張啟兆 陳之領(lǐng)

摘要：近年來，微專題教學(xué)已經(jīng)成為大家廣泛認(rèn)同的高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的一種有效課型。以高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課《求圓錐曲線的離心率范圍問題》的設(shè)計(jì)為例，說明微專題教學(xué)應(yīng)該注意選題的針對(duì)性，選取高考熱點(diǎn)、難點(diǎn);注意認(rèn)知的基礎(chǔ)性，梳理知識(shí)和方法;注意方法的明確性，構(gòu)建解決一類問題的“路線圖”;注意思維的靈活性，拓展問題類型，克服思維定式。

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?微專題教學(xué)?《求圓錐曲線的離心率范圍問題》

所謂“微專題教學(xué)”，是指立足于具體的學(xué)情、考情，選擇一些角度新、切入點(diǎn)小、針對(duì)性強(qiáng)的復(fù)習(xí)專題，力求解決學(xué)生復(fù)習(xí)中的真實(shí)問題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的理解，提升學(xué)生思維能力的一種教學(xué)方式。近年來，微專題教學(xué)已經(jīng)成為大家廣泛認(rèn)同的高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的一種有效課型。本文結(jié)合高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課《求圓錐曲線的離心率范圍問題》的設(shè)計(jì)，談?wù)剬?duì)微專題教學(xué)的一些實(shí)踐與思考。

一、選題的針對(duì)性——選取高考熱點(diǎn)、難點(diǎn)

求圓錐曲線的離心率范圍問題綜合性較強(qiáng)，靈活多變，能有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。這類試題往往條件隱晦，涉及面廣泛，需要同時(shí)關(guān)注圖形的幾何特征和函數(shù)的取值范圍，使得不少學(xué)生感到困難，不知從何入手。因此，選擇“求圓錐曲線的離心率范圍問題”為復(fù)習(xí)主題（研究對(duì)象），以幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)熱點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

二、認(rèn)知的基礎(chǔ)性——梳理知識(shí)和方法

微專題教學(xué)要幫助學(xué)生梳理本專題所涉及的知識(shí)與方法，從而讓學(xué)生充分感悟不同問題之間的聯(lián)系，進(jìn)而形成對(duì)一類問題更為系統(tǒng)、全面的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生在新的情境問題的解決過程中形成結(jié)構(gòu)化的能夠舉一反三、觸類旁通的圖式做好準(zhǔn)備。

本節(jié)課中，為幫助學(xué)生梳理認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有但是相對(duì)零散的求解圓錐曲線的離心率范圍問題的知識(shí)和方法，筆者出示了以下教材改編題：

這兩道題目引導(dǎo)學(xué)生回顧求圓錐曲線離心率范圍問題的關(guān)鍵是尋找a、b、c之間的不等關(guān)系，基本方法是從幾何特征或代數(shù)特征出發(fā)尋找不等關(guān)系;同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決這類問題中的作用。

然后，筆者提出了以下反思性問題：

（5）可從哪些方面尋找a、b、c之間的不等關(guān)系？（預(yù)設(shè)：從題意出發(fā)，從圓錐曲線自身性質(zhì)出發(fā)，從幾何特征出發(fā)，從代數(shù)特征出發(fā)。）

這五個(gè)問題旨在引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，重新審視求圓錐曲線離心率范圍問題的過程，為學(xué)生自主生成求圓錐曲線離心率范圍問題的方法做準(zhǔn)備。

三、方法的明確性——構(gòu)建解決一類問題的“路線圖”

微專題教學(xué)要幫助學(xué)生建立良好的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)“為遷移而教”，應(yīng)將重點(diǎn)放在構(gòu)建解決本專題問題較為清晰的“路線圖”以及滲透解決本專題問題的一般數(shù)學(xué)思想方法上，而不是只關(guān)注單個(gè)題目的具體解法。要防止復(fù)習(xí)的“碎片化”，避免“就題論題”，不能將專題教學(xué)異化為同類題的綜合訓(xùn)練。

求解圓錐曲線的離心率范圍問題中，很多問題的條件與橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)三角形（以曲線的兩焦點(diǎn)和曲線上一點(diǎn)為定點(diǎn)的三角形，故其三邊分別為兩個(gè)焦半徑和焦距）有關(guān)。因此，筆者選擇其中的兩類典型——已知兩個(gè)焦半徑的夾角大小、已知兩個(gè)焦半徑的長(zhǎng)度關(guān)系，幫助學(xué)生梳理解題的基本思路：在焦點(diǎn)三角形中，利用圓錐曲線的第一定義、余弦定理以及其他已知條件等，將有關(guān)的量用a、b、c表示出來;再利用基本不等式、三角形的三邊關(guān)系、焦半徑的取值范圍等，建立a、b、c之間的不等關(guān)系。具體設(shè)計(jì)如下：

最后，筆者出示如下一道條件與雙曲線的不確定的弦有關(guān)的問題，作為課后作業(yè)，進(jìn)一步拓展學(xué)生對(duì)求圓錐曲線離心率范圍問題的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用：

作業(yè)（2018年高考北京理科卷第14題改編）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線離心率的取值范圍是_______________。

綜合上述教學(xué)設(shè)計(jì)，從另一個(gè)角度看，微專題教學(xué)比較合適的策略是“小題引路，例題精講，變式鞏固”，即結(jié)合學(xué)生實(shí)際，精心設(shè)計(jì)“問題串”，以簡(jiǎn)單問題帶動(dòng)知識(shí)和方法的梳理，以典型例題闡述知識(shí)和方法的應(yīng)用，輔之以變式串講，鞏固提升對(duì)知識(shí)和方法的理解。同時(shí)，單個(gè)問題比較合適的教學(xué)策略是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題提出、分析、比較、解決、提煉的過程，幫助學(xué)生形成“基本想法”，提升思維能力。

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