杜海洋

摘 要：一題多解對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力，對(duì)增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向聯(lián)系意識(shí)是非常有效的。通過(guò)這種方式的訓(xùn)練，能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及提高解題的效率，達(dá)到事半功倍的目的。

關(guān)鍵詞：課本例題;一題多解;過(guò)焦點(diǎn)直線

縱觀近幾年高考試題涉及拋物線知識(shí)，則將過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)常作為考查的切入點(diǎn)，本例由一道課本例題出發(fā)，筆者從不同角度用十種方法來(lái)解答，以饗讀者。

（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-1）69頁(yè)：

例4：斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)。求線段AB的長(zhǎng)。

方法一：（兩點(diǎn)間的距離公式）由已知可得直線AB的方程為y=x-1（1）。與拋物線y2=4x聯(lián)立解得x2-6x+1=0（2）。

方法二：直接利用公式：8。

方法三：利用勾股定理：（過(guò)B點(diǎn)向x軸作垂線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N）

由直線的傾斜角θ=45°?？傻肦t△ABN為等腰Rt△

AB2=2BN2=2（x1-x2）2=2（x1+x2）2=8（x1x2）=2（36-4）=64∴AB=8

方法四：利用性質(zhì)：AB=x1+x2+P。由方法一可得AB=6+2=8。

方法五：利用性

方法六：利用性質(zhì)S△

∵S（d為原點(diǎn)到直線的距離）∴AB=8。

方法七：利用=1

∴AB2P2=8

方法八：根據(jù)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線L相切的性質(zhì)。

即找到AB的到準(zhǔn)線L的距離為AB的一半。

由（2）可得x1+x2，即M（3，2）.

所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線L的距離為3-（-1）=4，則AB=8

方法九：利用參數(shù)方程。

設(shè)A（2pt2，2pt）則點(diǎn)A在直線y=x-1。即4t2-4t-1=，仿方法一可得結(jié)論。

方法十：利用以AF，BF分別為直徑的圓與y軸相切的性質(zhì)。

即分別求出AF，BF的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離即可。

AF+2=8

附：過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的常用性質(zhì)。（以下希望讀者結(jié)合課本例題仿照引例證明）。（1）xAxB=2）焦點(diǎn)弦中通徑（垂直于x軸的焦點(diǎn)弦）最短;（3）Aα是直線AB的傾斜角）;（4）S△直線AB的傾斜角）;（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線MN相切，切點(diǎn)為MN的中點(diǎn)Q;（6）以MN為直徑的圓與AB相切，切點(diǎn)為焦點(diǎn)F;（7）A，O，N三點(diǎn)共線，B，O，M三點(diǎn)共線;（

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)教材典型代表例題進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，不僅能讓學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)掌握更透徹，還能使學(xué)生的解題思路更加開(kāi)闊，在進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生思維遷移的能力和提高學(xué)生的解題能力的同時(shí)，還激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、求知欲，并潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

楊剛.多維視角 殊途同歸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（10）：46-47.