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例析求二次函數(shù)最值的“四步曲”

2019-09-19 08:48朱繼娟
數(shù)理化解題研究 2019年25期
關(guān)鍵詞:四步曲增函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸

朱繼娟

(四川省南充市嘉陵第一中學(xué) 637000)

一、二次函數(shù)求最值問(wèn)題

對(duì)于二次函數(shù)求最值問(wèn)題,有人把它歸納為四類(lèi):軸定區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)、軸動(dòng)區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間動(dòng).也有人把它歸納為兩類(lèi):含參數(shù)的二次函數(shù)求最值問(wèn)題和不含參數(shù)的二次函數(shù)求最值問(wèn)題.其實(shí),這兩種分類(lèi)方法思想都可以將解決最值問(wèn)題時(shí)的基本步驟歸納為八個(gè)字,即“一看、二求、三判、四得.”具體來(lái)說(shuō)求二次函數(shù)最值的“四步曲”是:第一步看二次函數(shù)的開(kāi)口方向,第二步求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,第三步判斷二次函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,第四步得出結(jié)果.下面通過(guò)具體實(shí)例對(duì)上述“四步曲”進(jìn)行說(shuō)明.

二、例題解析

例1 求函數(shù)f(x)=x2-4x在[-1,1]上的最大值和最小值.

故歸納解題步驟如下:

此類(lèi)題目我們可以做如下總結(jié):

當(dāng)給出的區(qū)間不為具體數(shù)字時(shí),怎么處理相對(duì)簡(jiǎn)潔呢,來(lái)看一看下面的例題:

例2若函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R上的最小值為g(t),試寫(xiě)出g(t)的函數(shù)表達(dá)式.

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左邊(含端點(diǎn))即1≤t時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為增函數(shù);

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊(含端點(diǎn))即1≥t+1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為減函數(shù);

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)(不含端點(diǎn))即t<1

第四步得出結(jié)果:

當(dāng)t≥1時(shí),fmin(x)=f(t)=t2-2t+2;

當(dāng)t≤0時(shí),fmin(x)=f(t+1)=t2+1;

當(dāng)0

故歸納解題步驟如下:

當(dāng)t≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為增函數(shù),fmin(x)=f(t)=t2-2t+2;

當(dāng)1≥t+1即t≤0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為減函數(shù),fmin(x)=f(t+1)=t2+1;

當(dāng)t<1

我們可以得出這樣的結(jié)論:

對(duì)于二次函數(shù)求最值,軸定區(qū)間動(dòng)這一類(lèi)題,對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系有三種:(1)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左邊(含端點(diǎn));(2)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊(含端點(diǎn));(3)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)(不含端點(diǎn)),先確定參數(shù)范圍,然后再判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,最后再求結(jié)果.

當(dāng)有參數(shù)出現(xiàn)時(shí),有人覺(jué)得這樣的問(wèn)題難度陡增.其實(shí)也有規(guī)律可尋:

例3已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函數(shù)f(x)的最小值.

分析第一步看二次函數(shù)的開(kāi)口方向:開(kāi)口向上;第二步求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸:x=a;第三步判斷函數(shù)在給定區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性:這時(shí)不難發(fā)現(xiàn)此題中對(duì)稱(chēng)軸不確定,但區(qū)間確定,此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系有三種:(1)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左邊(含端點(diǎn));(2)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊(含端點(diǎn));(3)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)(不含端點(diǎn)).

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左邊(含端點(diǎn))即a≤-1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù);當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊(含端點(diǎn))即a≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù);當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)(不含端點(diǎn))即-1

第四步得出結(jié)果:

當(dāng)a≤-1時(shí),fmin(x)=f(-1)=3+2a;

當(dāng)a≥1時(shí),fmin(x)=f(1)=3-2a;

當(dāng)-1

故歸納解題步驟如下:

解函數(shù)f(x)=x2-2ax+2開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為x=a.當(dāng)a≤-1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù),fmin(x)=f(-1)=3+2a;當(dāng)-1

然后,我們對(duì)此做一總結(jié)歸納即可:

對(duì)于二次函數(shù)求最值軸動(dòng)區(qū)間定這一類(lèi)題時(shí),f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值分為以下三種情況:

當(dāng)然,如果區(qū)間和對(duì)稱(chēng)軸都不確定時(shí),我們也可以根據(jù)這樣的步驟將其分析完整:

分析第一步看二次函數(shù)的開(kāi)口方向:開(kāi)口向上;第二步求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸:x=2m+1;第三步判斷函數(shù)在給定區(qū)間[m,m+2]上的單調(diào)性:這時(shí)不難發(fā)現(xiàn)此題中對(duì)稱(chēng)軸不確定,且區(qū)間不確定,但對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系也只有三種:(1)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左邊(含端點(diǎn));(2)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊(含端點(diǎn));(3)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)(不含端點(diǎn)).

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左邊(含端點(diǎn))即2m+1≤m時(shí),得m≤-1,此時(shí)函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上為增函數(shù);

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊(含端點(diǎn))即2m+1≥m+2}時(shí),得m≥1,此時(shí)函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上為減函數(shù);

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)(不含端點(diǎn))即m<2m+1

第四步得出結(jié)果:

故歸納解題步驟如下:

評(píng)析對(duì)于二次函數(shù)求最值,軸動(dòng)區(qū)間動(dòng)時(shí),是二次函數(shù)中最復(fù)雜的問(wèn)題,但它做題步驟及分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)可以參照軸動(dòng)區(qū)間定和軸定區(qū)間動(dòng)的類(lèi)型來(lái)做.

綜上四個(gè)實(shí)例我們不難發(fā)現(xiàn):求二次函數(shù)最值各類(lèi)題型,我們都可以用和“一看、二求、三判、四得”這四步曲得到,另外這里只是列舉了二次函數(shù)開(kāi)口向上的情況,開(kāi)口向下時(shí)同理可求.

總之希望二次函數(shù)求最值“一看、二求、三判、四得”這四步曲能幫助大家求二次函數(shù)最值更快更準(zhǔn)確.

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