黃嬌艷

摘要：教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊《圓的認(rèn)識》一課，基于學(xué)生認(rèn)知，組織課前自學(xué);立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，開展課堂教學(xué)。先前，學(xué)生是從生活的角度感性地認(rèn)識圓的特征，這節(jié)課，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度更加理性地認(rèn)識圓的本質(zhì)，從而真正地體會(huì)到圓的美。具體地，在三次“畫圖”中體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的圓，在三次“追問”中深化圓的認(rèn)識，在兩次“想象”中建構(gòu)圓的概念。

關(guān)鍵詞：學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)本質(zhì)圓的認(rèn)識課堂教學(xué)

一、教前思考

“圓的認(rèn)識”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊的內(nèi)容，是在學(xué)生認(rèn)識了長方形、正方形、三角形等多種平面圖形的基礎(chǔ)上開展教學(xué)的。教材的編排思路是，先借助實(shí)物揭示圓的概念，讓學(xué)生感受圓與現(xiàn)實(shí)的密切聯(lián)系;再引導(dǎo)學(xué)生借助實(shí)物、圓規(guī)等多種工具畫圓，初步感受圓的特征，并掌握圓的畫法;最后引導(dǎo)學(xué)生通過折一折、畫一畫、比一比等活動(dòng)，掌握圓的基本特征。

（一）基于學(xué)生認(rèn)知，組織課前自學(xué)

學(xué)生對圓并不陌生，一是因?yàn)樵谏钪谐Ｒ姷綀A形表面的物體，二是因?yàn)樵诘湍昙壱呀?jīng)接觸過圓這個(gè)平面圖形。此外，現(xiàn)在信息資訊豐富、獲取手段多元，有的學(xué)生對圓早就有了更多的了解。鑒于此，筆者做了一個(gè)課前調(diào)研，讓學(xué)生說說“我眼中的圓”。調(diào)研結(jié)果正如筆者所預(yù)想的，學(xué)生對圓有很多了解。比如，學(xué)生知道圓是“封閉圖形”“曲線圖形”“軸對稱圖形”等，還有不少學(xué)生知道“半徑”“直徑”“圓心”等名稱并且會(huì)用圓規(guī)畫圓。基于此，筆者讓學(xué)生課前自學(xué)教材內(nèi)容，了解圓的各部分名稱、畫圓的方法等基礎(chǔ)知識和基本技能。

（二）立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，開展課堂教學(xué)

圓的特征主要包括同一個(gè)圓的半徑和直徑各自的特點(diǎn)、半徑和直徑的關(guān)系等。教學(xué)中通常是讓學(xué)生通過測量、折圓形紙片等操作了解這些特征。但是這樣是不是就夠了呢？筆者認(rèn)為，這樣的教學(xué)缺少了思維的深度，沒有讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。實(shí)際上，圓所有的特征都是由它的本質(zhì)——在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合——決定的。所以，在教學(xué)中完全可以讓學(xué)生結(jié)合用圓規(guī)畫圓的感受，體會(huì)圓為什么會(huì)有這些特征，從而感悟圓的本質(zhì)。

如果先前學(xué)生是從生活的角度感性地認(rèn)識圓的特征的話，那么這節(jié)課，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度更加理性地認(rèn)識圓的本質(zhì)，從而真正地體會(huì)到圓的美?；诖?，筆者制定了如下教學(xué)目標(biāo)：（1）通過自學(xué)、交流、反思等多種學(xué)習(xí)方式，知道什么是圓心、半徑、直徑，能夠借助工具畫圓，學(xué)會(huì)利用圓規(guī)畫指定大小的圓，感受并發(fā)現(xiàn)圓的本質(zhì)屬性;（2）在多次操作活動(dòng)中，慢慢抽象出圓的概念，發(fā)展理性思維，增強(qiáng)空間觀念;（3）進(jìn)一步體驗(yàn)圖形與生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美與應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、教學(xué)過程

（一）從“預(yù)習(xí)反饋”中引出

師同學(xué)們，今天這節(jié)課我們一起來認(rèn)識圓。當(dāng)然，我們對圓并不陌生。（出示圖1、圖2）看，這是同學(xué)們眼中的圓。

師課前，老師還做了一個(gè)調(diào)查。（出示圖3）關(guān)于圓，同學(xué)們還有很多好奇的地方。

（二）在“交流碰撞”中感受

師昨天我們對書本上的相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)進(jìn)行了預(yù)習(xí)。通過預(yù)習(xí)，你能解決上述哪些問題呢？下面請大家在小組里交流一下你的預(yù)習(xí)收獲。

（學(xué)生小組交流。）

師通過看書，你又知道了什么？

生我知道了如何畫一個(gè)圓。我們可以借助圓規(guī)來畫。

（該生板演畫圓方法。）

生我還認(rèn)識了半徑、直徑、圓心。

（該生結(jié)合黑板上的圓依次介紹。）

師半徑是一條怎樣的線段？

生從圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段。

師（用兩個(gè)手指比畫出一條半徑）這任意一點(diǎn)，怎么體現(xiàn)?。?/p>

生（指圖）這兒、這兒……

師指得完嗎？

生指不完，所以說半徑有無數(shù)條。

師你看，不知不覺中，我們發(fā)現(xiàn)了半徑的一個(gè)重要的特點(diǎn)。（板書：無數(shù)條）那直徑呢？

（指名學(xué)生在黑板上的圓中畫出一條直徑。）

師關(guān)于這幾個(gè)名稱，還有什么想要說的嗎？

生半徑和直徑都有無數(shù)條;直徑是半徑的兩倍;所有半徑都相等，所有直徑也都相等。

師解釋一下。

生圓邊上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這樣可以和圓心連出無數(shù)條半徑和直徑。

生直徑是半徑的兩倍，我可以畫給大家看。

（該生上前在一條直徑上畫出兩條半徑。）

生我量了一個(gè)圓的好幾條半徑和直徑，發(fā)現(xiàn)這些半徑的長度都相等，直徑的長度也都相等。

生（立刻舉手）可是一個(gè)圓有無數(shù)條半徑和直徑，你只量了其中幾條，能說明所有半徑的長度都相等，直徑的長度也都相等嗎？

（其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，之前回答的學(xué)生也一時(shí)不知道怎么回答。）

師不急，我們繼續(xù)往下研究，相信到時(shí)候這個(gè)問題就能迎刃而解了。不過，老師要對同學(xué)們剛才提出的這些結(jié)論補(bǔ)充一個(gè)條件，那就是“在同一個(gè)圓里”。不然，這些比較都是沒有意義的。（稍停）看來，大家對于書本上介紹的內(nèi)容已經(jīng)基本明晰了，下面我們就用這些知識來解決一些問題。

（教師出示判斷半徑、直徑的問題，學(xué)生回答。）

（三）在“問題驅(qū)動(dòng)”中深化

1.用圓規(guī)就一定能畫一個(gè)完美的圓嗎？

師剛才，同學(xué)們通過看書和小組討論，解決了兩個(gè)問題。不過，這還僅僅是大家自學(xué)以后最初的收獲和想法?？鬃佑幸痪湓挘骸皩W(xué)而不思則罔。”他在告訴我們，除了要善于學(xué)習(xí)，更重要的是善于思考。下面，就讓我們帶上自己的思考再來看一看剛才的收獲。大家都已經(jīng)學(xué)會(huì)了用圓規(guī)畫圓，那么，用圓規(guī)就一定能畫一個(gè)完美的圓嗎？

（學(xué)生不置可否。）

師我們一起來畫一畫。請同學(xué)們?nèi)我猱嫵?個(gè)大小不等的圓。

（學(xué)生獨(dú)立畫圓。）

師哎，有意思了！老師發(fā)現(xiàn)，同樣在用圓規(guī)畫圓，同樣畫3個(gè)圓，同學(xué)們有快、有慢，有成功的、有不成功的。（展示一些作品）這是怎么回事？

生他們在畫圓的時(shí)候，固定的鐵針可能沒有扎緊，動(dòng)了一下。

生也可能是圓規(guī)裝有鉛筆的那一頭動(dòng)了一下。

生還可能是在畫的時(shí)候，圓規(guī)的兩條腿一直在動(dòng)。我來演示一下。

（該生上前演示。）

師這么說來，要成功地畫出一個(gè)圓，有哪些關(guān)鍵的地方？

生固定一個(gè)點(diǎn);保持兩腳之間的距離不變。

師是的，圓規(guī)一腳的針尖必須固定在一個(gè)點(diǎn)上，這是定點(diǎn)，其實(shí)就是圓的圓心;圓規(guī)兩腳之間的距離必須保持不變，這是定長，其實(shí)就是圓的半徑。（板書：定點(diǎn)、定長）然后旋轉(zhuǎn)一圈就能形成一個(gè)圓。（電腦展示畫圓過程）當(dāng)然，在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，圓規(guī)如果傾斜一點(diǎn)，會(huì)更好畫。（稍停）剛才的要求是畫大小不等的圓，你是怎么做到的？

生使得圓規(guī)兩腳之間的距離不同。

師看來，圓的大小是由什么來決定的。

生定長、半徑。

師（出示一個(gè)同心圓）這3個(gè)圓有什么奇妙之處？

生位置相同。

生圓心相同。

師正因?yàn)閳A心是同一個(gè)，畫的位置也就在同一個(gè)地方，所以說圓心決定了圓的位置。（稍停）就是為了滿足這些要求，才有了圓規(guī)這樣一個(gè)畫圓工具。讓我們繼續(xù)畫圓，再次感受一下圓規(guī)的奇妙之處。注意老師的要求。

（教師出示要求：1.半徑2.5厘米;2.直徑2.5厘米。學(xué)生畫圓。）

2.畫圓一定要用圓規(guī)嗎？

師剛才，大家通過觀察、操作，發(fā)現(xiàn)用圓規(guī)能方便地畫出一個(gè)圓。那么，畫圓一定要用圓規(guī)嗎？同桌交流一下。

（學(xué)生交流方法。教師指名學(xué)生在黑板上用一根線、粉筆、大頭釘畫圓。）

師掌聲給他們。為什么用這些道具也能畫出一個(gè)圓？

生因?yàn)樗蛨A規(guī)一樣，做到了“定點(diǎn)”和“定長”。

師（播放相應(yīng)視頻）體育老師就是用這樣的方法在操場上畫出了一個(gè)大大的圓?？磥碇灰岸c(diǎn)”“定長”，即使不用圓規(guī)，也能畫出一個(gè)完美的圓。（稍停）剛才，我們利用工具畫出了看得見的圓，其實(shí)，在我們的生活中還有許多看不見的圓。（出示鐘面、機(jī)場雷達(dá)圖，指著鐘面圖）你能看到圓嗎？

生秒針繞著鐘面轉(zhuǎn)一圈，也能形成一個(gè)圓。

師這是一個(gè)怎樣的圓？能描述一下嗎？

生圓心是鐘面的中心，半徑是秒針的長度。

師還有圓嗎？

生分針和時(shí)針繞著鐘面轉(zhuǎn)一圈，都能形成一個(gè)圓。

師真棒！（將用圓規(guī)畫的圓、體育老師在操場上畫的圓、鐘面、機(jī)場雷達(dá)這四幅圖匯聚在一起）同學(xué)們看，剛才我們利用工具或者根據(jù)想象，都得到了一個(gè)圓。請大家想一想：為什么它們最終都能形成一個(gè)圓呢？

生因?yàn)槎即_定了一個(gè)中心點(diǎn)（定點(diǎn)）和定長。

師的確，正如同學(xué)們說的那樣，不管是圓規(guī)的鉛筆頭（在圖中標(biāo)出相應(yīng)點(diǎn)）、體育老師拿著的那個(gè)大勺子（在圖中標(biāo)出相應(yīng)點(diǎn)），還是鐘面上秒針的針尖（在圖中標(biāo)出相應(yīng)點(diǎn)），這些點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)的過程中，與中間這個(gè)定點(diǎn)（在圖中標(biāo)出中心點(diǎn)）之間的距離總是保持不變，所以最終都形成了圓?，F(xiàn)在，讓我們拿掉圓規(guī)，拿掉繩子和體育老師手中的大勺子，拿掉秒針，就留下這兩個(gè)點(diǎn)。請大家閉上眼睛想象一下，讓其中一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)起來，轉(zhuǎn)一下，留下一個(gè)點(diǎn)，繼續(xù)轉(zhuǎn)，兩下、三下……就會(huì)留下無數(shù)個(gè)點(diǎn)，然后把這些點(diǎn)連起來，就成了一個(gè)——

生（齊）圓。

師是的，這就是圓。所以，數(shù)學(xué)家說——

（教師出示：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓。學(xué)生齊讀。）

3.在同一個(gè)圓內(nèi)，為什么所有半徑都相等，所有直徑也都相等？

師我們再去看看一開始的收獲?，F(xiàn)在，對于在同一個(gè)圓內(nèi)半徑、直徑的特征，特別是半徑的長度都相等，你能解釋清楚了嗎？

生因?yàn)榘霃降拈L度其實(shí)就是這個(gè)“定長”，所以在同一個(gè)圓內(nèi)，所有的半徑都相等。因?yàn)橹睆嚼锇藘蓚€(gè)半徑，所以在同一個(gè)圓內(nèi)，所有的直徑也都相等。

師你看，同一個(gè)特點(diǎn)，對它的理解，和剛才相比，你感覺怎么樣？

生更清楚了。

（四）在“拓展延伸”中提升

師課的開始，我們都描述了自己心中圓的形象?，F(xiàn)在，你是不是對圓又有了新的感受呢？讓我們再來說說圓。

生圓代表了完美、圓滿！

生我以前聽到過說“圓是最美的平面圖形”，今天感受到了。

師那你們覺得圓和其他平面圖形比起來，到底美在哪里？

生我覺得是圓看上去很光滑。

生只有圓的中心點(diǎn)到邊上的點(diǎn)的距離都相等，其他平面圖形都做不到。這可能就是圓的完美之處。

……

師同學(xué)們說了這么多，我想這句話最能體現(xiàn)大家此時(shí)此刻對圓的認(rèn)識：“圓，一中同長。”這是我國古代思想家墨子對圓的概括。一中即圓心，同長即半徑都一樣長。這短短四個(gè)字就是圓的精髓所在?，F(xiàn)在，如果讓你在黑板上找出最想留下的幾個(gè)字，你會(huì)找出哪幾個(gè)字？

生定點(diǎn)、定長。

師是的，定點(diǎn)、定長，決定了圓所有的特點(diǎn)，也決定了圓的美，圓的與眾不同。同學(xué)們，回顧今天的課堂，我們經(jīng)歷了從向書本學(xué)習(xí)、向同學(xué)學(xué)習(xí)到自己再思考、再收獲的過程，對圓的認(rèn)識一步步從模糊走向清晰。就讓我們帶著這樣一種學(xué)習(xí)、思考的方式繼續(xù)去研究圓其他方面的知識吧！

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）在三次“畫圖”中體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的圓

著名教育家陶行知先生做過這樣一個(gè)比喻：我們要以自己的經(jīng)驗(yàn)做“根”，以這經(jīng)驗(yàn)所發(fā)生的知識做“枝”，然后別人的知識才能接得上去，成為我們知識的一個(gè)有機(jī)部分。因此，要讓學(xué)生在經(jīng)歷中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中累積，這樣才能讓知識的“根”扎得更深。

生活中許多物體都有圓形的面，可以說學(xué)生對圓有著豐富的感性認(rèn)識。引導(dǎo)學(xué)生從圓的生活表象進(jìn)入圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是這節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“定點(diǎn)”“定長”。怎樣才能讓學(xué)生真正體會(huì)到呢？應(yīng)該讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)上的圓的形成過程，在畫圖實(shí)踐中認(rèn)知、明理和發(fā)展。

這節(jié)課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三次畫圓體驗(yàn)，感悟圓的本質(zhì)。第一次，在自學(xué)的基礎(chǔ)上用圓規(guī)畫圓，通過比較成功與不成功的體驗(yàn)，體會(huì)到“定點(diǎn)”“定長”是決定畫圓成功的關(guān)鍵;第二次，畫出不同半徑、直徑的圓，感受到“定點(diǎn)”“定長”決定一個(gè)圓的位置和大小;第三次，用一根線、粉筆、大頭釘畫圓，體會(huì)到只要做到“定點(diǎn)”“定長”，即使沒有圓規(guī)，也能畫出一個(gè)圓。

（二）在三次“追問”中深化圓的認(rèn)識

問題是打開思維的有效通道。何時(shí)提問、提問什么，是數(shù)學(xué)教學(xué)最需要研究的。

“圓的認(rèn)識”的知識點(diǎn)很瑣碎，所以教學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“教師一直在提問，學(xué)生一直在回答”的現(xiàn)象，這樣表面上學(xué)生不斷地在思考，實(shí)際上學(xué)生的理解很淺薄。本節(jié)課中，筆者讓學(xué)生自學(xué)并交流淺表的非本質(zhì)知識，然后圍繞有深度的本質(zhì)知識“定點(diǎn)”和“定長”，設(shè)計(jì)了三個(gè)核心問題，對學(xué)生進(jìn)行追問，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知深化。

問題1：用圓規(guī)就一定能畫一個(gè)完美的圓嗎？學(xué)生通過自學(xué)，知道了用圓規(guī)可以畫一個(gè)圓，雖然不是每次都能成功，但是通過不斷地嘗試，成功的概率會(huì)越來越高。教學(xué)如果滿足于學(xué)生會(huì)畫圓，顯然是不夠的。通過問題1，迫使學(xué)生反思畫圓的過程，從而發(fā)現(xiàn)成功畫圓的關(guān)鍵是圓規(guī)裝有鐵針的那只腳固定不動(dòng)、圓規(guī)兩腳之間的距離保持不變，由此領(lǐng)會(huì)圓的本質(zhì)“定點(diǎn)”“定長”。

問題2：畫圓一定要用圓規(guī)嗎？學(xué)生會(huì)用圓規(guī)畫圓后，容易認(rèn)為圓規(guī)是畫圓的唯一工具。通過問題2，迫使學(xué)生反思畫圓的方法，從而發(fā)覺圓的本質(zhì)“定點(diǎn)”“定長”，由此發(fā)散到其他工具，創(chuàng)造其他畫圓方法。

問題3：在同一個(gè)圓內(nèi)，為什么所有半徑都相等，所有直徑也都相等？學(xué)生通過閱讀教材以及量一量、折一折等操作，知道了圓的一些特征，但這樣的發(fā)現(xiàn)還是淺層次的。而通過前面幾次畫圓和反思，學(xué)生對圓的本質(zhì)“定點(diǎn)”“定長”已經(jīng)有了深入的體會(huì)。此時(shí)，讓學(xué)生思考問題3，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)圓的這些特征是由它的本質(zhì)決定的，從而實(shí)現(xiàn)深層次的認(rèn)識。

（三）在兩次“想象”中建構(gòu)圓的概念

心理學(xué)認(rèn)為，想象是人在頭腦里對已儲存的表象進(jìn)行加工改造形成新形象的心理過程。想象是一種特殊的思維形式，數(shù)學(xué)中很多概念的建構(gòu)都要基于想象，超越實(shí)物層面，進(jìn)入心理層面，比如平行線的認(rèn)識、圓柱的形成等等。

圓在數(shù)學(xué)中的定義（在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合）是超越現(xiàn)實(shí)的（在現(xiàn)實(shí)中并不存在）。本節(jié)課中，為了讓學(xué)生認(rèn)識到這一點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了兩次想象活動(dòng)。

第一次，在學(xué)生認(rèn)識到只要做到“定點(diǎn)”“定長”，就能成功地畫出圓后，讓他們結(jié)合鐘面上的指針運(yùn)動(dòng)，想象所形成的圓?；趫A的本質(zhì)的想象雖然是看不到的，但是又“真實(shí)”地反映在學(xué)生的腦海中的。它既是對圓的特征的一次應(yīng)用，也反過來促進(jìn)了對圓的認(rèn)識，更使學(xué)生的思維得到了進(jìn)一步提升。

第二次，在學(xué)生用想象“畫”出了看不見的圓，對“定點(diǎn)”“定長”有了深刻的認(rèn)識后，讓他們基于呈現(xiàn)的兩個(gè)點(diǎn)，想象“讓其中一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)起來，轉(zhuǎn)一下，留下一個(gè)點(diǎn)，繼續(xù)轉(zhuǎn)，兩下、三下……就會(huì)留下無數(shù)個(gè)點(diǎn)，然后把這些點(diǎn)連起來，就成了一個(gè)圓”。學(xué)生最終建構(gòu)了數(shù)學(xué)上完美（純粹）的圓。這時(shí)，讓他們再暢談“我眼中的圓”，理解“圓是最美的平面圖形”就是深刻而自然的了。