解則霞 鄭巖

[摘 ?要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要基于學(xué)生的多元數(shù)學(xué)活動(dòng)打造高效的數(shù)學(xué)課堂，以此全面提升課堂教學(xué)效能以及學(xué)生的自主學(xué)力. 教師的有效問題是引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要手段，基于此背景，文章對(duì)設(shè)計(jì)思考性問題，驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)活動(dòng);設(shè)計(jì)沖突性問題，推進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng);設(shè)計(jì)肯定性問題，保障數(shù)學(xué)活動(dòng)的策略進(jìn)行了探究.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);有效問題;數(shù)學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有典型的科學(xué)性和抽象性，也是我國課程體系中極具重要性的基礎(chǔ)學(xué)科之一，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的全面發(fā)展起著非常重要的作用. 對(duì)于高中生來說，高中數(shù)學(xué)是一門比較難的課程，很多學(xué)生普遍感覺很多數(shù)學(xué)概念、定理及性質(zhì)晦澀難懂. 高中生在實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，已經(jīng)不滿足于教師單純的“說教”，他們更喜愛自主探索.在“學(xué)為中心”的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)有效問題引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以此激活他們參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.

設(shè)計(jì)思考性問題，驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)活動(dòng)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)深度把握教材，并在此基礎(chǔ)上為學(xué)生設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠在情境中提出具有思考價(jià)值的問題，這樣才能夠確保學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)參與度，才能使學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)的過程中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，同時(shí)還能夠展開對(duì)問題的自主思考以及有效解決，才能夠快速且高效地獲取知識(shí)，突破傳統(tǒng)的被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)以生為本的主動(dòng)探索.

例如，一位教師在教學(xué)《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一課時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生一起復(fù)習(xí)了橢圓的定義以及方程，然后提出以下問題：如果將橢圓的定義改為“在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)”，能夠得到怎樣的點(diǎn)的軌跡？學(xué)生對(duì)于這個(gè)問題提出了自己的見解，此時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的回答提出以下三個(gè)問題：（1）這一常數(shù)可以為什么數(shù)？（2）如果常數(shù)為零，能夠得到怎樣的點(diǎn)的軌跡？（3）如果常數(shù)大于零，又能得到怎樣的點(diǎn)的軌跡？如果小于零呢？

上述問題有效地激活學(xué)生主動(dòng)探究的欲望，使學(xué)生基于這些問題生發(fā)對(duì)知識(shí)的興趣，進(jìn)而展開主動(dòng)探索. 學(xué)生以小組為單位展開自主交流，教師則用相應(yīng)的教具為學(xué)生進(jìn)行演示，探究結(jié)束后由學(xué)生自主分享和交流. 之后，教師借助幾何畫板向?qū)W生展示雙曲線軌跡的具體形成過程，雖然在這一過程中并未由學(xué)生親自開展動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，但是由于教師所設(shè)計(jì)的具有合理性的問題，引發(fā)了學(xué)生的深入思考，就此也能夠得到同樣的效果. 學(xué)生通過自主探究總結(jié)出雙曲線的定義之后，引導(dǎo)學(xué)生探究常數(shù)所需要滿足的條件，簡(jiǎn)單地說就是2a和2c之間的大小關(guān)系. 然后，又引導(dǎo)學(xué)生思考如果2a等于2c，或者2a大于2c，又會(huì)得出怎樣的結(jié)果？學(xué)生在動(dòng)手操作、畫圖、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)中完成對(duì)這一問題的有效解決，真正體現(xiàn)了課堂“動(dòng)”起來所獨(dú)有的魅力[1].

然后，教師引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)雙曲線的方程，其中既包括動(dòng)手操作以及實(shí)際演算，也包括去絕對(duì)值符號(hào)以及如何簡(jiǎn)化方程等等. 以去掉絕對(duì)值符號(hào)為例，學(xué)生自主提煉出了兩種方法：其一為平方法，其二就是去掉符號(hào)之后等于正負(fù)數(shù).針對(duì)類比橢圓方程的推導(dǎo)，第二種方法有助于簡(jiǎn)化計(jì)算，由此得出雙曲線方程. 實(shí)際推導(dǎo)過程中，作為教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注雙曲線方程中a，b，c三者之間的關(guān)系，并結(jié)合橢圓展開類比，幫助學(xué)生深化認(rèn)知、加深印象. 由于學(xué)生處于基于動(dòng)手、動(dòng)筆以及動(dòng)腦的狀態(tài)中，這樣的課堂能夠真正體現(xiàn)以生為本. 學(xué)生可以根據(jù)已經(jīng)掌握的橢圓方程以及推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)自主展開探索，由此收獲知識(shí)，這也有助于明確參量a，b，c之間的關(guān)系，還能夠自主和橢圓之間展開對(duì)比，并有效區(qū)分，這樣的教學(xué)和傳統(tǒng)的直接灌輸式教學(xué)相比，效果更為顯著.

最后，由教師任意給出幾個(gè)雙曲線方程，學(xué)生自主判斷，并區(qū)分a，b的大小關(guān)系實(shí)際上并不存在必然聯(lián)系. 同時(shí)也能夠使學(xué)生了解：對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)位置的確定來說，必須要結(jié)合系數(shù)的正負(fù). 很顯然，通過學(xué)生的積極主動(dòng)探索以及自主發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生深化了對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知，而且在整堂課的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生都能夠積極參與其中，真正“動(dòng)”了起來，既是對(duì)素質(zhì)教育的充分落實(shí)，也能夠體現(xiàn)教師的主導(dǎo)功能以及學(xué)生的主體地位.

設(shè)計(jì)沖突性問題，推進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)

學(xué)生基于數(shù)學(xué)知識(shí)所架構(gòu)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)際上也是一個(gè)始終處于變化中的動(dòng)態(tài)組織，伴隨著認(rèn)知活動(dòng)的持續(xù)進(jìn)行，認(rèn)知結(jié)構(gòu)會(huì)不斷地分化以及不斷地重組，而且日益精確和完善. 實(shí)際教學(xué)過程中，教師需要充分利用學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，并就此與新知之間建立關(guān)聯(lián). 根據(jù)新舊知識(shí)之間的共性以及學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生可以在不斷同化以及異化知識(shí)的過程中，完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)以及對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善[2].

例如，一位教師在教學(xué)《復(fù)數(shù)的概念及定義》一課時(shí)，首先給學(xué)生提出了以下問題：基于實(shí)數(shù)范圍，如何求解方程10x-x2=21？很多學(xué)生都會(huì)選擇求根公式這一方法，能夠快速求出方程的解，也有部分學(xué)生選擇十字交叉相乘方法.然后，教師讓學(xué)生求解方程10x-x2=40.基于慣性思維，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)選擇檢驗(yàn)“Δ”的方式，判定這個(gè)方程是否有解，當(dāng)然也有部分學(xué)生因?yàn)樘崆邦A(yù)習(xí)了教材知識(shí)，能夠就此判定這一方程的根.在此基礎(chǔ)上，教師追問：正整數(shù)范圍內(nèi)方程x+2=0是否有解？如果是在有理數(shù)范圍內(nèi)x2=2是否有解？怎樣才能使其有解？對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生展開了討論：

生1：如果確定在正整數(shù)范圍內(nèi)，很顯然這一方程無解;如果是在整數(shù)范圍內(nèi)有解：x=-2;如果在有理數(shù)范圍內(nèi)x2=2同樣無解，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解：x= .

師：如何判定正整數(shù)與整數(shù)之間的集合關(guān)系？又如何判定有理數(shù)與實(shí)數(shù)之間的集合關(guān)系？

生2：正整數(shù)是整數(shù)的子集，在整數(shù)中既包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)，也包括零;有理數(shù)是實(shí)數(shù)的子集，在實(shí)數(shù)中既包含有理數(shù)，也包含無理數(shù).

師：x（10-x）=40這一方程在實(shí)數(shù)域內(nèi)無解，如果對(duì)實(shí)數(shù)域進(jìn)行擴(kuò)充，方程在新的定義域中有解，為了使方程有解為x=5± ，應(yīng)當(dāng)滿足怎樣的條件？

生3：滿足-1有意義，事實(shí)上x=5± ?.

師：回答得非常正確，我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是如何在特殊數(shù)域內(nèi)有效解決-1有意義這一內(nèi)容，也就是復(fù)數(shù)域.

不管是發(fā)現(xiàn)問題還是解決問題，都是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要環(huán)節(jié). 以上案例中，問題1和2可以被認(rèn)為是同一條件、不同問題的同化和演繹過程，這種認(rèn)知沖突有助于激活學(xué)生參與活動(dòng)的熱情;問題3和4則是對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充，能夠充分展現(xiàn)概念學(xué)習(xí)的同化演繹過程.對(duì)于知識(shí)的持續(xù)過渡，可以引導(dǎo)學(xué)生基于已掌握的知識(shí)中發(fā)現(xiàn)認(rèn)知沖突，并就此展開重新認(rèn)知.

設(shè)計(jì)肯定性問題，保障數(shù)學(xué)活動(dòng)

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多教師都特別擔(dān)心學(xué)生不能深入、透徹地理解知識(shí)，所以，會(huì)大包大攬地直接灌輸，認(rèn)為只要自己講得越透徹，學(xué)生就理解得越深入，實(shí)際上，這是對(duì)學(xué)生想象能力以及創(chuàng)造能力的極大遏制，使學(xué)生長(zhǎng)期習(xí)慣于被動(dòng)地接受知識(shí)，長(zhǎng)此以往必然難以生發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和動(dòng)力，進(jìn)而懶于思考，惰于學(xué)習(xí). 所以，作為教師應(yīng)逐步放手，可以將具體的工作重點(diǎn)放置于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)以及對(duì)學(xué)生的激勵(lì)等諸多層面，只有讓自己處于“無為”的狀態(tài)，才能夠促進(jìn)學(xué)生的“有為”[3].

例如，在教學(xué)《直線的傾斜角和斜率》一課時(shí)，在練習(xí)環(huán)節(jié)筆者給學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道習(xí)題：經(jīng)過原點(diǎn)，在給定的平面直角坐標(biāo)系中分別畫出斜率為1、-1、2及-3的直線. 要求學(xué)生基于已知條件自主畫圖，并鼓勵(lì)他們創(chuàng)造性地運(yùn)用公式來解決這一問題，學(xué)生所得出的具體解答方法如下：

生1：根據(jù)斜率的特殊性，分別求出傾斜角之后畫圖.

師：你的理解很深刻.那么你們是如何畫出斜率為2以及-3的直線呢？

生2：基于斜率公式，判定直線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，只要明確另一個(gè)點(diǎn)，就能夠畫出一條直線.

生3：利用直線過原點(diǎn)這一已知條件，結(jié)合斜率的取值，假如x取值為1，就能夠相應(yīng)得出y值，由此便可畫出直線.

以上案例中，學(xué)生所展現(xiàn)出的不同結(jié)果，筆者都給予了充分的肯定，他們利用已有知識(shí)而展開思考的能力以及解決問題的能力也是教師不可估量的. 在實(shí)際解答問題的過程中，難免會(huì)呈現(xiàn)出想法的不一致，此時(shí)教師應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表個(gè)人見解，提出自己的解題思路，之后結(jié)合引導(dǎo)和點(diǎn)撥，幫助他們糾正認(rèn)知偏差. 通過設(shè)置提問，既能夠引導(dǎo)學(xué)生展開充分思考，也能夠就此生發(fā)“撥開云霧見青天”之感，這樣學(xué)生必然可以始終保持較高的學(xué)習(xí)興趣以及探究熱情，保障課堂教學(xué)實(shí)效[4].

總之，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，判定其是否有效關(guān)鍵在于能否讓學(xué)生動(dòng)起來，能否使學(xué)生的思維活躍起來，能否使學(xué)生樂于其中、學(xué)有所成，所以，作為教師必須精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，充分發(fā)揮教學(xué)智慧使課堂活起來，這樣才能變“教”為“導(dǎo)”，才能以“講”啟“研”，才能助“學(xué)”為“思”，才能夠確保每一節(jié)課的教學(xué)實(shí)效.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?李建潮. 在感悟問題中“玩”數(shù)學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（03）.

[2] ?劉玉華. 摭談高中數(shù)學(xué)課的問題設(shè)計(jì)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（31）.

[3] ?楊利剛. 呈現(xiàn)問題潛在價(jià)值 助力學(xué)生素養(yǎng)提升[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（07）.

[4] ?陳麗華. 優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，提升高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（33）.