摘要：當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)習(xí)題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識和經(jīng)驗發(fā)生聯(lián)系，從而利用熟悉問題的解題思路來發(fā)現(xiàn)新問題的解決方法，即模式識別策略。數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模型把解決數(shù)學(xué)問題分為4個過程：理解問題、選擇算子、應(yīng)用算子、結(jié)果評價。以一道高考解析幾何題為例，說明模式識別策略在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用機(jī)理，揭示模式識別與思想方法、元認(rèn)知、學(xué)習(xí)遷移、問題表征等的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：模式識別數(shù)學(xué)解題思想方法元認(rèn)知

美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾指出：意義學(xué)習(xí)的過程是新舊意義同化的過程。他認(rèn)為，人類之所以能夠進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)，是因為新知識與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某些觀念發(fā)生了影響，即所學(xué)的新材料和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間相互作用的結(jié)果。當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)習(xí)題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識和經(jīng)驗發(fā)生聯(lián)系，從而利用熟悉問題的解題思路來發(fā)現(xiàn)新問題的解決方法，即模式識別策略。

南京師范大學(xué)喻平教授認(rèn)為：一般地，模式識別是一種知覺過程，是感覺信息與長時記憶中的有關(guān)信息進(jìn)行比較，再決定它與哪個信息有著最佳匹配的過程。他建立了一個數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模型的“循環(huán)系統(tǒng)”（如下頁圖1），把解決數(shù)學(xué)問題分為4個過程：理解問題、選擇算子、應(yīng)用算子、結(jié)果評價。與之對應(yīng)的認(rèn)知過程分別為問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控。這個認(rèn)知模型同時也反映了模式識別與其他因素（如元認(rèn)知、學(xué)習(xí)遷移、問題表征等）的內(nèi)在關(guān)系。

作為一種重要的解題策略，模式識別在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性是不言而喻的。下面以一道高考解析幾何題為例，嘗試說明模式識別策略在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用機(jī)理，揭示模式識別與思想方法、元認(rèn)知、學(xué)習(xí)遷移、問題表征等的關(guān)系。

一、解題研究

題目（2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第10題）已知橢圓C的兩個焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），過F2的直線與C交于A、B兩點。若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為（）

A. x22+y2=1B. x23+y22=1

C. x24+y23=1D. x25+y24=1

（一）問題表征：理解問題

問題表征是指根據(jù)問題提供的信息和自身已有的知識經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的問題空間的過程，即問題在頭腦中的呈現(xiàn)方式。具體地說，問題表征就是對條件和結(jié)論進(jìn)行表征，弄清楚題目的條件、結(jié)論是什么——關(guān)鍵是它們的數(shù)學(xué)含義是什么;在此基礎(chǔ)上，弄清楚題目的條件和結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，這種聯(lián)系是一種什么樣的結(jié)構(gòu)。具體的做法就是進(jìn)行文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉(zhuǎn)化，從題目的敘述中獲取數(shù)學(xué)“符號信息”，從題目的圖形中獲取數(shù)學(xué)“形象信息”。

由F1（-1，0）、F2（1，0），可知橢圓的半焦距c=1。由此就理解了問題結(jié)構(gòu)：只要建立（尋找）另一個關(guān)于a、b的方程，再結(jié)合a2-b2=1，解出a、b即可。

依據(jù)條件過F2的直線與橢圓交于A、B兩點，|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，可以畫出示意圖，如圖2。示意圖是一種“形象信息”，對于幾何問題，它更能將所有的已知條件“集合”到一起，便于發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，洞察問題結(jié)構(gòu)。

從中不難發(fā)現(xiàn)，A、B、F2三點共線——可能是建立方程的重要依據(jù);以及|AF2|=2|BF2|，|BF1|=3|BF2|——利用基本量思想轉(zhuǎn)化得到更清晰的長度關(guān)系。

（二）模式識別：選擇算子

模式識別是指對數(shù)學(xué)模式的再認(rèn)，就是盡力從自己的長時記憶中搜索有關(guān)的模式，用已有模式解決當(dāng)前問題。模式識別以問題表征為基礎(chǔ)，又是實現(xiàn)解題遷移的前提條件。在模式識別階段，如果不能找到合適的模式與已表征的問題匹配，或找到的模式不能用于表征問題，那么需要重新表征問題。

模式1：觀察圖2，發(fā)現(xiàn)有橢圓上的點，也有橢圓的兩個焦點，還有它們的連線，很容易想到焦點三角形——一個重要的模式。連接AF1，顯然△AF1F2、△BF1F2是橢圓的兩個焦點三角形。由橢圓的第一定義，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a。又由|AF2|=2|BF2|，|BF1|=3|BF2|，可得|AF1|=|AF2|=a，|BF1|=32a，|BF2|=12a。

橢圓上的點到焦點的距離（即焦半徑）表示出來了，便不難想到兩個思路：（1）聯(lián)立橢圓方程和距離公式，或利用焦半徑公式，得到A、B的坐標(biāo)（用a、b表示），利用A、B、F2三點共線建立方程;（2）解焦點三角形，得到cos∠AF2F1、cos∠BF2F1（用a、b表示），利用A、B、F2三點共線建立方程。這便是可選擇的兩個算子。

模式2：觀察圖2，發(fā)現(xiàn)有橢圓的焦點弦（兩個焦點三角形的各一條邊共線）——又一個重要的模式。顯然，AB是橢圓過右焦點F2的一條焦點弦（包含了三點共線的條件）。由橢圓的第二定義，作橢圓的右準(zhǔn)線A1B1，構(gòu)造Rt△ABD，如圖3，就有|AD|=|AF2|-|BF2|e。而|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF2|=2|BF2|，就可以得到焦點弦的傾斜角（即180°-∠BAD）與橢圓的離心率之間的一個等量關(guān)系：cos∠BAD=|AD||AB|=13e。不過，這個關(guān)系怎么利用呢？與另一個條件|AB|=|BF1|有何聯(lián)系？暫時不容易想到。

（三）解題遷移：應(yīng)用算子

思路1：求A、B的坐標(biāo)。

基本解法：利用焦半徑公式（聯(lián)立橢圓方程和距離公式比較麻煩），可得|AF2|=a-exA=a，|BF2|=a-exB=12a，解得xA=0，xB=12·a2c=12a2，從而yA=b，yB=b2-14a2b2（實際上，由|AF1|=|AF2|很容易得到A是橢圓的上頂點，從而可以把圖2修正得更精確）。

由于A、B、F2三點共線，所以b-1=b2-14a2b212a2-1，即得b2+14a4b2-a2b2=b2-14a2b2，解得a2=3，所以橢圓方程為x23+y22=1。

變式解法：解出A（0，b）后，利用A、B、F2三點共線得到B的坐標(biāo)——列出AF2的方程y=-b（x-1），與橢圓方程聯(lián)立解得B的坐標(biāo)2a21+a2，-b（a2-1）1+a2。然后，利用|AB|=|BF1|等長度關(guān)系建立方程（利用|AF2|=2|BF2|時，還可以根據(jù)直角三角形相似比直接得到B的橫坐標(biāo)，從而不求B的縱坐標(biāo)也可建立方程）;或利用焦半徑公式求出B的坐標(biāo)后建立方程。這是基于點A坐標(biāo)的特殊性調(diào)整條件利用順序后的解法，體現(xiàn)了“算兩次”的思想，與基本解法計算的繁雜程度差不多。

思路2：求cos∠AF2F1、cos∠BF2F1。

基本解法：在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠AF2F1=|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|22|AF2|·|F1F2|=a2+4-a24a=1a。在△BF1F2中，由余弦定理得cos∠BF2F1=|BF2|2+|F1F2|2-|BF1|22|BF2|·|F1F2|=14a2+4-94a22a=-a2+2a。

由于A、B、F2三點共線，所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，即得-a2+3=0，解得a2=3，所以橢圓方程為x23+y22=1。

變式解法：分別在△AF1F2和△ABF1中，利用余弦定理對cosA“算兩次”;或分別在△BF1F2和△ABF1中，利用余弦定理對cosB“算兩次”——前者稍容易一些。從而建立方程。這里把A、B、F2三點共線這一條件隱藏在解△ABF1這個由兩個焦點三角形組成的大三角形中了。此外，還可以利用三角形面積的底乘高公式和兩邊及其夾角公式“算兩次”，得到sin∠AF2F1、sin∠BF2F1（用a、b表示）……

綜上，思路1是解析法，體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，即用代數(shù)的方法解決幾何問題。解析法也可以看成一種思維模式，解題的過程就是運(yùn)用模式的過程：曲線與方程對應(yīng)，交點與方程組的解對應(yīng)，通過相關(guān)條件建立解題需要的方程。思路2是純幾何法，運(yùn)用了平面幾何的一個基本工具——解三角形。它們的變式解法都運(yùn)用了“算兩次”的思想。

（四）解題監(jiān)控：結(jié)果評價

解題后的結(jié)果評價實際上也就是自我監(jiān)控或反思的過程，其目的在于積累與擴(kuò)充知識和經(jīng)驗，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高模式的概括層次。概括層次越高，模式的遷移范圍越大。例如，對解題過程進(jìn)行整理，對其中涉及的基礎(chǔ)知識技能、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié)，對不同解題思路進(jìn)行比較并思考優(yōu)化。由于是在已有的實踐基礎(chǔ)上進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動，因此學(xué)生對問題涉及的知識技能、思想方法的體驗、領(lǐng)悟會更加深刻。

反思1：回到之前找不到思路的模式2，由模式1的兩種解題思路可知cos∠BAD=cos∠AF2F1=11+tan2∠AF2F1=11+b2=1a，或cos∠BAD=cos∠AF2F1=1a，所以1a=13e，所以1a=a3，所以a2=3……

反思2：實際上，模式2中得到的焦點弦傾斜角與橢圓離心率之間的等量關(guān)系可以推廣到一般情況：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，焦點弦的傾斜角為α，焦點分焦點弦所成的兩條線段的長度比為λ，則λ=1+ecosα1-ecosα，即cosα=λ-1（λ+1）e——利用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程ρ=ep1-ecosθ，很容易得到這個統(tǒng)一的結(jié)論。

反思3：再次推廣上述結(jié)論：如果直線不過橢圓的焦點呢？那么凡是與橢圓定義相關(guān)的解法就都不再適用了。

變式題1已知橢圓C：x22+2y2=1，過點P（1，0）且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點，若AP=3PB，則k=。

此題比原題少了一個長度關(guān)系，多了一個方程條件（原題的橢圓方程相當(dāng)于知道了一個參數(shù)），難度其實降低了——從原來的長度關(guān)系求方程條件并不容易。從模式識別的角度看，必須回到長時記憶中，重新尋找相匹配的基礎(chǔ)知識和解題策略。

一種想法是：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則k=y1-y2x1-x2，于是找出四個獨(dú)立的方程，解出x1、y1、x2、y2即可。具體地，可以由向量關(guān)系得x1+3x2=4 ①，y1+3y2=0 ②;由橢圓方程得x212+2y21=1 ③，x222+2y22=1 ④。然后，聯(lián)立①②③④解方程組。

另一種想法是待定系數(shù)法：設(shè)法找到一個含k的方程。設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，可以解得x1=4k2-2k2+121+4k2，x2=4k2+2k2+121+4k2。代入①即可得到一個含k的方程，解得k2=12。

此外，還可以這么想：將直線AB的方程y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得x1+x2=8k21+4k2 ⑤，x1x2=4k2-21+4k2 ⑥。聯(lián)立①⑤⑥解方程組，求得k。

上述三個想法的本質(zhì)都是解方程（組），體現(xiàn)了解析幾何最基礎(chǔ)也最本真的思想：最基本的代數(shù)方法就是方程方法（求定量、定值）和函數(shù)方法（求變量、范圍、最值）。當(dāng)然，解題者還需要預(yù)判算法的優(yōu)劣，發(fā)揮元認(rèn)知在解題監(jiān)控中的作用。例如，對于第三個想法，應(yīng)該先聯(lián)立①⑤解得x1、x2，再代入⑥。

反思4：繼續(xù)推廣上述結(jié)論：如果直線不過橢圓的焦點，并且由求值變?yōu)榍蠓秶兀?/p>

變式題2已知橢圓x2a2+y24=1（a>0）上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）（0

此題比變式題1少了一個方程條件（a未定），于是由確定的值變成不確定的范圍了，難度當(dāng)然增加了。但是，從模式識別的角度看，可以類似于變式題1的第一種想法，用四個方程解出x1、x2，當(dāng)然也能解出y1、y2，不過它們都是用a表示的;然后，由0

二、教學(xué)反思

以上解題教學(xué)示例表明，在每一單元學(xué)習(xí)之后的復(fù)習(xí)教學(xué)中，可以選取典型問題，運(yùn)用模式識別策略，引導(dǎo)學(xué)生梳理基礎(chǔ)知識，提煉解題策略，積累本單元的思維模式。這種思維模式積累途徑的本質(zhì)是：形成知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從中形成越來越清晰的思維路徑圖，而這個思維路徑圖又會在模式積累中越來越牢固、越來越暢通。研究表明，在數(shù)學(xué)概念、原理（定理、公式、法則等）的教學(xué)中，都可以利用模式識別策略幫助學(xué)生形成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在用模式識別策略指導(dǎo)解題教學(xué)的過程中，應(yīng)該注意下列幾點：

一是模式識別不能被簡單地理解為“套題型”。數(shù)學(xué)問題解決的過程事實上是模式識別對主體思維發(fā)生作用的過程，這個過程事實上是思維的再創(chuàng)造。問題表征的轉(zhuǎn)換是模式識別的基礎(chǔ)，反映了主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)狀況和思維的靈活性。教學(xué)中，要讓學(xué)生參與和體會模式識別的過程：在游泳中學(xué)會游泳。并且，解題中，應(yīng)把類型、方法和范例作為一個整體來積累：類型是模式的骨架，范例是模式的血肉，方法是模式的靈魂，三者缺一不可。

二是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法對于培養(yǎng)模式識別能力的統(tǒng)攝作用。正如以上示例，解析法是解析幾何的核心思想，它將解析幾何中的曲線方程概念、位置關(guān)系研究方法等統(tǒng)攝起來。在模式識別訓(xùn)練中，要讓學(xué)生掌握其中的思想方法，并能利用變化、轉(zhuǎn)換的觀點來解決其他問題。在模式形成后，要逐漸地淡化模式意識，使學(xué)生能自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)攝地解決問題。

三是發(fā)揮元認(rèn)知在模式識別中的監(jiān)控作用。模式只是提供了一種相對穩(wěn)定的樣本，既非萬能，又非一成不變。遇到一個新的、更深刻的或非常規(guī)的問題時，主體需要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化或分解，還需要對模式加以重組，從而創(chuàng)造出更多或更高層次的模式。在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模式辨認(rèn)、連接的過程中，要充分發(fā)揮元認(rèn)知的作用，促進(jìn)學(xué)生主動地理解問題，辨別特征，搜索問題解決策略，與已有的問題解決經(jīng)驗等相連接，以解決問題，并構(gòu)建更新或更高層次的模式。

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