李賀 張衛(wèi)明

編者按根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，可以提出數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的基本成分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。在2018年江蘇省義務(wù)教育階段學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，董林偉老師帶領(lǐng)的課題組嘗試在測試題目及師生問卷中加入測量、調(diào)查6個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的元素，得到的大樣本數(shù)據(jù)在一定程度上反映了江蘇省八年級學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展?fàn)顩r。他們還針對測試結(jié)果反映出來的問題，力圖提出一些初中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的可行性建議。本期《本刊特稿》欄目承接上一期，刊發(fā)李賀等老師的4篇研究文章。

摘要：基于2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中主要考查數(shù)學(xué)建模能力的9個(gè)小題及6個(gè)師生問卷題的監(jiān)測結(jié)果，對初中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)提出教學(xué)建議：在“做數(shù)學(xué)”的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型建構(gòu);以閱讀能力提升促進(jìn)數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展;有學(xué)生思維參與和感悟的概念教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的起點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)建模做數(shù)學(xué)閱讀能力概念數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)建模能力是指對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題的能力。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題等環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)建模能力具體表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題;二是在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學(xué)模型;三是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型，最終解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模能力從高到低可以分為A、B、C、D四個(gè)水平。

數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成要素，是聯(lián)系數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界的基本橋梁，是將數(shù)學(xué)的知識、方法和思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)之外，解決實(shí)際問題的基本通道，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識。

2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，共設(shè)計(jì)了9個(gè)小題（下文提到的每一道試題都是其中之一，用具有明確含義的字母與數(shù)字組合進(jìn)行編號——其中的“M”指數(shù)學(xué)，“8”指年級，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客觀題，“S”代表主觀題，后三個(gè)數(shù)中前兩個(gè)代表題號，最后一個(gè)代表小題號）主要用以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。分析樣本數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)，江蘇省八年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力總體發(fā)展不平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出，對生活情境的抽象能力、對文本的閱讀理解能力、建立函數(shù)模型（關(guān)系）的能力、解方程（組）的能力亟待提高。本文根據(jù)全省46262名八年級學(xué)生的測試成績、問卷調(diào)查以及4573名數(shù)學(xué)教師的問卷調(diào)查得到的數(shù)據(jù)分析，對初中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、在“做數(shù)學(xué)”的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)

數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題的過程，就是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的過程。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Halmos）指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“要讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識的形成過程?！敝挥型ㄟ^親身感受、自我探索獲得的知識，才會(huì)根深蒂固地扎根在自己的腦海中。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力，讓學(xué)生通過積極思考、實(shí)踐操作、大膽猜測、小心求證、自主探索、合作交流等方式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)——我們稱之為“做數(shù)學(xué)”。事實(shí)上，只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，才能更好地滲透模型思想。

試題M8AS151從2017年9月21日起，全國鐵路實(shí)施新的列車運(yùn)行圖，京滬高鐵同步提速。記者從北京鐵路局獲悉，提速后，平均速度每小時(shí)快60 km，全程需4 h，比提速前縮短1 h。提速后，平均每小時(shí)行駛多少千米？

本題借助于建立一元一次方程來測量學(xué)生“在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學(xué)模型”這一數(shù)學(xué)建模能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為65.2%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的得分率分別為94.0%、50.9%、11.8%和2.8%。

本題是一個(gè)典型的行程問題，涉及的量有提速前的速度、提速前的時(shí)間、提速后的速度、提速后的時(shí)間，等量關(guān)系是提速前后的路程相等。題目沒有直接給出這些量的具體值，只給出了提速前后的速度差、時(shí)間差以及提速后的時(shí)間。這就需要學(xué)生用未知量去表示數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號語言去建立等式。

結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)分析與30人訪談結(jié)果，本題失分的原因有以下幾個(gè)方面：（1）分析不出因?yàn)樗俣茸兓瑢?dǎo)致時(shí)間變化，但是路程不變的等量關(guān)系;（2）列方程時(shí)，對等號兩邊各個(gè)量的意義不明確，導(dǎo)致列的相等關(guān)系不成立;（3）計(jì)算能力不強(qiáng)，導(dǎo)致解方程出錯(cuò);（4）對“路程一定的條件下，速度增加，時(shí)間減少”這樣的生活常識不清楚，導(dǎo)致列式子時(shí)速度與時(shí)間不對應(yīng)，等式不成立。

針對以上數(shù)學(xué)建模障礙，教師應(yīng)意識到，數(shù)學(xué)建模來源于生活實(shí)際，又應(yīng)用于生活實(shí)際。方程（組）模型的教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷兩個(gè)方面的活動(dòng)：一是從不同的問題情境中識別出存在的等量關(guān)系，并用恰當(dāng)?shù)姆匠蹋ńM）表達(dá);二是針對給定的方程（組），給出符合其等量關(guān)系的實(shí)際背景。教師要引導(dǎo)學(xué)生從身邊的實(shí)際問題出發(fā)研究方程（組），可以通過學(xué)生的描述、演示、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生感受抽象的問題背景。如行程問題的數(shù)學(xué)，教師可以組織學(xué)生表演題目中的情境，或者用幾何畫板制作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫，讓學(xué)生充分感受變化的量之間的關(guān)系，進(jìn)而尋求、建立等量關(guān)系。在教學(xué)中，注意聯(lián)系身邊的事物，讓學(xué)生經(jīng)歷問題產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)”的過程，感受成功的喜悅，這對激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、提升學(xué)生解決實(shí)際問題的信心是非常重要的。

二、以閱讀能力提升促進(jìn)數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展

數(shù)學(xué)建模問題經(jīng)常有大段的文字?jǐn)⑹?。從文字?jǐn)⑹鲋刑釤挸龌镜臄?shù)學(xué)骨架是對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的考量。面對內(nèi)容各異的問題情境，數(shù)學(xué)建模能力強(qiáng)的學(xué)生能順暢利用數(shù)學(xué)符號、圖形等語言表示所發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系或數(shù)學(xué)規(guī)律，抽象出情境中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。但是，由于數(shù)學(xué)閱讀材料的文字?jǐn)⑹鲚^長、內(nèi)容更加貼近生活、數(shù)量關(guān)系分散隱蔽，導(dǎo)致許多學(xué)生讀不懂題目，不知道從何下手。因此，強(qiáng)化閱讀理解能力的培養(yǎng)，使學(xué)生“數(shù)學(xué)”地閱讀、理解材料，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的前提。蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)?！币虼耍瑥恼Z言學(xué)習(xí)的角度講，數(shù)學(xué)教學(xué)還必須重視數(shù)學(xué)閱讀。

試題M8AS182如圖1，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數(shù)字。它是由前12位數(shù)字和校驗(yàn)碼構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)分別代表“國家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼和校驗(yàn)碼”。

其中，校驗(yàn)碼是用來校驗(yàn)商品條形碼中前12位數(shù)字代碼的正確性的。它的編制是按照特定的算法得來的。其算法為：

步驟1：計(jì)算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和a，即a=9+1+3+5+7+9=34;

步驟2：計(jì)算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和b，即b=6+0+2+4+6+8=26;

步驟3：計(jì)算3a與b的和c，即c=3×34+26=128;

步驟4：取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d，即d=130;

步驟5：計(jì)算d與c的差，就是校驗(yàn)碼X，即X=130-128=2。

請解答下列問題：

（2）如圖2，條形碼中被污染的兩個(gè)數(shù)字的和是5，則這兩個(gè)數(shù)字從左到右分別是、。

本題借助于建立方程和不等式來測量學(xué)生“在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學(xué)模型”這一數(shù)學(xué)建模能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為37.7%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的得分率分別為56.3%、21.9%、14.8%和6.8%。

結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)分析與30人訪談結(jié)果，本題失分的原因有以下幾個(gè)方面：（1）對商品條形碼這一名詞比較陌生，對解決步驟復(fù)雜的閱讀理解題缺乏信心;（2）漏讀信息，抓不住文本中的關(guān)鍵詞，導(dǎo)致不理解題意，不知道要解決什么問題;（3）不能將復(fù)雜的文字語言“取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言;（4）不能將抽象的未知量與閱讀內(nèi)容結(jié)合，找到等量關(guān)系。

考查數(shù)學(xué)建模能力的題目始于閱讀理解，終于“雙基”計(jì)算。強(qiáng)化閱讀理解能力的培養(yǎng)，可以從以下幾個(gè)方面著手：

1.激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的興趣，提高學(xué)生閱讀理解的信心。教師在日常教學(xué)中，可以開發(fā)一些與學(xué)生生活息息相關(guān)的題目，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，挖掘生活中的數(shù)學(xué)素材，對常見的專有名詞（如利率、利潤、保險(xiǎn)費(fèi)、折舊、納稅等）解釋透徹。

2.鼓勵(lì)學(xué)生“讀進(jìn)去，說出來”。教學(xué)中，讓學(xué)生閱讀題目后， 通過分析思考，說出題目所提供的信息條件、事情過程?？梢宰寣W(xué)生剖析字句，說題目條件;也可以讓學(xué)生通讀全題，說題目要素;還可以讓學(xué)生形成解題思路后，說解題步驟。

3.保證學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的主體地位，激發(fā)學(xué)生課堂參與的積極性和主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造性，讓學(xué)生勇于表達(dá)，善于思考。這樣，學(xué)生才能解放思想、充分交流，才能順利地閱讀和理解數(shù)學(xué)文本，才能用口頭或書面的形式向他人解釋自己對數(shù)學(xué)的理解和研究成果，才能成功地吸收他人的心得，從而迅速地提升自己的認(rèn)識。

三、有學(xué)生思維參與和感悟的概念教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，教師以自然而然、水到渠成的知識發(fā)展過程為載體，設(shè)計(jì)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維充分展開，深度參與到數(shù)學(xué)知識的探究中，才能使學(xué)生達(dá)到對數(shù)學(xué)概念、原理和思想、方法的實(shí)質(zhì)性理解，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力才能得到落實(shí)。學(xué)生只有經(jīng)歷概念的形成過程，才能利用概念解釋各種變化的現(xiàn)象，構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型解決問題。

試題M8AS173小明計(jì)劃購買一雙運(yùn)動(dòng)鞋，在購物網(wǎng)站上瀏覽，看到如表1所示的男鞋尺碼對照表。

中碼CHN220225230…250255260…美碼USA4.555.5…7.588.5…（3）若美碼（y）與中碼（x）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，請求出這個(gè)函數(shù)表達(dá)式：。

本題借助于建立一次函數(shù)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律來測量學(xué)生“在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學(xué)模型”這一數(shù)學(xué)建模能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為62.3%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的得分率分別為92.9%、47.0%、3.2%和0%。

結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)分析與30人訪談結(jié)果，本題失分的原因有以下幾個(gè)方面：（1）讀不懂表格所表達(dá)的意思;（2）不理解表格中的數(shù)據(jù)與要建立的一次函數(shù)之間的關(guān)系;（3）不理解函數(shù)概念中x、y兩個(gè)變量之間的關(guān)系;（4）混淆自變量、因變量，求得結(jié)果為x=10y+175;（5）在用待定系數(shù)法求解的過程中，解二元一次方程組出現(xiàn)錯(cuò)誤。

由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)思維的一次飛躍。函數(shù)概念的教學(xué)，可以參考以下幾點(diǎn)建議：

1.從豐富多彩的實(shí)際背景入手，通過填表、列式的方式了解常量、變量的意義和變量之間關(guān)系的共同特征，從中認(rèn)識和理解函數(shù)的意義，在此基礎(chǔ)上抽象出函數(shù)的概念。具體到正比例函數(shù)、一次函數(shù)模型中，面對每一個(gè)實(shí)際背景，教師都要引導(dǎo)學(xué)生說出自變量、因變量、常量，感受變量關(guān)系。

2.根據(jù)教材編寫意圖和學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際，讓學(xué)生舉出函數(shù)實(shí)例，從中挖掘思維過程，并通過“你為什么說……？”“你是怎么想的……？”等問題，促進(jìn)學(xué)生深化思考，理解對應(yīng)關(guān)系。在大量實(shí)例的基礎(chǔ)上，逐步培養(yǎng)學(xué)生利用概念解釋數(shù)學(xué)對象的習(xí)慣與能力。

3.給學(xué)生充分的時(shí)間，讓學(xué)生充分聯(lián)系頭腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)的知識，把對概念實(shí)質(zhì)的概括機(jī)會(huì)留給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生對概念的理解。

本文系江蘇省教育廳“基于測試分析的跟進(jìn)式改革重大研究項(xiàng)目”中“義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力研究”（編號：2015jyktzd02）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 董林偉，喻平.基于學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測的初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r調(diào)查[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（1）.

[2] 馬復(fù).初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[3] 章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.教育研究與評論中學(xué)教育教學(xué)/2019年第8期本刊特稿