丁維虎 黃德俊

摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類客觀性較強(qiáng)且約定俗成的知識，通常被稱為“數(shù)學(xué)規(guī)定”，諸如一些數(shù)學(xué)概念的命名、符號表達(dá)、書寫格式和運(yùn)算法則等。審視“數(shù)學(xué)規(guī)定”的教學(xué)，可以通過精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)規(guī)定”的必要性、有效性、系統(tǒng)性和延展性，促進(jìn)學(xué)生對“數(shù)學(xué)規(guī)定”的深度理解，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)定數(shù)對確定位置

小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類客觀性較強(qiáng)且約定俗成的知識，通常被稱為“數(shù)學(xué)規(guī)定”，諸如一些數(shù)學(xué)概念的命名、符號表達(dá)、書寫格式和運(yùn)算法則等。很多教師認(rèn)為，“數(shù)學(xué)規(guī)定”一般都有深刻的背景和理由，不適合讓小學(xué)生討論或探究。因此，在教學(xué)中大多采用直接告知或讓學(xué)生看書習(xí)得的方式，以求學(xué)生快速接受其要義，而把課堂時(shí)間和精力放到技能訓(xùn)練上。但是，筆者認(rèn)為，這樣處理消除不了學(xué)生心中的疑惑，滿足不了兒童喜歡追問為什么的天性，不利于他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的發(fā)展。

《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》指出：當(dāng)下，人的核心競爭力在于是否具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。由此視角出發(fā)，審視“數(shù)學(xué)規(guī)定”的教學(xué)，可以通過精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)規(guī)定”的必要性、有效性、系統(tǒng)性和延展性，促進(jìn)學(xué)生對“數(shù)學(xué)規(guī)定”的深度理解，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

下面，以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊《用數(shù)對確定位置》一課為例，談一談筆者對“數(shù)學(xué)規(guī)定”的理解和教學(xué)實(shí)踐。

一、“不以規(guī)矩，不能成方圓”——感受“數(shù)學(xué)規(guī)定”的必要性

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)有指導(dǎo)的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”過程。對于“數(shù)學(xué)規(guī)定”的教學(xué)，我們必須讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中充分意識到“數(shù)學(xué)規(guī)定”的必要性和合理性。因此在教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常l(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突與矛盾，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“再探索”“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過程，讓學(xué)生產(chǎn)生“數(shù)學(xué)規(guī)定”的需要，體會“數(shù)學(xué)規(guī)定”的必要性、合理性和數(shù)學(xué)的精確之美。

本節(jié)課伊始，筆者創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“幫助小女孩尋找孫悟空真身”的情境：會分身術(shù)的孫悟空變出了35個(gè)假身，和自己的真身混在一起（如圖1）。請學(xué)生根據(jù)數(shù)字“3”，指出孫悟空真身的位置。為了便于學(xué)生觀察，把每個(gè)孫悟空都看作一個(gè)小圓圈，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)單上圈畫，然后全班交流分享，總結(jié)得到20個(gè)位置（如圖2）。接著引導(dǎo)學(xué)生討論：為什么這20個(gè)位置都能和數(shù)字“3”聯(lián)系起來？在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生明確“豎排叫作列，橫排叫作行”，分別認(rèn)識從左往右數(shù)和從右往左數(shù)的第3列，以及從上往下數(shù)和從下往上數(shù)的第3行。這樣，明確列和行的意義，就成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種自然需要。

根據(jù)一個(gè)數(shù)字“3”，不能確定孫悟空真身的位置，那該怎么辦？學(xué)生會要求再給一個(gè)數(shù)字，筆者順勢增添數(shù)字“5”。學(xué)生根據(jù)這兩個(gè)數(shù)，再次在學(xué)習(xí)單上圈畫，全班交流分享，總結(jié)得到8種可能（如圖3）。此時(shí)，學(xué)生自動開始了“公說公有理，婆說婆有理”的辯論。筆者向?qū)W生發(fā)問：怎么給了兩個(gè)數(shù)字還有8種不同位置，而且同一個(gè)位置還有不同的解釋？為什么會出現(xiàn)這種情況？到底怎么辦？引導(dǎo)學(xué)生思考、商討問題的癥結(jié)，感悟：光有兩個(gè)數(shù)字還不行，還必須有一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)定，即明確列和行的順序以及列數(shù)和數(shù)行計(jì)數(shù)的方向。

上述教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從20種可能到8種可能，直至唯一可能的探究過程，使學(xué)生切實(shí)感受到了“數(shù)學(xué)規(guī)定”的必要性。

二、“樹樹皆秋色，山山唯落暉”——體現(xiàn)“數(shù)學(xué)規(guī)定”的有效性

“數(shù)學(xué)規(guī)定”是前人智慧的結(jié)晶，都有其內(nèi)在的道理。英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞說，一個(gè)新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而寓于最簡單的例子、最原始的定義以及最初的一些結(jié)果。對于“數(shù)學(xué)規(guī)定”的教學(xué)，教師既要遵循分散安排、由易到難、螺旋上升的認(rèn)知規(guī)律，也要從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，立足整體，力求在不斷完善中逐步達(dá)成階段目標(biāo)，從而讓學(xué)生深刻理解“數(shù)學(xué)規(guī)定”的意圖和作用——有效性。

在本節(jié)課的練習(xí)部分，筆者設(shè)計(jì)了如下三個(gè)環(huán)節(jié)：

（一）用數(shù)對表示教室中各人的位置

本節(jié)課中，列和行的順序是按觀察者的角度來確定的，這也是一種“數(shù)學(xué)規(guī)定”。對此，筆者引導(dǎo)學(xué)生深化理解：“今天，同學(xué)們的表現(xiàn)很突出，老師特別欣賞第1列的同學(xué)，請第1列的同學(xué)都站起來。”此時(shí)，第1列和第8列（一共8列座位）的學(xué)生，有的站起來了;有的站起來又立即坐下去了;還有的反復(fù)站起來、坐下去好幾次，不知如何是好。在一些學(xué)生手足無措時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回到主題圖上來，明確一開始要解決的問題是什么，哪一列才是第1列。學(xué)生自然地說出：確定位置時(shí)，一定要站在觀察者的角度來數(shù)列和行。這樣的“規(guī)定”就是學(xué)生自發(fā)、自然的內(nèi)在需求，而非教師或課本的外在灌輸。有了這些相對精準(zhǔn)指代的完整規(guī)定，學(xué)生就能很快地確定教室中各人的位置，進(jìn)而體會“數(shù)學(xué)規(guī)定”的作用。

（二）用數(shù)對表示生活中物體的位置

教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生理解和掌握了用數(shù)對表示位置的方法后，筆者引導(dǎo)學(xué)生將目光轉(zhuǎn)向現(xiàn)實(shí)生活，讓學(xué)生感受生活中數(shù)對的價(jià)值：出示學(xué)校食堂墻上的瓷磚圖案（如圖4），先讓學(xué)生用數(shù)對表示出兩塊有圖案的瓷磚的位置，再讓學(xué)生找出表示同一列或同一行瓷磚位置的數(shù)對的特點(diǎn)，最后總結(jié)用數(shù)對確定位置的方法。教師根據(jù)學(xué)生的回答板書，完成相應(yīng)坐標(biāo)圖。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生到生活中尋找體現(xiàn)“用數(shù)對確定位置”這一數(shù)學(xué)模型的典型事例，如棋盤、表格和地球儀等，并用今天所學(xué)的知識加以解釋。這樣，讓學(xué)生在豐富的素材中，把握數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性，更好地體會數(shù)對的魅力。

（三）用數(shù)對表示圖形中物體的位置

引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是教學(xué)的第一步，從中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)才是教學(xué)的重難點(diǎn)所在。解決了生活中的數(shù)對問題后，筆者出示了更加抽象的數(shù)對問題（如圖5），引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立完成，再進(jìn)行三個(gè)層次的比較：（1）本題與上一題的比較。上一題中物體的位置“行列相交在線”上，本題中物體的位置“兩線相交在點(diǎn)”上，意在初步培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和嚴(yán)密性。（2）本題中兩小題的比較。第1小題是已知行列順序確定物體位置，第2小題是已知物體位置逆推行列順序。而且，第2小題行和列的順序與第1小題并不相同，意在讓學(xué)生初步感受第0行與第0列的合理性，并巧妙滲透原點(diǎn)的含義，初步感悟平面直角坐標(biāo)系的原型。（3）三道題的整體比較。無論是確定教室內(nèi)、生活中，還是確定平面圖中物體的位置，三道題目使用的方法是相同的，意在讓學(xué)生感受用數(shù)對確定位置方法的普適性和唯一性，穩(wěn)固建立數(shù)對與物體位置之間的一一對應(yīng)關(guān)系，以獲得對數(shù)對相關(guān)知識的精確認(rèn)知與深度理解。

三、“道生一，一生二，二生三，三生萬物”——體現(xiàn)“數(shù)學(xué)規(guī)定”的系統(tǒng)性和延展性

數(shù)學(xué)知識之間存在內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)。這就要求數(shù)學(xué)教師跳出課堂看課堂，從更大的視野、更廣闊的空間來設(shè)計(jì)教學(xué)：把一節(jié)課的內(nèi)容置于整個(gè)知識體系中來審視、考察，做到既“瞻前”又“顧后”，即不僅逆向關(guān)注學(xué)生已學(xué)的知識，尋找與當(dāng)前知識的聯(lián)系，而且預(yù)留生長線索，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供鋪墊，從而不斷擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識的長度、寬度、深度和厚度，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)層次分明、相互聯(lián)系、靈活開放、具有生長擴(kuò)張力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

為此，在本節(jié)課的回顧反思環(huán)節(jié)，筆者這樣引導(dǎo)學(xué)生比較、推想，感受“數(shù)學(xué)規(guī)定”的系統(tǒng)性和延展性：今天我們所學(xué)的“用數(shù)對確定位置”和以前學(xué)過的確定位置有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？學(xué)生生發(fā)體悟：在一行或一列（即一維空間）中，根據(jù)“一個(gè)數(shù)”和“方向”就能確定位置;而在一個(gè)平面（即二維空間）中，根據(jù)“兩個(gè)數(shù)”（即行數(shù)和列數(shù)）和“方向”才能確定位置。無論是哪種方法，都要站在觀察者的角度來解決問題。從而打通新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

教學(xué)不止于此，筆者繼續(xù)演繹課始的“尋找孫悟空真身”情境：同學(xué)們找到孫悟空的真身了，但是孫悟空的本領(lǐng)可大了，他又使用“隱身術(shù)”鉆進(jìn)了由27個(gè)小方塊組成的魔方（如圖6）中，你能確定他的位置嗎？引導(dǎo)學(xué)生推想并說出理由，初步感知空間坐標(biāo)系。這樣的教學(xué)，抓住了數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)，滲透以點(diǎn)（位置）與數(shù)（數(shù)對、數(shù)組）對應(yīng)為內(nèi)核的坐標(biāo)思想，讓學(xué)生真切地感受到“數(shù)學(xué)規(guī)定”動態(tài)統(tǒng)一、有機(jī)關(guān)聯(lián)的特點(diǎn)。

“數(shù)學(xué)規(guī)定”的源頭并不枯燥、神秘，而是為了滿足人們有序、有效思考和生活實(shí)踐的需要。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要堅(jiān)持用情和理的“雙筒鏡”聚焦教學(xué)內(nèi)容，把理性化“數(shù)學(xué)規(guī)定”重新激活，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)、成長需要的有機(jī)嫁接，讓學(xué)生“知其然”，并盡力溯源“知其所以然”;理性看待“數(shù)學(xué)規(guī)定”，有情感地應(yīng)用“數(shù)學(xué)規(guī)定”，進(jìn)而審視、理解其他現(xiàn)存的規(guī)定，成為面向未來的一代新人。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“國語·國學(xué)·國民——現(xiàn)代國民素養(yǎng)教育實(shí)踐探索研究”（編號：B-b/2011/02/138）的階段性研究成果。

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