徐章韜

摘要：函數(shù)與方程兩部分內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)是一致的：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的研究，從外部世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部世界，再到外部世界，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的來源與目的。從教學(xué)的角度看，既可以從一元二次方程講到二次函數(shù)，也可以從二次函數(shù)講到一元二次方程。由此，還可以串聯(lián)很多相關(guān)知識(shí)，從而理解教材思路，感悟數(shù)學(xué)思想。得到的教學(xué)啟示是：精致練習(xí)是必要的，但不一定是充分的;思想、方法和觀點(diǎn)要化成有層次的引導(dǎo)性問題，讓學(xué)生在訓(xùn)練中更好地掌握。

關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué)二次函數(shù)一元二次方程數(shù)學(xué)建模知識(shí)結(jié)構(gòu)

函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)的兩大主題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。兩者的知識(shí)結(jié)構(gòu)是一致的：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的研究，從外部世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部世界，再到外部世界，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的來源與目的。從教學(xué)的角度看，既可以從一元二次方程講到二次函數(shù)，也可以從二次函數(shù)講到一元二次方程。這是兩種互補(bǔ)的角度。由此，還可以串聯(lián)很多相關(guān)知識(shí)，從而理解教材思路，感悟數(shù)學(xué)思想。

一、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，也是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的動(dòng)力。一元二次方程和二次函數(shù)都是數(shù)學(xué)建模的產(chǎn)物。這兩部分內(nèi)容都是落實(shí)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的重要載體。具體的解方程、研究函數(shù)性質(zhì)則是數(shù)學(xué)建模過程中的副產(chǎn)品。

人教版初中數(shù)學(xué)教材中，這兩部分內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖分別如圖1、圖2所示。從中可以看出，兩者的學(xué)習(xí)流程是一樣的：發(fā)現(xiàn)和提出問題—建立和求解模型—檢驗(yàn)和完善模型—分析和解決問題。這其實(shí)是科學(xué)研究的基本流程：開創(chuàng)性的問題—解決問題的模型或方法—有意義的結(jié)論。

函數(shù)考察的是兩個(gè)量之間的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系，是在一個(gè)范圍內(nèi)考慮問題，更多地關(guān)注最值、優(yōu)化等問題;方程是聯(lián)系未和和已知的橋梁，是在一個(gè)點(diǎn)處“執(zhí)果索因”。這是函數(shù)建模求解與方程建模求解的一點(diǎn)區(qū)別。方程建模問題往往可以用函數(shù)建模來處理。

教材對(duì)一元一次函數(shù)、一元一次方程、反比例函數(shù)、分式方程、三角函數(shù)等內(nèi)容的編寫都滲透了數(shù)學(xué)建模的思想。這樣的編排，使學(xué)生看到了數(shù)學(xué)知識(shí)與外部世界的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程、技術(shù)等方面的諸多使用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透STEM教育，即科學(xué)（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）、數(shù)學(xué)（Mathematics）綜合教育，是完全有可能的。

二、數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的研究

對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的研究，是在數(shù)學(xué)內(nèi)部的研究，已有一套成熟的路子：首先從最基本的對(duì)象出發(fā)，然后對(duì)最基本的對(duì)象在幾何上進(jìn)行拓展，最后走向一般代數(shù)形式。

（一）確定基本對(duì)象

對(duì)于二次函數(shù)而言，最基本的對(duì)象是y=x2。這個(gè)基本的對(duì)象已經(jīng)孕育了一般二次函數(shù)的全部特征：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等。通過一個(gè)相似變換，y=x2就變成了y=ax2（a≠0）。教材就是從這里起步進(jìn)行研究的。

研究y=ax2的特定狀態(tài)y0=ax2，就變成了研究方程，即已知結(jié)果狀態(tài)y0，要求原因所在。從函數(shù)圖像上講，就是已知函數(shù)y=y0與y=ax2有交點(diǎn)，要求交點(diǎn)在橫坐標(biāo)軸上的投影。教材就是從x2=p開始研究一元二次方程的。因此，教師往往強(qiáng)調(diào)要把系數(shù)進(jìn)行單位化處理。

（二）對(duì)基本對(duì)象進(jìn)行幾何變換

對(duì)基本的對(duì)象y=ax2進(jìn)行上（下）、左（右）平移，得到y(tǒng)=a（x-h）2+k。按照同樣的程序，研究此函數(shù)的性質(zhì)。

研究y=a（x-h）2+k的特定狀態(tài)y0=a（x-h）2+k，其實(shí)就是用配方法解一元二次方程。

（三）走向一般代數(shù)形式

把“幾何形式”y=a（x-h）2+k化成一般代數(shù)形式，得到y(tǒng)=ax2+bx+c。這種形式強(qiáng)調(diào)符號(hào)語言的一般性：無論多少個(gè)常數(shù)項(xiàng)，都可以用一個(gè)字母來表示。對(duì)于一般形式的二次函數(shù)，也要按照同樣的程序，研究它的性質(zhì)。

研究y=ax2+bx+c的特定狀態(tài)y0=ax2+bx+c，其實(shí)就是研究一般的一元二次方程的求解。若從函數(shù)的角度看一元二次方程，確立二次函數(shù)和一元二次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則方程求解過程的內(nèi)在邏輯就看得很清楚了：本來是為了求解一般的一元二次方程，為何要從最簡單的一元二次方程談起？為何要用配方法？化歸思想方法的內(nèi)在邏輯理據(jù)也已經(jīng)非常明白了，就是從上面一步一步的拓展中來的。

值得一提的是，這種方法還可以延伸到從一次函數(shù)到一元一次方程的學(xué)習(xí)中，如表1所示。

形式一次函數(shù)一元一次方程變換基本型y=xy0=xy=axy0=ax相似變換平移型y=a（x-h）+ky0=a（x-h）+k平移變換一般式y(tǒng)=kx+by0=kx+b（四）二次函數(shù)幾何模型與零積一元二次方程

二次函數(shù)最直觀的幾何模型是正方形的面積，正方形壓縮（拉伸）后可以變成矩形。矩形面積模型y=x（x-p）和y=（x-x1）（x-x2），蘊(yùn)含著二次函數(shù)的交點(diǎn)式。研究它們的特殊狀態(tài)x（x-p）=0和（x-x1）（x-x2）=0，就是研究零積方程。這在教材中就是用因式分解法解一元二次方程。

研究y=x（x-p）的特定狀態(tài)y0=x（x-p），可以引出中國古代算學(xué)家的“開帶從平方法”。而由交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）出發(fā)，可以得到二次函數(shù)的牛頓插值公式：y=y1（x-x2）（x-x3）（x1-x2）（x1-x3）+y2（x-x1）（x-x3）（x2-x1）（x2-x3）+y3（x-x1）（x-x2）（x3-x1）（x3-x2）。這就從純粹的知識(shí)和技巧走向了計(jì)算思維之門。其問題是：已知不在同一直線上的三點(diǎn)，確定一個(gè)二次函數(shù)。即已知f（x1）=y1，f（x2）=y2，f（x3）=y3，試確定此二次函數(shù)的表達(dá)式。

三、溝通相關(guān)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系

人教版教材現(xiàn)在對(duì)函數(shù)內(nèi)容的編排是：正比例函數(shù)—一次函數(shù)—二次函數(shù)—反比例函數(shù)—三角函數(shù)。而以前的編排是：正比例函數(shù)—反比例函數(shù)—一次函數(shù)—二次函數(shù)—三角函數(shù)。這里，如何認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)在編排體系中的變化？

對(duì)同一物理規(guī)律，采用不同的變量控制法，其數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，可以是正比例函數(shù)，也可以是反比例函數(shù)。比如路程、時(shí)間和速度的關(guān)系，壓力、面積和壓強(qiáng)的關(guān)系，電壓、電流和電阻的關(guān)系，功、時(shí)間和功率的關(guān)系。從物理學(xué)的角度看，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)是同一物理規(guī)律的不同表現(xiàn)形式，其關(guān)系更密切。因此，可以把正比例函數(shù)和反比例函數(shù)安排在一起——其實(shí)，小學(xué)教材就是同時(shí)講正比例關(guān)系和反比例關(guān)系的。

但是，從數(shù)學(xué)的角度看，一次函數(shù)是直線，二次函數(shù)是拋物線;反比例函數(shù)是雙曲線，相對(duì)于直線和拋物線而言，不常見一些。把常見的安排在前面，把不常見的安排在后面，也合乎學(xué)生的認(rèn)知心理。

此外，從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部把一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根看成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，變形就有ax+b=-cx，這樣左邊是直線，右邊就是雙曲線。即從函數(shù)的角度看一元二次方程，可以得到反比例函數(shù)，這樣能使反比例函數(shù)很容易進(jìn)入教學(xué)。而且，再變一下形，還有ax+cx=-b，就得到了我們熟悉的“雙勾函數(shù)”。

事實(shí)上，教材從小學(xué)階段起就在滲透函數(shù)思想以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化。比如，在圓的周長公式中滲透的是正比例函數(shù)，在矩形的面積公式中滲透的是二元函數(shù)，在梯形的面積公式中滲透的是三元函數(shù)，在圓的面積公式中滲透的是二次函數(shù)。而方程本質(zhì)上是函數(shù)的逆運(yùn)算：尋求使函數(shù)值符合一定要求的自變量就是解方程。函數(shù)思想和方程方法是一個(gè)事物的兩面，貫穿于數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。

四、教學(xué)啟示

作為完整的數(shù)學(xué)教學(xué)，既要注重?cái)?shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)。在現(xiàn)實(shí)背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)更多地在關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)，較少關(guān)注數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。但是，即使是關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)教學(xué)也需要從理論上提高認(rèn)識(shí)。

（一）精致練習(xí)是必要的，但不一定是充分的

根據(jù)理性思維的調(diào)控特征理論（Adaptive Character of ThoughtRational），知識(shí)、技能都需要通過艱苦的學(xué)習(xí)而獲得和鞏固。精致練習(xí)、變式學(xué)習(xí)是熟能生巧、走向理解、走向遷移的必要條件之一。這一點(diǎn)在現(xiàn)實(shí)的課堂教學(xué)中，已經(jīng)運(yùn)用得相當(dāng)嫻熟了，學(xué)生往往經(jīng)歷了大量的訓(xùn)練，也取得了一定的效果。但是，若執(zhí)著于此，只會(huì)把學(xué)生引向茫茫題海。人工智能機(jī)器是“舉十反一”，通過訓(xùn)練集逐步習(xí)得模式，但是學(xué)生不是機(jī)器，不能過量采取這種“舉十反一”的做法，還需要能夠?qū)σ褜W(xué)習(xí)的內(nèi)容做多角度的解讀。教育數(shù)學(xué)在這方面的工作是開創(chuàng)性的，強(qiáng)調(diào)前后知識(shí)之間的“一線串”，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的“前瞻”與“后顧”，讓學(xué)生越學(xué)越簡單。

（二）思想、方法和觀點(diǎn)要化成有層次的引導(dǎo)性問題，讓學(xué)生在訓(xùn)練中更好地掌握

教材內(nèi)容往往蘊(yùn)含著一些原則性的思考方法。這些方法要化為學(xué)生的技能，進(jìn)入學(xué)生的頭腦，需要一些精心編制的習(xí)題，讓學(xué)生能“舉一反三”（人還是比人工智能機(jī)器高明的）。好的習(xí)題往往凝聚了命題者對(duì)課程內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的理解。這就是現(xiàn)在理論界正在討論的核心素養(yǎng)如何考的問題。精致練習(xí)講究思維的細(xì)密性、一步一個(gè)臺(tái)階，而有層次的引導(dǎo)性問題則強(qiáng)調(diào)思維的全面性與深刻性。這是兩種不同層次的訓(xùn)練。經(jīng)歷這兩種訓(xùn)練之后，知識(shí)或技能才能真正形成“產(chǎn)生式”。

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