王罡

[摘 ?要] 高中數(shù)學教學中，為了促進和實現(xiàn)學生的有意義學習，教師僅僅向學生闡明教材中呈現(xiàn)的顯性聯(lián)系是不夠的，還應注重挖掘課程內(nèi)容與初中數(shù)學的隱性聯(lián)系. 教師需要設法幫助學生尋找初高中數(shù)學的關聯(lián)點，以實現(xiàn)內(nèi)容的有效銜接，同時讓學生懂得融會貫通. 文章列舉正弦定理與余弦定理、復數(shù)、等差數(shù)列與等比數(shù)列三個典型案例分別從顯性聯(lián)系和隱性聯(lián)系兩方面展開分析.

[關鍵詞] 顯性聯(lián)系;隱性聯(lián)系;意義學習

美國著名教育心理學家奧蘇泊爾曾提出有意義接受說，他認為學生的學習應當是在新舊知識間建立一種非認為的和實質性的聯(lián)系，因此教師有必要通過教學幫助學生實現(xiàn)有意義學習[1]. ?高中數(shù)學教學更是如此，一方面，作為初中數(shù)學知識的延伸、拓展和深化，高中數(shù)學結論更具有概括性和一般性，教師應全面了解高中數(shù)學知識體系，深入挖掘初中數(shù)學的相關內(nèi)容，并在實際教學中深刻揭示兩者間的聯(lián)系;另一方面，初中數(shù)學的結論早已轉化為學生的直接經(jīng)驗，深深根植于學生的頭腦中，為了遵循直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗相統(tǒng)一的教學規(guī)律，教師同樣需要在教學實施中深入向學生解密初高中知識間的關聯(lián)，以豐富完善學生的知識結構[2].

然而，筆者在聽課的過程中，不時會發(fā)現(xiàn)存在這樣一種有待改進的不足：許多教師在課堂上往往只注重向學生揭示淺層的知識間的關聯(lián). 這種關聯(lián)通常已經(jīng)在多個版本教材上清晰呈現(xiàn)，教師的任務不過是將課本內(nèi)容經(jīng)過加工轉化為自己的教學內(nèi)容，筆者不妨將之定義為顯性聯(lián)系. 事實上，筆者認為，教師更應該向學生揭示那些表面上看似并無關聯(lián)的知識間的聯(lián)系，即教材上未呈現(xiàn)的、潛在待挖掘的隱性聯(lián)系. 只有這樣，才能真正體現(xiàn)教師勞動的創(chuàng)造性，從而真正實現(xiàn)學生的有意義學習. 下面筆者選取三個典型的章節(jié)內(nèi)容予以具體分析和說明.

正弦定理與余弦定理

1. 顯性聯(lián)系分析

筆者翻閱人教A版和北師大版兩版本教材“解三角形”一章，將教材中呈現(xiàn)的正弦定理、余弦定理與初中數(shù)學相關知識的聯(lián)系整理成表1、表2：

通過整理可以看到，北師大版和人教A版兩版本教材在介紹正弦定理、余弦定理時或多或少展示了其與初中所學三角形相關內(nèi)容的密切關聯(lián)，這些內(nèi)容包括三角形的性質、銳角三角函數(shù)、勾股定理、三角形全等等知識. 筆者認為，除此以外，還有一些內(nèi)容有待教師挖掘和開發(fā)，以更好地實現(xiàn)初高中教材三角形模塊內(nèi)容的有效銜接.

2. 隱性聯(lián)系分析

（1）與完全平方公式的聯(lián)系

事實上，仔細觀察余弦定理的公式c2=a2+b2-2abcosC，不禁會發(fā)現(xiàn)，該公式在形式上不僅與勾股定理c2=a2+b2很像（勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣），而且與初中所學的完全平方公式（a+b）2=a2+b2±2ab也有幾分相似.

眾所周知，余弦定理要求角C的取值范圍是（0，π），而勾股定理恰恰是當C= 時的特殊情形. 筆者進一步思考，當角C取0或者π，情況又是怎樣的呢？盡管此時已經(jīng)不再構成三角形，但不妨將C=0和C=π分別代入公式中，最終得到c2=a2+b2+2ab和c2=a2+b2-2ab.

另一方面，考慮C=0時的幾何意義，由于此時得到的幾何圖形是由在一條直線上的兩條長度分別為a和b的線段構成的合線段，邊c的長度恰為另外兩邊中較長邊與較短邊的差，故有c=a-b. 同理，分析C=π時的幾何意義，得到c=a+b.

由此可見，當C=0時，所得為兩數(shù)和的完全平方公式;當C=π時，所得為兩數(shù)差的完全平方公式. 這樣一來，看似不相干的余弦定理與初中所學的完全平方公式在形式上統(tǒng)一了起來，教師若能在課堂上及時啟發(fā)學生的思考并幫助學生澄清這一聯(lián)系，或許將收到意想不到的教學效果.

（2）與三角形全等的聯(lián)系

盡管人教A版在介紹余弦定理時提及三角形全等的“邊角邊”判定和“邊邊邊”判定，但給筆者的感覺不過是蜻蜓點水，兩者的聯(lián)系揭示得不夠深入和全面. 眾所周知，關于任意三角形全等，學生在初中學習了四種判定，依次分別是“邊邊邊”（SSS）“邊角邊”（SAS）“角邊角”（ASA）和“角角邊”（AAS）. 此外，學生還通過尺規(guī)作圖等操作活動初步感受到以上四種判定實則唯一確定一個三角形的充分條件，而“邊邊角”（SSA）并不能確保三角形唯一確定. 不過，學生當時尚不能通過推理解釋說明判定成立的合理性.

在筆者看來，以上學情分析可以成為教師教學的出發(fā)點和終極目標，即學完正弦定理和余弦定理后，教師可引導學生重新復習回顧全等三角形的判定，并讓學生嘗試借助這兩個定理解釋說明判定成立的合理性，從而使學生深刻體會到學習正弦定理和余弦定理不僅僅是為了求解三角形中的未知元素，真正的目的其實是為了解釋之前所學的內(nèi)容，學生的學習欲望和興趣將進一步提升. 另一方面，給定三角形中的某三個元素解三角形恰好對應SSS，SAS，SSA，ASA，AAS五種情況，教師有義務幫助學生系統(tǒng)總結每種情況適用的定理，以使學生形成清晰穩(wěn)定的知識結構，同時也實現(xiàn)了初高中所學知識的完美結合. 筆者針對每種情況建立的知識間的一一對應關系如表3所示.

復數(shù)

1. 顯性聯(lián)系分析

筆者翻閱人教A版和北師大版“數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入”一節(jié)，將教材中涉及的與初中有關內(nèi)容的聯(lián)系總結成表4.

由表格可獲知，兩版本教材主要想借助初中所學“一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)可能無解”這一結論指出實數(shù)集擴充的必要性. 當然，為了引入虛數(shù)單位i，也為了讓學生更快更好地接受新數(shù)i，教材這里特意選取了最簡單的一元二次方程x2+1=0. 有所不同的是，人教A版回顧了初中由有理數(shù)集擴充到實數(shù)集的大致過程，為實數(shù)集的進一步擴充提供了可借鑒的思路. 筆者認為，在此基礎上，教師仍有較大的改進空間，有望在實際教學中更深層次地揭示復數(shù)的引入與一元二次方程求解的關系.

2. 隱性聯(lián)系分析

初中階段，學生學習了四種求解一元二次方程的方法，依次分別為直接開平方法（（mx+n）2=p型）、配方法、公式法（ax2+bx+c=0（a≠0）型）和因式分解法. 這里，求根公式是通過配方法得到的，故只需討論以下三種情形：

（1）（mx+n）2=p型的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解，須要求p≥0. 如果p<0，為了保證方程仍然有解，就需要引入虛數(shù)單位i（i2=-1），此時方程變形為（mx+n）2=（-1）（-p），進而轉化為mx+n= ± i，這樣一來，方程在復數(shù)范圍內(nèi)就有兩解.

（2）ax2+bx+c=0（a≠0）型的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解，須要求Δ≥0. 如果Δ<0，為了確保方程仍能求解，同樣引入虛數(shù)單位i（i2=-1），此時方程的解x= ，可變形為x= . 由此可見，方程在復數(shù)范圍內(nèi)有兩解.

（3）某些一元二次方程可以通過因式分解的方法來求解. 像ax2+bx=0（a≠0）型的方程一般用提公因式的方法求解，在實數(shù)范圍內(nèi)一定有解. 但部分方程在實數(shù)范圍內(nèi)無法使用乘法公式進行因式分解，同樣引入復數(shù)之后便可迎刃而解. 比如4x2+3=0在實數(shù)系內(nèi)無解，但在復數(shù)系內(nèi)可因式分解為（2x- i）·（2x- i）=0.

教師在教學實施中一方面可引導學生復習回顧初中求解一元二次方程時無解的幾種情形，讓學生深刻感受到引入復數(shù)的必要性和現(xiàn)實需求;另一方面，通過引入復數(shù)，進一步加深學生對求解一元二次方程的認識. 學生在此過程中不僅對舊知識有了更深層次的理解，而且提高了對新知識的接受能力，可謂一舉兩得.

等差數(shù)列與等比數(shù)列

1. 顯性聯(lián)系分析

筆者翻閱人教A版和北師大版教材“數(shù)列”一章，將教材中呈現(xiàn)的兩類特殊數(shù)列（等差數(shù)列和等比數(shù)列）與初中已學知識的聯(lián)系總結成表5，表6.

經(jīng)過整理分析，筆者發(fā)現(xiàn)關于兩類特殊數(shù)列與初中數(shù)學的聯(lián)系，兩版本教材著重在以下兩個方面予以體現(xiàn)：①將等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式分別與初中所學的一次函數(shù)、二次函數(shù)進行類比，以借助函數(shù)思想解決有關問題;②教材列舉了許多學生在初中學習有理數(shù)的乘方運算時便已熟知的實例，有助于學生從感性材料中抽象概括出等比數(shù)列的概念.

2. 隱性聯(lián)系分析

事實上，兩類特殊數(shù)列與初中數(shù)學的聯(lián)系遠不止這些，筆者認為還有兩個方面跟初中數(shù)學聯(lián)系較為密切，它們分別是等差（比）中項和等差（比）數(shù)列的整體性質.

其中，由三個數(shù)組成的最簡單的等差（比）數(shù)列中，中間的一項通常稱作另外兩項的等差（比）中項. 在實際教學過程中，教師往往會一筆帶過，但在筆者看來，它在初中數(shù)學中有著豐富的原型，初中數(shù)學的不少內(nèi)容都可以見到它的影子. 比如，一個含 的角的直角三角形是初中重點討論的特殊三角形，它的三個內(nèi)角 ， ， 恰好構成一個最簡單的等差數(shù)列， 是另外兩內(nèi)角的等差中項;將一條線段分成兩部分，其中較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分的比，即著名的黃金分割比，這里較長的部分便是較短部分與全長的等比中項. 此外，等邊三角形無論是三條邊還是三個內(nèi)角，都既是最簡單的等差數(shù)列，又是最簡單的等比數(shù)列. 教師在講到等差（比）中項時，不妨讓學生課后搜集一下與之相關的初中內(nèi)容，學生將深深領悟到等差（比）中項應用的廣泛性.

至于等差（比）數(shù)列的整體性質，盡管教材中沒有系統(tǒng)總結，但是教師通常會給學生補充，以為后續(xù)的鞏固練習提供幫助. 這里，筆者認為數(shù)列可以跟統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)進行對比分析. 設有一行數(shù)，分別為a1，a2，a3，…，an，它既可以看作一個等差（比）數(shù)列，又可以看成一組數(shù)據(jù).

（1）將它的每個數(shù)都增加一個常數(shù)b，構成一個新數(shù)列或者一組新數(shù)據(jù);

（2）將它的每個數(shù)都擴大k倍，構成一個新數(shù)列或者一組新數(shù)據(jù);

（3）將它的每個數(shù)都先擴大k倍再增加一個常數(shù)b，構成一個新數(shù)列或者一組新數(shù)據(jù).

討論形成的新數(shù)列的公差或公比的變化情況和新數(shù)據(jù)的均值變化情況，列成表7.

通過分析表格，可以發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列公差d、等比數(shù)列公比q和數(shù)據(jù)均值 隨著每一項同時擴大相同的倍數(shù)或者增加同一個常數(shù)，各自的變化情況有所不同. 教師可在課堂上組織學生探究有關結論，經(jīng)過自主學習探究，學生會驚奇地發(fā)現(xiàn)，等差（比）數(shù)列的整體性質居然跟數(shù)據(jù)有著異曲同工之妙，從而將理解得更透徹.

總結

數(shù)學學習過程，從本質上講是有意義學習的過程，是學習者將數(shù)學語言代表的新知識與個人認知結構中已有的適當知識建立非人為和實質性聯(lián)系的過程. 通過上述舉例可以看出，初中數(shù)學的許多知識可以作為高中數(shù)學有關內(nèi)容的原型和先行組織者，而高中數(shù)學的某些知識又可以反過來幫助解釋說明初中所學內(nèi)容. 由此可見，兩學段數(shù)學知識環(huán)環(huán)相扣，彼此聯(lián)系緊密，教師在闡明教材所呈現(xiàn)的顯性聯(lián)系的基礎上，有必要幫助學生認真挖掘潛在的隱性聯(lián)系，以期引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質，完善學生的知識結構，最終實現(xiàn)學生的有意義學習. ？搖？搖

參考文獻：

[1] ?涂榮豹，季素月. 數(shù)學課程與教學論新編[M]. 南京：江蘇教育出版社，2007.

[2] ?劉婧. 人教版初高中數(shù)學教材銜接研究[D]. 西南大學，2013.