張蕾萍

摘要：針對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的被動(dòng)、孤立、機(jī)械的淺層學(xué)習(xí)而提出的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，不僅強(qiáng)調(diào)積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)、知識(shí)整合和意義聯(lián)結(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容、舉一反三的學(xué)習(xí)方法，還強(qiáng)調(diào)高階思維的發(fā)展和復(fù)雜問題解決能力的提升。促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略有：情境創(chuàng)設(shè)，應(yīng)注重激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求;問題設(shè)計(jì)，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的高階思維;意義建構(gòu)，應(yīng)注重知識(shí)的聯(lián)系整合;能力提升，應(yīng)注重過程的反思總結(jié)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)?深度學(xué)習(xí)?認(rèn)知需求?高階思維

黎加厚教授認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是在理解的基礎(chǔ)上，批判地學(xué)習(xí)新思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，在眾多思想和事實(shí)間進(jìn)行聯(lián)系，并將已有思維、知識(shí)遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學(xué)習(xí)。針對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的被動(dòng)、孤立、機(jī)械的淺層學(xué)習(xí)而提出的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，不僅強(qiáng)調(diào)積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)、知識(shí)整合和意義聯(lián)結(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容、舉一反三的學(xué)習(xí)方法，還強(qiáng)調(diào)高階思維的發(fā)展和復(fù)雜問題解決能力的提升。

促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)，要超越知識(shí)的表層符號(hào)，深入研究知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生認(rèn)知需求的情境，設(shè)置有挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究建構(gòu)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生將新舊知識(shí)相融合，將眾多思想相關(guān)聯(lián)，并有效地遷移知識(shí)、解決問題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)由知識(shí)建構(gòu)向能力提升的轉(zhuǎn)變。

一、情境創(chuàng)設(shè)，應(yīng)注重激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求

深度學(xué)習(xí)是基于已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過同化或順應(yīng)來建構(gòu)新知識(shí)的過程。創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫晨梢詥拘褜W(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，促使新舊知識(shí)發(fā)生沖突，引發(fā)問題，維持、強(qiáng)化、調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求，從而開啟深度學(xué)習(xí)之旅。

（一）從數(shù)學(xué)外部問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)知識(shí)往往較為抽象，甚至枯燥，無法有效吸引學(xué)生的注意。因此，教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重依據(jù)素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)等，設(shè)置如生活實(shí)際、實(shí)物演示、圖畫再現(xiàn)、史料故事等生動(dòng)直觀、易于理解的數(shù)學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

例如，教學(xué)“同類項(xiàng)”時(shí)，將書本、粉筆、卡片、三角板等散落在講臺(tái)上，請(qǐng)學(xué)生整理，學(xué)生很容易用分類的方法整理好。同時(shí)，展示超市琳瑯滿目、錯(cuò)落有致的商品陳列畫面，讓學(xué)生感受到分類廣泛地存在于生活中，并體會(huì)到分類的必要性。

再如，教學(xué)“軸對(duì)稱圖形”時(shí)，呈現(xiàn)一組圖片并引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：根據(jù)圖1中一半的圖形，猜猜畫的是什么？你們覺得圖2中的圖形美不美，它們有什么共同點(diǎn)？可以從哪兒將這些圖形分為左邊和右邊？怎么才能知道這些圖形左邊和右邊完全相同？這些從數(shù)學(xué)外部過渡到數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題情境，讓學(xué)生從想象到體驗(yàn)、從學(xué)習(xí)到運(yùn)用逐層深入，喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。

（二）從數(shù)學(xué)內(nèi)部問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境

從數(shù)學(xué)內(nèi)部問題出發(fā)，在知識(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)、交匯點(diǎn)處設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的沖突，可以激發(fā)學(xué)生積極思考，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究，幫助學(xué)生迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

例如，教學(xué)“正弦、余弦”時(shí)，設(shè)計(jì)情境：（1）直角△ABC中，∠C=90°，已知斜邊AB和一條直角邊AC，如何求另一條直角邊BC？（2）直角△ABC中，∠C=90°，已知∠A和斜邊AB，如何求∠A的對(duì)邊BC？對(duì)于情境（1），學(xué)生自然會(huì)想到勾股定理。而對(duì)于情境（2），學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)利用勾股定理無法解決，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，進(jìn)而產(chǎn)生迫切的求知欲。

再如，教學(xué)“乘法公式”時(shí)，很多教師通過利用兩種方法計(jì)算圖形面積引入乘法公式，但是學(xué)生會(huì)生發(fā)“怎么知道計(jì)算這個(gè)圖形的面積就能得到乘法公式”的疑問。學(xué)生做得到，但是想不到，就是“假探究”，不是深度學(xué)習(xí)。其實(shí)，多項(xiàng)式乘法是乘法公式的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)：在多項(xiàng)式乘法（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，若字母a、b、c、d有某些特殊關(guān)系，就有相應(yīng)的乘法公式，如a=c、b=-d時(shí)有平方差公式，a=c、b=d時(shí)有完全平方公式。因此，乘法公式是多項(xiàng)式乘法的特例?！翱疾焯乩笔菙?shù)學(xué)研究的基本“套路”，體現(xiàn)了從一般到特殊、歸納的思想。據(jù)此，教學(xué)“乘法公式”時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，再探究多項(xiàng)式乘法法則有哪些特殊情形，能夠得到哪些特殊結(jié)論。這樣的設(shè)計(jì)，切合知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程和內(nèi)在的邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;學(xué)生自主尋找特例，探究的空間大，是“真探究”，是深度學(xué)習(xí)。

二、問題設(shè)計(jì)，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的高階思維

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)，而問題是思維的起點(diǎn)與動(dòng)力。將教學(xué)的內(nèi)容與能力要求設(shè)計(jì)成具有系統(tǒng)性和靈活性、環(huán)環(huán)相扣且層層推進(jìn)的問題，能引導(dǎo)學(xué)生的思維由淺入深、由表及里，有效發(fā)展學(xué)生的高階思維。

（一）設(shè)計(jì)遞進(jìn)性“問題串”

深度學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，需要逐步深入。教學(xué)中，教師要從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)到繁，由易到難，由具體、明確、封閉和單一到抽象、模糊、開放和綜合的遞進(jìn)性“問題串”，促使學(xué)生不斷深入思考，思維水平也由感知、記憶等較低層次向抽象與概括、判斷與推理等較高層次不斷提升。這樣的“問題串”在知識(shí)教學(xué)和習(xí)題教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。

例如，教學(xué)“圓周角定理”時(shí)，設(shè)計(jì)如下“問題串”，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷類比、作圖、觀察、猜想、度量、驗(yàn)證、分析、論證、轉(zhuǎn)化、歸納等活動(dòng)，由感性到理性、由特殊到一般地探究圓周角定理，理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，感悟相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，提升思維的深刻性。

問題1類比圓心角的結(jié)論（同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等），同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等嗎？

問題2先畫一個(gè)圓心角，再畫同弧所對(duì)的圓周角，你能畫多少個(gè)？所畫的圓周角（的度數(shù)）與圓心角（的度數(shù)）有何關(guān)系？先猜一猜，再用量角器量一量，你有何發(fā)現(xiàn)？

問題3一條弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而圓周角有無數(shù)個(gè)，如何用你所學(xué)的知識(shí)來推理論證它們之間的關(guān)系呢？

問題4在你所畫的圖中，圓心與圓周角的位置關(guān)系有幾種情況？

問題5當(dāng)圓心在圓周角的一邊上時(shí)，如何證明？

問題6其他的兩種情況下，如何證明？可否轉(zhuǎn)化為上述情況？

再如，教學(xué)“相似三角形的性質(zhì)”時(shí)，設(shè)計(jì)如下“問題串”，從特殊到一般，不斷放寬條件，引導(dǎo)學(xué)生在不同的情境中逐步遷移運(yùn)用“相似三角形對(duì)應(yīng)線段（高）之比等于相似比”這一性質(zhì)及已有經(jīng)驗(yàn)解決問題，促使思維不斷走向深刻。

如圖3，有一塊三角形余料ABC，邊BC=120 cm，高AD=80 cm。要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上。

問題1加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？

問題2如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形，且長(zhǎng)寬之比為2∶1，那么怎么加工，此矩形的面積最大？

問題3如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形，那么此矩形的面積最大是多少？

（二）設(shè)計(jì)辨析性問題組

深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)批判地學(xué)習(xí)新思想和事物。教學(xué)中，教師可從學(xué)生學(xué)習(xí)的易混點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)既有聯(lián)系又有區(qū)別、形似神非的辨析性問題組，促使學(xué)生自覺反思并發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程和已有認(rèn)識(shí)中的不足與錯(cuò)誤，進(jìn)行質(zhì)疑、批判、完善和修正。

例如，教學(xué)“分式方程”時(shí)，學(xué)生遇到含待定系數(shù)的分式方程“無解”“有增根”等問題時(shí)，常常把它們混為一談;遇到含待定系數(shù)的分式方程“有特殊解”的問題時(shí)，常常忽視增根。因此，設(shè)計(jì)如下問題組，引導(dǎo)學(xué)生在比較中辨析，在反思中完善和修正，發(fā)展思維的批判性。

分式方程需要去分母轉(zhuǎn)化為整式方程求解。分式方程有增根即轉(zhuǎn)化后的整式方程有解，但不是原分式方程的解，即原分式方程分母為0。分式方程無解包括兩種情況：一是轉(zhuǎn)化后的整式方程無解，二是轉(zhuǎn)化后的方程有解，但相應(yīng)的解是原分式方程的增根。即有增根是無解的一種情況。

題組1的三道題引導(dǎo)學(xué)生辨析“無解中的有增根”“無解中的有增根和無增根”和“無解即有增根”三種情況。題組2的兩道題引導(dǎo)學(xué)生辨析“特殊解中包含增根”和“特殊解中不包含增根”兩種情況。

三、意義建構(gòu)，應(yīng)注重知識(shí)的聯(lián)系整合

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是存在內(nèi)在聯(lián)系的。加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系與整合，有助于充分理解知識(shí)，靈活遷移運(yùn)用，是深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合，使之條理化、系統(tǒng)化，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有意義的知識(shí)建構(gòu)。

（一）建立知識(shí)聯(lián)系

數(shù)學(xué)各部分知識(shí)在內(nèi)容上、方法上是相互滲透、縱橫關(guān)聯(lián)的。教學(xué)中，教師既要注意知識(shí)間的橫向聯(lián)系，又要注意知識(shí)間的縱向聯(lián)系，從而設(shè)計(jì)好相應(yīng)的“先行組織者”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，不斷擴(kuò)充和豐富已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，做到舉一反三、觸類旁通。

例如，教學(xué)“矩形、菱形、正方形”時(shí)，提出以下問題：學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)，你積累了哪些研究經(jīng)驗(yàn)和策略？你覺得可從哪些角度來研究矩形、菱形、正方形？引導(dǎo)學(xué)生類比遷移研究平行四邊形的方法，從邊、角、對(duì)角線等角度來探究矩形、菱形、正方形的特殊性質(zhì)。

再如，教學(xué)“二次函數(shù)”時(shí)，提出以下問題：（1）一般從哪些方面研究函數(shù)？（2）根據(jù)研究一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)和策略，你覺得應(yīng)如何研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)？第一個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)概括函數(shù)研究的一般思路，即從函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)以及應(yīng)用等方面來研究，讓學(xué)生知道“學(xué)什么”。第二個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生類比研究一次函數(shù)從y=kx到y(tǒng)=kx+b、從k>0到k<0的思路來研究二次函數(shù)，即從y=ax2到y(tǒng)=ax2+k、y=a（x+h）2 再到y(tǒng)=a（x+h）2+k、y=ax2+bx+c，從a>0到a<0，研究圖像的形狀、位置、增減性以及位置關(guān)系等。

（二）發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教學(xué)中，教師還要注意引導(dǎo)學(xué)生把不同的知識(shí)片段和模塊聯(lián)結(jié)起來，整合成有序的認(rèn)知組塊，發(fā)展出完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，教學(xué)完《中心對(duì)稱圖形——平行四邊形》一章后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生小組合作繪制思維導(dǎo)圖（如下頁圖4），將相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)化組織、模塊化架構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)化呈現(xiàn)，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、能力提升，應(yīng)注重過程的反思總結(jié)

學(xué)習(xí)反思是對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行審視、分析、評(píng)價(jià)、調(diào)節(jié)的過程，有助于學(xué)習(xí)的真正深入以及對(duì)內(nèi)容的本質(zhì)理解，發(fā)展元認(rèn)知，提升學(xué)習(xí)能力。教學(xué)中，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)自己的學(xué)習(xí)過程。

一方面，知識(shí)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思知識(shí)探究的過程，提煉獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法和有效策略，提高獲取知識(shí)的能力。如，教學(xué)“圓周角定理”時(shí)，探究得出“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”后，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思獲得這一結(jié)論的探究過程，提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法：猜想結(jié)論時(shí)，將直觀操作和邏輯推理有機(jī)結(jié)合;論證結(jié)論時(shí)，先通過畫圖探究圓心與圓周角的關(guān)系有幾種情況，體現(xiàn)了分類思想，再通過添加輔助線將“圓心在圓周角內(nèi)部”“圓心在圓周角外部”這兩種情況轉(zhuǎn)化成“圓心在圓周角邊上”的情況，體現(xiàn)了化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化一般為特殊的化歸思想。

另一方面，習(xí)題教學(xué)中，教師也要引導(dǎo)學(xué)生反思問題解決的過程，提煉問題的類型、特征以及解決問題的思想方法和有效策略，并思考問題的推廣與變式以及解法的普適和優(yōu)化，提升解決問題的能力。如，解決問題“如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線。若P、Q分別是AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是”后，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程：這是“已知兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q（分別在兩條直線上）和一個(gè)定點(diǎn)C，求有關(guān)的兩條線段長(zhǎng)PC、PQ的和的最小值”的問題，只要將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q看成定點(diǎn)，就可以轉(zhuǎn)化為比較熟悉的“兩定點(diǎn)（直線外）、一動(dòng)點(diǎn)（直線上），求距離和的最小值”的問題，即將軍飲馬問題，就可以通過找對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折轉(zhuǎn)直”，再利用“垂線段最短”來解決。由此，讓學(xué)生充分體會(huì)化陌生為熟悉的轉(zhuǎn)化思想。

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