ab=-12.

例9?若函數(shù)f（x）=4x-2x-a，x∈[-1，1]有零點，則實數(shù)a的取值范圍是????.

錯因：對函數(shù)零點的求解方法掌握不牢固，不善于運用換元、分離參數(shù)等思想方法解決問題.

正解：因為函數(shù)f（x）=4x-2x-a，x∈[-1，1]有零點，

所以方程4x-2x-a=0在[-1，1]上有解，

即方程a=4x-2x在[-1，1]上有解.

方程a=4x-2x可變形為a=（2x-12）2-14，

因為x∈[-1，1]，所以2x∈[12，2]，

所以（2x-12）2-14∈[-14，2].

所以實數(shù)a的取值范圍是[-14，2].

易錯點五：對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值概念理解不清?例10?函數(shù)f（x）=ln（x-1x）的圖象是????.（填序號）

（1）求曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程;

（2）求經(jīng)過點A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程.

錯因：“過點A的曲線的切線方程”與“在點A處的曲線的切線方程”是不相同的，后者A必為切點，前者未必是切點.曲線在某點處的切線，若有，則只有一條;曲線過某點的切線往往不止一條.切線與曲線的公共點不一定只有一個.

正解：（1）因為f′（x）=3x2-8x+5，所以f′（2）=1，又f（2）=-2，

所以曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-（-2）=x-2，即x-y-4=0.

（2）設(shè)切點坐標為（x0，x30-4x20+5x0-4），因為f′（x0）=3x20-8x0+5，所以切線方程為y-（-2）=（3x20-8x0+5）（x-2），

又切線過點（x0，x30-4x20+5x0-4），所以x30-4x20+5x0-2=（3x20-8x0+5）（x0-2），

整理得（x0-2）2（x0-1）=0，

解得x0=2或x0=1，

所以經(jīng)過點A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程為x-y-4=0或y+2=0.

糾錯訓(xùn)練12：已知曲線f（x）=2x3-3x，過點M（0，32）作曲線f（x）的切線，求切線方程.

答案：設(shè)切點坐標為N（x0，2x30-3x0），則切線的斜率k=f′（x0）=6x20-3，故切線方程為y=（6x20-3）x+32，又因為點N在切線上，所以2x30-3x0=（6x20-3）x0+32，

解得x0=-2，所以切線方程為y=21x+32.

易錯點七：分類討論標準不清晰

例13?若函數(shù)f（x）=mx2+mx+1的定義域為一切實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是????.

錯因：沒有分類討論的意識.

正解：由題意可得mx2+mx+1≥0恒成立.

當(dāng)m=0時，1≥0恒成立;

當(dāng)m≠0時，則m>0，

Δ=m2-4m≤0，

解得0

綜上可得：0≤m≤4.

例14?已知函數(shù)f（x）=2a·4x-2x-1.若關(guān)于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范圍.

錯因：分類討論的標準不清晰.

正解：關(guān)于x的方程2a（2x）2-2x-1=0有解，等價于方程2am2-m-1=0（m>0）在（0，+∞）上有解.

記g（m）=2am2-m-1，m>0，

當(dāng)a=0時，g（m）=0的解為m=-1<0，不成立.

當(dāng)a<0時，g（m）的圖象開口向下，對稱軸m=14a<0，則g（m）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，且圖象過點（0，-1），不成立.

當(dāng)a>0時，g（m）的圖象開口向上，對稱軸m=14a>0，則g（m）在區(qū)間（0，14a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[14a，+∞）上單調(diào)遞增，且圖象過點（0，-1），必有一個根為正，

所以，a>0.

綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）.

糾錯訓(xùn)練13：已知函數(shù)f（x）=（a-1）lnx+ax2+1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

答案：f（x）的定義域為（0，+∞），

f′（x）=a-1x+2ax=2ax2+a-1x.

（1）當(dāng)a≥1時，f′（x）>0，故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增;

（2）當(dāng)a≤0時，f′（x）<0，故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減;

（3）當(dāng)00，故f（x）在區(qū)間（0，1-a2a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1-a2a，+∞）上單調(diào)遞增.

易錯點八：沒有數(shù)形結(jié)合的意識

例15?（1）已知實數(shù)a，b滿足等式（12）a=（13）b，下列五個關(guān)系式：①0

其中不可能成立的關(guān)系式有????個.

（2）若曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個公共點，則b的取值范圍為????.

錯因：僅僅著眼于代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，不善于構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象解決問題，沒有數(shù)形結(jié)合的意識.

正解：（1）函數(shù)y1=（12）x與y2=（13）x的圖象如圖所示.

由（12）a=（13）b得，a

故①②⑤可能成立，③④不可能成立.

（2）曲線y=|2x-1|與直線y=b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個公共點，則b的取值范圍是（0，1）.

糾錯訓(xùn)練14：已知f（x）=|lgx|，x>0，

2|x|，x≤0，則關(guān)于x的方程2f2（x）-3f（x）+1=0的解的個數(shù)為????.

解答：關(guān)于f（x）的方程

2f2（x）-3f（x）+1=0的解為f（x）=12或f（x）=1.作出y=f（x）的圖象，由圖象知直線y=12與函數(shù)y=f（x）的圖象有2個公共點;直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個公共點.故關(guān)于x的方程2f2（x）-3f（x）+1=0有5個解.

（作者：王小青，江蘇省如皋中學(xué)）