陳 瑩，何 斌，李 靜

(1.黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 駐馬店 463000；2. 北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124)

懸索結(jié)構(gòu)是由柔性受拉索及其邊緣構(gòu)件所形成的承重結(jié)構(gòu)，該類結(jié)構(gòu)能夠充分利用高強(qiáng)材料的抗拉性能完成跨度大、自重小的工程，并且具有受力合理、節(jié)約材料、布置靈活、施工方便、外形優(yōu)美等特點(diǎn)，在土建、橋梁以及電力電訊等工程中應(yīng)用廣泛.但是如果懸索跨度增大，懸索的振動(dòng)會(huì)更加顯著，在一定氣象條件下，懸索可能覆冰，從而引起大幅低頻振動(dòng)，造成不必要的損失，所以對(duì)覆冰懸索結(jié)構(gòu)的研究引起許多科研人員的關(guān)注.文獻(xiàn)[1]考慮了二自由度和三自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，采用多尺度法對(duì)覆冰懸索結(jié)構(gòu)的無量綱方程進(jìn)行攝動(dòng)分析，得出3次平均方程，并運(yùn)用Matlab軟件編寫程序，對(duì)平均方程進(jìn)行了數(shù)值仿真，對(duì)覆冰懸索結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和控制提供重要的理論指導(dǎo).文獻(xiàn)[2-4]也對(duì)覆冰懸索系統(tǒng)進(jìn)行了相關(guān)研究，計(jì)算焦點(diǎn)量對(duì)研究微分方程的穩(wěn)定性有重要作用，Lyapunov量復(fù)算法是研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)中心及焦點(diǎn)的重要方法.文獻(xiàn)[5]得出計(jì)算平面多項(xiàng)式系統(tǒng)Lyapunov量的復(fù)算法和判斷平面多項(xiàng)式系統(tǒng)中心的方法，探討了Lyapunov量的若干性質(zhì)，且借助符號(hào)計(jì)算軟件分析了若干實(shí)例.在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]研究具有一對(duì)純虛特征根的兩類一般平面多項(xiàng)式系統(tǒng)，通過兩類平面多項(xiàng)式系統(tǒng)和標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)換，得到兩類系統(tǒng)對(duì)應(yīng)Lyapunov量的復(fù)計(jì)算公式，給出了利用Maple數(shù)學(xué)軟件計(jì)算Lyapunov量的計(jì)算流程、計(jì)算一覽表及實(shí)例.Lyapunov量對(duì)平面多項(xiàng)式系統(tǒng)的極限環(huán)分岔研究也具有很重要的作用.近年來，文獻(xiàn)[7-10]對(duì)極限環(huán)做了深入研究.文獻(xiàn)[11-14]對(duì)具體的平面多項(xiàng)式系統(tǒng)的Lyapunov量和極限環(huán)進(jìn)行一系列研究.論文主要利用Lyapunov量復(fù)算法討論文獻(xiàn)[1]中的二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)模型.二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)模型具有如下形式

(1)

(2)

論文對(duì)二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)模型的兩種退化系統(tǒng)進(jìn)行討論.首先利用多尺度方法對(duì)其進(jìn)行攝動(dòng)分析，得出5次平均方程，然后按照Lyapunov量復(fù)算法得出原點(diǎn)為中心的結(jié)論.所得結(jié)果對(duì)利用Lyapunov量復(fù)算法解決其他問題提供了有意義的參考，也豐富了覆冰懸索結(jié)構(gòu)的非線性研究.

1 兩類二自由度覆冰懸索結(jié)構(gòu)退化模型的分析研究

1.1 第一類覆冰懸索結(jié)構(gòu)退化模型的分析研究

在(1)式中，令v3=0，得出退化系統(tǒng)如下

(3)

利用多尺度方法分析式(3)的平均方程.設(shè)其一致漸進(jìn)解為

v2(t,ε)=x20(T0,T1,T2,…)+εx21(T0,T1,T2,…)+ε2x22(T0,T1,T2,…)+…，

(4)

其中：Ti=εit，i=0，1,2，….

微分算子為

(5)

(6)

把方程(4)～(6)代入(3)式，比較ε同次冪系數(shù)，得到以下微分方程：

ε0階為

(7)

ε1階為

(8)

ε2階為

(9)

方程(7)的解用復(fù)數(shù)形式表示為

(10)

將(10)式代入(8)式，得

(11)

其中：cc表示對(duì)應(yīng)的復(fù)共軛項(xiàng).

令方程(11)的一階長期項(xiàng)為零，得到

(12)

將(12)式取復(fù)共軛，得

(13)

將(12)式兩邊微分，得

(14)

得到方程(11)的特解為

(15)

將(15)式代入(9)式，得

(16)

其中：Q表示非長期項(xiàng).

令(16)式的長期項(xiàng)為零，得

(17)

將函數(shù)A2(T1,T2)視為時(shí)間t的函數(shù)A2(εt,ε2t)，有

D0A2=εD1A2+ε2D2A2.

(18)

令

(19)

將 (12)，(17)，(19)式代入 (18) 式，并化簡得

(20)

為了得到(3)式的平均方程，令

(21)

將(21)式代入(20)式，并分離實(shí)部與虛部，得到直角坐標(biāo)系下系統(tǒng)(3)的平均方程為

(22a)

(22b)

(23a)

(23b)

根據(jù)文獻(xiàn)[11，13]介紹的一般形式到基本形式的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，可得(22)式等價(jià)復(fù)形式為

(24)

其中：a1=0，有

采用Lyapunov量復(fù)算法算出L1=L2=L3=L4=…=0，從而判定出原點(diǎn)為中心.

1.2 第二類覆冰懸索結(jié)構(gòu)退化模型的分析研究

在(2)式中令v2=0，可得出退化系統(tǒng)如下

(25)

與1.1中計(jì)算方法一樣，在α1=0的條件下，得出(25)式的5次平均方程為

(26a)

(26b)

(27a)

(27b)

根據(jù)文獻(xiàn)[11，13]介紹的一般形式到基本形式的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，可得(22)式等價(jià)復(fù)形式為

(28)

其中

采用Lyapunov量復(fù)算法算出L1=L2=L3=L4=…=0，從而判定出原點(diǎn)為中心.

2 結(jié)束語

論文具體分析了一類覆冰懸索結(jié)構(gòu)的兩種退化模型的中心判定問題，利用多尺度方法得到退化模型的5次平均方程，在此基礎(chǔ)上，采用Lyapunov量復(fù)算法借助程序得到原點(diǎn)為系統(tǒng)中心的結(jié)論.所得結(jié)論豐富了覆冰懸索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性問題的研究.