杭毅 石樹偉

摘要：基于2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的10個小題及6個師生問卷題的監(jiān)測結(jié)果，對初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)提出教學(xué)建議：關(guān)注算理、算法教學(xué)，正確地運(yùn)算;關(guān)注過程性教學(xué)，合理地運(yùn)算;關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法，簡潔地運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)運(yùn)算算理算法

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的能力。主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)在兩個方面：一是對法則和運(yùn)算律等認(rèn)識清晰，根據(jù)具體題目的特殊性正確選擇法則和運(yùn)算律;二是合理、簡潔設(shè)計程序，正確、迅速完成運(yùn)算，通過運(yùn)算解決問題。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力從高到低可以分為A、B、C、D四個水平。

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力 是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成要素，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，是演繹推理，是計算機(jī)解決問題的基礎(chǔ)。良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有助于學(xué)生尋求合理、簡潔的運(yùn)算途徑，解決問題;通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神。

“正確、靈活、合理和簡潔”是衡量數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的四個主要特征。縱觀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中三個學(xué)段數(shù)學(xué)運(yùn)算能力所要達(dá)到的具體目標(biāo)，可以看出數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求有三個層次，依次為“了解與理解”“掌握與應(yīng)用”“綜合與評價”;再深入理解、細(xì)化具體，可以發(fā)現(xiàn)這三個層次的要求恰好體現(xiàn)為“正確地運(yùn)算”“合理地運(yùn)算”“簡潔地運(yùn)算”。正確是對運(yùn)算能力的最基本要求。數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的依據(jù)，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實質(zhì)就是根據(jù)這些運(yùn)算的依據(jù)，從已知數(shù)據(jù)及算式中推導(dǎo)出結(jié)果。合理是運(yùn)算能力的核心，表現(xiàn)在運(yùn)算要符合算理。簡而言之，在進(jìn)行運(yùn)算時，無論采用什么樣的形式，首先必須理解算理;只有理解了運(yùn)算中的道理，才能理解和掌握運(yùn)算方法，才能正確、迅速地運(yùn)算。運(yùn)算的簡潔性是指在運(yùn)算過程中，所選的運(yùn)算路徑短、運(yùn)算步驟少、運(yùn)算時間省。換言之，在保證運(yùn)算的正確性、理解算理之后，要力求做到分析運(yùn)算條件，探索運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，使運(yùn)算更加簡潔。

2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，共設(shè)計了10個小題（下文提到的每一道試題都是其中之一，用具有明確含義的字母與數(shù)字組合進(jìn)行編號——其中的“M”指數(shù)學(xué)，“8”指年級，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客觀題，“S”代表主觀題，后三個數(shù)中前兩個代表題號，最后一個代表小題號）主要用以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。本文根據(jù)全省46262名八年級學(xué)生的測試成績、問卷調(diào)查以及4573名數(shù)學(xué)教師的問卷調(diào)查得到的數(shù)據(jù)分析，對初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、關(guān)注算理、算法教學(xué)，正確地運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開“算理”“算法”“算力”這三個本質(zhì)概念。算理是運(yùn)算的道理，即解決為什么能這樣算的問題;算法是運(yùn)算的方法，即解決怎樣算的問題;算力是運(yùn)算的能力，即具體落實運(yùn)算過程，實現(xiàn)運(yùn)算目標(biāo)。它們相輔相成，構(gòu)成一個運(yùn)算的整體。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生對算理、算法的理解。

本次監(jiān)測的調(diào)查問卷中，我們設(shè)置了關(guān)于師生“解方程（組）和不等式（組）時，讓學(xué)生（老師讓我們）明白運(yùn)算的算理（依據(jù)）”的問題，結(jié)果有3%的教師選擇“有時”，1%的教師選擇“很少”;3%的學(xué)生選擇“很少”，2%的學(xué)生選擇“從不”。

本次測試中，我們設(shè)計了5道試題主要用以測試學(xué)生“對法則和運(yùn)算律等有清晰的認(rèn)識，根據(jù)具體題目的特殊性正確選擇法則和運(yùn)算律”這一數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)的水平狀況，從一定意義上反映出學(xué)生對算理、算法的理解。

試題M8BO011計算（-2）3的結(jié)果是（）

A. 6B. -6C. 8D. -8

本題要求學(xué)生能運(yùn)用乘方的概念、運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算。本次測試中，本題的得分率為87.3%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個水平的學(xué)生在此題上的得分率分別為94.3%、89.4%、75.8%和31.7%?？梢?，多數(shù)學(xué)生能夠理解（-2）3的意義。但是，還有6.7%的學(xué)生選擇“8”，4.6%的學(xué)生選擇“-6”，1.5%的學(xué)生選擇“6”，說明有約13%的學(xué)生還不能正確理解乘方的概念和運(yùn)算法則。

乘方在小學(xué)階段只是初步了解，重點知識還是在初中階段學(xué)習(xí)的。因此在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生掌握“求n個相同因數(shù)乘積的運(yùn)算叫作乘方”“乘方是一個三級運(yùn)算”，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生靈活地理解乘方與乘法之間的關(guān)系及乘方表示的簡潔性，了解其合理性與必要性，在理解算理的基礎(chǔ)上概括運(yùn)算方法，同時加強(qiáng)對運(yùn)算符號法則的理解與運(yùn)用。

試題M8AS081計算12×3的結(jié)果是。

本題要求學(xué)生能運(yùn)用二次根式運(yùn)算法則進(jìn)行簡單運(yùn)算。本次測試中，本題的得分率為77%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個水平的學(xué)生在此題上的得分率分別為91.9%、78.5%、47.3%和11.0%。訪談結(jié)果表明，多數(shù)學(xué)生都是把12和3相乘得到36（或者把12拆成4×3等），發(fā)現(xiàn)結(jié)果等于6的，并且知道36是算術(shù)平方根，不能等于±6。但是，仍有6.4%的學(xué)生得到±6，說明這部分學(xué)生對平方根與算術(shù)平方根之間的區(qū)別與聯(lián)系不清楚;有3.8%的學(xué)生得到36，說明這部分學(xué)生不清楚36所表示的意義及如何進(jìn)行二次根式的化簡;有11.7%的學(xué)生得出其他答案。

這表明，在二次根式運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析每步運(yùn)算的算理、算法，明確其合理性與必要性;類比整數(shù)冪的運(yùn)算學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算，因為它們在算理與算法上是相通的。同時，在平時的教學(xué)中，需要多關(guān)注學(xué)力薄弱學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解與訓(xùn)練，加強(qiáng)概念區(qū)別與聯(lián)系的教學(xué)。

二、關(guān)注過程性教學(xué)，合理地運(yùn)算

運(yùn)算教學(xué)要關(guān)注運(yùn)算的過程，從而幫助學(xué)生學(xué)會合理運(yùn)算：不能用不斷的訓(xùn)練來代替理解的過程，不能用大量的重復(fù)來代替反思的過程，不能一味地追求運(yùn)算的熟練程度和技巧;而應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的形成過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本思想的領(lǐng)悟過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的養(yǎng)成過程，從而讓學(xué)生真正感悟到數(shù)學(xué)運(yùn)算的合理性。

本次監(jiān)測的調(diào)查問卷中，我們設(shè)置了關(guān)于師生“教學(xué)（學(xué)習(xí)整式）運(yùn)算法則時，引導(dǎo)學(xué)生（老師讓我們）了解法則的由來（形成過程）”的問題，結(jié)果有4%的教師選擇“有時”，1%的教師選擇“很少”;4%的學(xué)生選擇“很少”，2%的學(xué)生選擇“從不”。這反映出仍然有部分教師在運(yùn)算公式、法則的教學(xué)中存在著“重結(jié)果、輕過程”的灌輸現(xiàn)象。

試題M8BS131解方程：x-12=x+3。

本題主要用來測試學(xué)生“合理、簡潔設(shè)計程序，正確、迅速完成運(yùn)算，通過運(yùn)算解決問題”這一數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為84%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個水平的學(xué)生在此題上的得分率分別為97.6%、91.0%、40.9%和4.6%。

經(jīng)過統(tǒng)計，（1）僅第一步去分母正確，其余步驟均錯誤的學(xué)生占0.6%，如：x-1=2（x+3），x-1=2x+3。（2）到移項正確，但去括號錯誤或到去括號正確，但移項錯誤的學(xué)生占1.8%，如：x-1=2（x+3），x-1-2（x+3）=0，x-1-2x+6=0;或x-1=2（x+3），x-1=2x+6，x-2x=6-1。（3）能正確化為ax=b的形式，但最后一步將系數(shù)化為1時出錯的學(xué)生占1.4%，如：x-1=2（x+3），x-1=2x+6，x-2x=6+1，-x=7，x=7。（4）雖然寫了一些解答過程，但是沒有正確步驟的學(xué)生占9.5%，如：2（x-1）2=x2+32。

以上問題體現(xiàn)出，教師在教學(xué)過程中過分強(qiáng)調(diào)解一元一次方程的步驟，使學(xué)生只是按照老師要求的規(guī)定步驟進(jìn)行運(yùn)算，套用解題模式，或跟著感覺走，但不理解具體的算理、算法，不理解每步運(yùn)算的依據(jù)。比如，去括號時直接將括號去掉，移項時直接將某一項從方程的一邊移到另一邊，系數(shù)化為1時直接將系數(shù)化掉或不注意符號等。

因此在教學(xué)中，教師要強(qiáng)化每一步運(yùn)算的合理性，讓學(xué)生清晰地了解每一步運(yùn)算的目的、依據(jù)及注意事項。比如，解一元一次方程，第一步為何要去分母？依據(jù)是什么？分?jǐn)?shù)線有何作用？不去分母可不可以？去分母時為何要添加括號？之后為何要去括號？括號的作用是什么？去括號的依據(jù)又是什么？等等。同時，要引導(dǎo)學(xué)生靈活地運(yùn)用等式的基本性質(zhì)，多變地解一元一次方程，而不應(yīng)過分強(qiáng)化五個具體步驟。另外，還要培養(yǎng)學(xué)生及時檢驗、糾錯的習(xí)慣。

三、關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法，簡潔地運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法可以簡化運(yùn)算。首先，數(shù)學(xué)運(yùn)算過程是以數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等知識為依據(jù)進(jìn)行推理，建立數(shù)量關(guān)系并轉(zhuǎn)化為確定數(shù)量的過程，這一過程中蘊(yùn)含著推理的思想以及由推理的思想具體化得到的轉(zhuǎn)化思想。其次，這種運(yùn)算對象的形式轉(zhuǎn)化本質(zhì)上是數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化，是一種模型轉(zhuǎn)化為另一種模型的過程，其中蘊(yùn)含著模型思想;數(shù)學(xué)運(yùn)算過程是對數(shù)量關(guān)系抽象的符號形式進(jìn)行加工的過程，其中蘊(yùn)含著抽象思想。此外，在具體的轉(zhuǎn)化過程中，還會進(jìn)一步用到諸如數(shù)形結(jié)合、分類討論等經(jīng)典的思想方法。因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)要關(guān)注運(yùn)算的思想方法，讓學(xué)生學(xué)會簡潔地運(yùn)算。

試題M8AS141解方程組：x-2y=3，

2x-5y=3。①

②

本題主要用來測試“合理、簡潔設(shè)計程序，正確、迅速完成運(yùn)算，通過運(yùn)算解決問題”這一數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為78.1%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個水平的學(xué)生在此題上的得分率分別為97.0%、81.3%、31.3%和2.9%。

經(jīng)過統(tǒng)計，（1）有0.7%的學(xué)生只寫一個正確答案，沒有任何解題步驟。（2）有5.2%的學(xué)生能將方程①或②變形正確，但其他過程錯誤，如：①×2得2x-4y=6③，③-②得9y=3，y=13;或②-①得x-3y=0，故x=1，

y=3。（3）有9.9%的學(xué)生將兩個未知數(shù)的值都計算出來了，但不能正確表達(dá)方程組解的形式，如：x=9，y=3;x=9，

y=-3;x=9，

y=3或x=3，

y=9。（4）有9.9%的學(xué)生套用剛學(xué)習(xí)的解一元二次方程的格式書寫;或一開始運(yùn)算就出現(xiàn)錯誤，如：①+②得3x+7y=6，或②-①得x-7y=0。（5）有14.1%的學(xué)生利用代入消元法求解。（6）有54.1%的學(xué)生利加減消元法求解。（7）也有學(xué)生通過消去常數(shù)項的方法求解。

學(xué)生在計算過程中出現(xiàn)運(yùn)算符號錯誤的情況較多，主要原因還是不能正確運(yùn)用運(yùn)算法則，不理解等式的基本性質(zhì)。在教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是遵循化復(fù)雜為簡單、由特殊到一般的規(guī)律的;強(qiáng)調(diào)二元一次方程組、三元一次方程組乃至多元方程組求解的指導(dǎo)思想是消元，化高元為低元，從而加強(qiáng)對消元思想方法的理解。如何消元？可以通過一個方程變形，用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，代入另一個方程，消去一個未知數(shù);可以通過將兩個方程相加（或相減），消去兩個方程中系數(shù)互為相反數(shù)（或相同）的項;也可以消去常數(shù)項，尋找兩個未知數(shù)之間的關(guān)系。

總之，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與推理能力的結(jié)合。因此，要能正確、快速地算出結(jié)果，就要善于觀察算式的結(jié)構(gòu)特點，學(xué)會選擇合理的運(yùn)算路徑。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)運(yùn)算的各種解題思路、方法后，還要化繁為簡，以簡馭繁，從而感受數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中的樂趣，自然而然地培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

本文系江蘇省教育廳“基于測試分析的跟進(jìn)式改革重大研究項目”中“義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力研究”（編號：2015jyktzd02）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 杭毅，侯正永.基于質(zhì)量監(jiān)測的初中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展?fàn)顩r的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（1）.

[2] 洪建章.從“有理數(shù)運(yùn)算”話運(yùn)算能力核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中旬），2019（3）.

[3] 李敏，吳曉紅，高銀.淺析運(yùn)算能力的內(nèi)涵[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（7）.