譚奇 袁智強

摘要：基于STEM教育理念，整合簡諧運動的知識、動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra的應(yīng)用、三角函數(shù)章節(jié)的其他教學(xué)內(nèi)容以及數(shù)學(xué)實驗與數(shù)據(jù)擬合活動，融入問題驅(qū)動教學(xué)法與波利亞的解題四步驟，設(shè)計和實施了《正弦函數(shù)的圖像》一課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究正弦函數(shù)圖像的形成，歸納正弦函數(shù)簡圖的畫法，掌握圖像畫法的遷移應(yīng)用，了解正弦曲線的物理意義。得到教學(xué)啟示：改進(jìn)教學(xué)方法，探索STEM教育理念應(yīng)用技能;反饋教學(xué)情況，凸顯STEM教育理念應(yīng)用效果;反思教學(xué)過程，探究STEM教育理念應(yīng)用模式。

關(guān)鍵詞：STEM教育正弦函數(shù)的圖像簡諧運動GeoGebra

21世紀(jì)以來，中國的綜合國力日益強盛，但某些領(lǐng)域的核心技術(shù)仍然落后于美國等發(fā)達(dá)國家。許多領(lǐng)域核心技術(shù)的解決需要運用科學(xué)（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）和數(shù)學(xué)（Mathematics）有關(guān)的知識和技能。因而，在中小學(xué)教學(xué)中滲透STEM教育理念、培養(yǎng)掌握STEM知識和技能人才的需求變得愈發(fā)強烈。

目前，我國的STEM課程歸入了部分學(xué)校的課程體系，但是還沒有和必修課程密切地結(jié)合起來，主要是在校本課程、社團課程或勞技課程中，所處地位相對邊緣化，且應(yīng)用實踐比較模式化。此外，我國的學(xué)校教學(xué)以分科式為主，設(shè)計和實施整合性的STEM教育在課程安排、教材編寫、學(xué)校管理、教師培訓(xùn)等方面均存在一定的困難。

不過，在分科教學(xué)中借鑒STEM教育理念進(jìn)行設(shè)計和實施，不失為落實STEM教育的一種有效途徑。我們認(rèn)為，可以基于STEM教育理念開展數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，探索在實際的STEM教育中所需要的教學(xué)技能，探究應(yīng)用STEM教育理念進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的一般模式。這既在課堂中融入了跨學(xué)科學(xué)習(xí)的教育思想，又靈活運用并推廣了STEM教育理念，有助于整合性STEM教育的進(jìn)一步發(fā)展。

因此，我們基于STEM教育理念，整合簡諧運動的知識、動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra的應(yīng)用、三角函數(shù)章節(jié)的其他教學(xué)內(nèi)容以及數(shù)學(xué)實驗與數(shù)據(jù)擬合活動，融入問題驅(qū)動教學(xué)法與波利亞的解題四步驟，設(shè)計和實施了《正弦函數(shù)的圖像》一課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究正弦函數(shù)圖像的形成，歸納正弦函數(shù)簡圖的畫法，掌握圖像畫法的遷移應(yīng)用，了解正弦曲線的物理意義。

一、設(shè)計思路

本節(jié)課的教學(xué)主要包括五個環(huán)節(jié)：科學(xué)情境、技術(shù)融合、化繁為簡、變式遷移、拓展應(yīng)用。

第一步，從物理情境“簡諧運動”實驗中抽象出數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生對正弦曲線有一個直觀的印象。

第二步，聯(lián)系正弦函數(shù)的定義方式，利用單位圓上的點探究精確的正弦函數(shù)圖像，在探究活動中運用GeoGebra軟件突出重點、突破難點，幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

第三步，歸納概括畫正弦函數(shù)圖像常用的步驟與方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。運用問題驅(qū)動教學(xué)法，提出相關(guān)問題引導(dǎo)學(xué)生思考，然后以小組合作的形式共同擬定并實施解決問題的方案。同時，結(jié)合波利亞的解題四步驟，把教學(xué)過程分為“弄清問題—擬定計劃—實現(xiàn)計劃—回顧討論”四個步驟，啟發(fā)學(xué)生的解題思路。

第四步，根據(jù)誘導(dǎo)公式與適當(dāng)?shù)膱D形變換將所學(xué)的畫圖方法遷移運用到余弦函數(shù)或其他可由正弦函數(shù)變換得到的函數(shù)上。

第五步，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡單的建模，體會曲線擬合的過程，了解正弦曲線的物理意義，為以后的學(xué)習(xí)做鋪墊。

二、實施過程

（一）科學(xué)情境，切入主題

教師課前把學(xué)生分成三人一組，讓每一組都準(zhǔn)備好簡易支架、硬紙板、礦泉水瓶、細(xì)沙、細(xì)繩與剪刀。課上指導(dǎo)學(xué)生將礦泉水瓶底扎一個小孔，做成一個漏斗;再用細(xì)繩拴住瓶口掛在簡易支架上，做成一個簡易單擺;在漏斗下放一塊硬紙板，硬紙板中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸;小組合作，一名學(xué)生把漏斗灌上細(xì)沙，另一名學(xué)生將漏斗拉離平衡位置并放手使其擺動，同時第三名學(xué)生勻速拉動硬紙板。在硬紙板上得到一條曲線（如圖1）。

教師指出：這（近似）是簡諧運動的圖像，物理學(xué)中把這種圖像叫作“正弦曲線”（“余弦曲線”）。由此讓學(xué)生對正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的圖像有一個直觀的印象。

教師再以問題驅(qū)動的方式引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓上的點來畫正弦函數(shù)的圖像，引發(fā)學(xué)生的思考——

師剛才，我們觀察了正弦曲線的樣子。這節(jié)課，我們先來探究正弦函數(shù)圖像的畫法。請大家仔細(xì)觀察硬紙板上的曲線形狀，思考一下怎樣在草稿紙上畫出這樣的圖像。

生照樣子隨手畫。

師隨手畫能保證畫出來的圖像精確嗎？

生（眾）不能。

師請同學(xué)們回憶一下，我們是怎么定義正弦函數(shù)的？

生利用單位圓上的點的坐標(biāo)。

師沒錯。所以，我們先來嘗試一下能否利用單位圓上的點畫出精確的正弦函數(shù)圖像。

（二）技術(shù)融合，突破難點

教師利用GeoGebra軟件展示：將單位圓分成12等份，以x軸為始邊，可以得到13個終邊不同的圓心角，它們的大小分別為0、π6、π3、π2、2π3、5π6、π、7π6、4π3、3π2、5π3、11π6、2π。根據(jù)正弦函數(shù)的定義，這些角的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)就是它們所對應(yīng)的正弦值。把x軸上0到2π這一段分成12等份，以上述13個圓心角的大小為橫坐標(biāo)，以它們的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫點（如圖2）。引導(dǎo)學(xué)生觀察畫出的這13個點，并思考：若以其他的圓心角的大小為橫坐標(biāo)，以其終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)畫點，那么這些新畫出的點在什么位置？

接著，教師使用GeoGebra軟件畫出完整圖像。具體操作步驟如下：打開GeoGebra軟件，畫點O（0，0）、A（1，0）并鎖定對象。以O(shè)為圓心，以A為圓周上一點畫單位圓，取單位圓上的任意一點B。以O(shè)為圓心，以A為起點，以B為終點畫圓弧，記弧長為d。輸入指令“（d，y（B））”，記為點D。過點D作x軸的垂線段，并連接OB、BD，跟蹤點D，啟動點B動畫。這些點構(gòu)成了正弦函數(shù)在0到2π范圍內(nèi)的圖像（如圖3）。

通過此探究活動，學(xué)生能夠知道利用單位圓能夠畫出0到2π范圍內(nèi)精確的正弦函數(shù)圖像，并體會正弦函數(shù)圖像與正弦函數(shù)定義之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系。

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考整個定義域R內(nèi)正弦函數(shù)的圖像——

師我們已經(jīng)得到了正弦函數(shù)y=sinx在[0，2π]范圍內(nèi)的圖像，請同學(xué)們結(jié)合前幾節(jié)課的內(nèi)容，思考怎么作出y=sinx在整個定義域R內(nèi)的圖像。

生將[0，2π]范圍內(nèi)的圖像平移。

師很好！你的依據(jù)是什么？

生終邊相同的角的三角函數(shù)值相同。

師沒錯。所以，函數(shù)y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1）π]，k∈Z且k≠0的圖像與函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖像一致。因此，只要將正弦函數(shù)在[0，2π]范圍內(nèi)的圖像不斷向左、向右平移，每次移動2π個單位長度，就能得到正弦函數(shù)在整個定義域R內(nèi)的圖像了。我們一起來看一下動態(tài)效果。

（三）化繁為簡，抓住五點

本環(huán)節(jié)以問題驅(qū)動教學(xué)過程，并結(jié)合波利亞的解題四步驟解決問題——

（1）弄清問題。教師提問：雖然利用單位圓上的點能夠畫出正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖像，但是比較麻煩，那么，是否有更方便的辦法畫出其簡圖呢？

（2）擬定計劃。學(xué)生思考：能否通過幾個特殊的圓心角大小及其終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)來確定正弦函數(shù)圖像上的幾個點，用光滑的曲線連接這些點，從而畫出正弦函數(shù)的簡圖？以小組為單位進(jìn)行討論，共同擬定計劃，確定想選擇哪幾個特殊的圓心角。

（3）實現(xiàn)計劃。各小組成員在思考和討論后，根據(jù)擬定的方案在草稿紙上畫出正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的簡圖。然后，各小組代表依次向全班同學(xué)解釋畫y=sinx，x∈[0，2π]的簡圖可選取哪幾個特殊的圓心角，并展示其作品。教師對小組匯報結(jié)果進(jìn)行評價與指導(dǎo)、補充。

（4）回顧討論。教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧畫出來的正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的簡圖，討論畫簡圖時哪些點最關(guān)鍵，從而總結(jié)畫簡圖的一般方法——五點作圖法，并在黑板上具體畫出相應(yīng)的簡圖。

（四）變式遷移，鞏固提升

教師要求學(xué)生將總結(jié)出的正弦函數(shù)的“五點作圖法”遷移運用到余弦函數(shù)或其他可由正弦函數(shù)變換得到的函數(shù)的作圖問題中，加深學(xué)生對作圖步驟以及“五點作圖法”的理解，幫助學(xué)生學(xué)會舉一反三。

此環(huán)節(jié)讓學(xué)生在一些變式問題中運用學(xué)到的知識，有利于學(xué)生通過一個特殊的函數(shù)（正弦函數(shù)）明白作簡圖的方法，從而掌握一類函數(shù)作簡圖的方法，以此完成知識的遷移。

變式問題可以設(shè)計為：

（1）你能以正弦函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)，通過平移變換得到余弦函數(shù)的圖像嗎？你能運用已經(jīng)學(xué)過的三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式解釋其中的原理嗎？

（2）不通過平移變換，只運用“五點作圖法”，你能類比畫出余弦函數(shù)在[0，2π]范圍內(nèi)的簡圖嗎？在畫余弦函數(shù)的簡圖時，應(yīng)抓住哪幾個關(guān)鍵點？

（3）根據(jù)“列表—描點—連線”的步驟，運用“五點作圖法”畫出y=1+sinx，x∈[0，2π]的圖像與y=-cosx，x∈[0，2π]的圖像。

（4）小組討論“五點作圖法”是否可以運用到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）上。如果可以，在畫簡圖時，應(yīng)選擇哪五個點作為關(guān)鍵點？

（五）拓展應(yīng)用，數(shù)據(jù)擬合

教師播放、學(xué)生觀看“為了測量重力加速度，運用Tracker軟件自動跟蹤擺球位移，并實時記錄位移（水平位移與垂直位移）與時間數(shù)據(jù)”的視頻（圖4為一個瞬間），探討硬紙板上的“正弦曲線”（“余弦曲線”）的物理意義：是否代表漏斗擺動時離開平衡位置的位移與時間的函數(shù)圖像？

因為漏斗擺動的角度較小，可用水平位移近似代替，所以，教師選取視頻中的21組水平位移與時間數(shù)據(jù)，并呈現(xiàn)出來（如表1），讓學(xué)生根據(jù)這些數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描點，并猜測散點能否被“正弦曲線”（“余弦

隨后，教師利用GeoGebra軟件對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的擬合效果最好（如圖5），從而確定硬紙板上的“正弦曲線”（“余弦曲線”）代表的是漏斗擺動時離開平衡位置的位移與時間的函數(shù)圖像。由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)振幅、頻率與相位的意義，所以暫時不要求學(xué)生求出函數(shù)解析式。

本環(huán)節(jié)通過初步涉及三角函數(shù)的數(shù)學(xué)建模過程，讓學(xué)生發(fā)散思維，明白作圖步驟中“描點”的重要性，為以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用做鋪墊。此外，通過記錄數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)，讓學(xué)生對正弦曲線（余弦曲線）的物理意義和簡諧運動理解得更透徹，實現(xiàn)了學(xué)科融合，滲透了STEM教育理念。

三、總結(jié)與啟示

（一）改進(jìn)教學(xué)方法，探索STEM教育理念應(yīng)用技能

STEM教師只掌握學(xué)科知識是不足以支撐教學(xué)的，還需要了解STEM教育的相關(guān)學(xué)習(xí)理論、教學(xué)理論、課程理論等。這就要求教師改進(jìn)傳統(tǒng)的教學(xué)方法，改變傳統(tǒng)課堂教師“一言堂”的情形，凸顯學(xué)生的主體性;同時，加強對應(yīng)用STEM教育理念所需技能的探索，以便更多地在教學(xué)過程中融入STEM教育理念。

本節(jié)課基于STEM教育理念設(shè)計和實施，融入了科學(xué)、技術(shù)、工程與數(shù)學(xué)的內(nèi)容，運用了問題驅(qū)動教學(xué)法與波利亞的解題四步驟。由此，我們認(rèn)為，教師應(yīng)用STEM教育理念時需要具備的技能包括但不限于對學(xué)科知識的深入理解、對科學(xué)情境與學(xué)科知識交叉融合點的挖掘、對信息技術(shù)（如某些軟件）的熟練使用以及一定的工程設(shè)計能力。

（二）反饋教學(xué)情況，凸顯STEM教育理念應(yīng)用效果

STEM教育應(yīng)該注意學(xué)生能否高效地學(xué)到知識或技能。遇到結(jié)果難以評價的情況時，教師應(yīng)該變換評價方式，積極地從面向過程的評測中檢驗STEM教育的質(zhì)量。因此，在本節(jié)課中，為了凸顯基于STEM教育理念的教學(xué)效果，我們采用多元化的評價方式，通過經(jīng)常跟學(xué)生互動來了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并且讓學(xué)生以小組匯報的形式解釋相關(guān)問題，得到教學(xué)情況的實時反饋。

（三）反思教學(xué)過程，探究STEM教育理念應(yīng)用模式

本節(jié)課，在引出“正弦函數(shù)的圖像”這一課題時，以簡諧運動為背景，交叉融合了物理知識;在探究單位圓與正弦函數(shù)圖像之間的聯(lián)系時，融入了技術(shù)手段，使用了動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra;在考慮是否有更簡便的方法畫正弦函數(shù)在[0，2π]范圍內(nèi)的簡圖時，聚焦于問題的解決并且運用了波利亞的解題四步驟;而在引入與探究環(huán)節(jié)，都設(shè)計了動手操作活動，幫助學(xué)生體驗知識的形成過程。因此，我們認(rèn)為，應(yīng)用STEM教育理念進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的模式的關(guān)鍵在于“跨學(xué)科”“使用技術(shù)”“問題解決”以及“動手操作”。

本文系教育部人文社會科學(xué)研究青年基金項目“創(chuàng)新型STEM教師培養(yǎng)的探索性研究”（批準(zhǔn)號：18YJC880115）的階段性研究成果。

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