張益明 李卓忱

摘要：在梳理《幾何原本》《九章算術(shù)》中的旋轉(zhuǎn)體概念、問(wèn)題以及西方早期幾何教科書(shū)中的圓柱概念的基礎(chǔ)上，采用HPM視角來(lái)設(shè)計(jì)“旋轉(zhuǎn)體的概念”的教學(xué)：首先，欣賞歷史上著名的圓柱形建筑或物體，思考圓柱形的好處，感悟?qū)W習(xí)旋轉(zhuǎn)體的必要性;接著，利用一個(gè)圓形紙片、一張長(zhǎng)方形的紙片、兩支筆等工具，通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)和平移形成圓柱，并利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言逐步完善圓柱的概念;最后，利用類(lèi)比思想形成圓錐、球的概念，并概括出一般旋轉(zhuǎn)體的概念，進(jìn)一步思考旋轉(zhuǎn)體的集合定義。

關(guān)鍵詞：HPM旋轉(zhuǎn)體概念圓柱定義

立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求“利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)”。滬教版高中數(shù)學(xué)三年級(jí)第15章《簡(jiǎn)單幾何體》第3節(jié)的內(nèi)容是“旋轉(zhuǎn)體的概念”。教材在本節(jié)開(kāi)頭部分開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地給出了旋轉(zhuǎn)體的概念，接下來(lái)依次給出了圓柱、圓錐以及球的概念。學(xué)生經(jīng)過(guò)《空間直線與平面》一章的學(xué)習(xí)，需要在這一章的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力。教師需要用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，突出概念的本質(zhì)特征，強(qiáng)調(diào)概念的精確性和簡(jiǎn)練性。

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往覺(jué)得本章內(nèi)容枯燥無(wú)趣，因而重視不夠，相關(guān)教學(xué)研究也比較少。經(jīng)過(guò)多年教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)，按照直接引入的方式，學(xué)生也能掌握?qǐng)A柱、圓錐以及球的概念，而且能夠節(jié)省時(shí)間來(lái)進(jìn)行練習(xí)。但是，這種引入方式存在以下幾點(diǎn)缺陷：學(xué)生不理解學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體的必要性;沒(méi)有獲得通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)形成幾何體的觀念;對(duì)定義的嚴(yán)密性理解不夠深刻。

HPM視角下的教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)史有助于構(gòu)建知識(shí)之諧、彰顯方法之美、營(yíng)造探究之樂(lè)、實(shí)現(xiàn)能力之助、展示文化之魅、達(dá)成德育之效。歷史上，人們對(duì)旋轉(zhuǎn)體的概念經(jīng)歷了逐漸完善的過(guò)程?；跉v史重構(gòu)旋轉(zhuǎn)體概念的教學(xué)，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體概念的動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)體概念的形成過(guò)程，了解知識(shí)的源流，加深對(duì)概念的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和動(dòng)態(tài)發(fā)展的數(shù)學(xué)觀。

有鑒于此，我們采用HPM視角來(lái)設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)，擬定了如下教學(xué)目標(biāo)：（1）知道旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念;（2）經(jīng)歷圓柱、圓錐、球概念的形成，理解三個(gè)旋轉(zhuǎn)體的基本性質(zhì);（3）進(jìn)一步培養(yǎng)類(lèi)比思想、空間想象能力。

一、歷史材料梳理

（一）《幾何原本》中的旋轉(zhuǎn)體概念

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前3世紀(jì)）在《幾何原本》第11卷中分別給出了球、圓錐、圓柱的動(dòng)態(tài)定義：“固定半圓的直徑，旋轉(zhuǎn)半圓到開(kāi)始的位置所形成的圖形稱(chēng)為球?！薄肮潭ㄖ苯侨切蔚囊粭l直角邊，旋轉(zhuǎn)直角三角形到開(kāi)始的位置所形成的圖形稱(chēng)為圓錐。”“固定矩形的一邊，繞此邊旋轉(zhuǎn)矩形到開(kāi)始的位置所成的圖形稱(chēng)為圓柱?！?/p>

之后，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron，1世紀(jì)）給出了球的靜態(tài)定義：“一個(gè)被表面包圍的立體圖形，所有從里面一點(diǎn)出發(fā)的直線都與另一條相等?！?/p>

可以看出，此時(shí)關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的概念已經(jīng)有動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的雛形。

（二）《九章算術(shù)》中的旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題

中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》（1世紀(jì)）記載了有關(guān)圓柱（古人稱(chēng)之為圓堡壔）、圓錐和球（古人稱(chēng)之為立圓）的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。比如關(guān)于圓柱的一題：“今有圓堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，問(wèn)積幾何。答曰：兩千一百一十二尺。術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一?！贝藭r(shí)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家關(guān)注的是旋轉(zhuǎn)體的度量與實(shí)際應(yīng)用。

（三）西方早期幾何教科書(shū)中的圓柱概念

通過(guò)對(duì)西方早期教科書(shū)的考察，可以得到圓柱的五種定義方式，分別是矩形旋轉(zhuǎn)定義、直線旋轉(zhuǎn)定義、圓的平移定義、基于圓柱面的定義、基于圓柱空間的定義。

1829年，英國(guó)數(shù)學(xué)家海華德（J.Hayward，1786—1866）在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中將圓柱定義為“矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)所形成的立體”。這與《幾何原本》中的定義一致。他在書(shū)中還給出了圓柱另外兩種動(dòng)態(tài)定義：一是“過(guò)圓上一點(diǎn)的直線沿著圓平移所形成的立體”，二是“圓沿著一條直線平移所形成的立體”。

1884年，美國(guó)數(shù)學(xué)家紐康姆（S.Newcomb，1835—1909）在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中首先定義了圓柱面：“圓柱面是由直線的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，該直線始終與給定的曲線相交，并且與其原始位置保持平行（如圖1）?！比缓蠖x了圓柱：“由一個(gè)圓柱面和兩個(gè)平行平面構(gòu)成的幾何體為圓柱?！庇捎谇€的任意性，這里定義的是廣義的圓柱。1893年，美國(guó)數(shù)學(xué)家巴托爾（W.C.Bartol）在這個(gè)定義的基礎(chǔ)上，特別強(qiáng)調(diào)了“底為圓、母線與底面垂直的幾何體是直圓柱”。這與圓柱的現(xiàn)代定義是一致的。他還指出，直圓柱也稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)圓柱：“矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個(gè)直圓柱?！痹撔D(zhuǎn)定義

與圓柱的現(xiàn)代動(dòng)態(tài)定義是一致的。

1900年，Beman等人首先定義了柱面空間：“如果準(zhǔn)線是一條閉合曲線，柱面就包圍了一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)空間，稱(chēng)為柱面空間（如上頁(yè)圖2）?！睋?jù)此給出了柱體的定義：“柱面空間中，含于兩個(gè)平行橫截面之間的部分稱(chēng)為柱體?！庇纱?，若準(zhǔn)線垂直于底面，則柱體是直柱體;如果一個(gè)柱體的底是一個(gè)圓，那么這個(gè)柱體就是圓柱。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)以及本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我們對(duì)圓柱概念的歷史進(jìn)行了重構(gòu)：首先，穿越時(shí)空，欣賞歷史上著名的圓柱形建筑或物體，思考圓柱形的好處，感悟?qū)W習(xí)旋轉(zhuǎn)體的必要性;接著，重演歷史，利用一個(gè)圓形紙片、一張長(zhǎng)方形的紙片、兩支筆等工具，通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)和平移形成圓柱，并利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言逐步完善圓柱的概念;最后，反思?xì)v史，利用類(lèi)比思想形成圓錐、球的概念，并概括出一般旋轉(zhuǎn)體的概念，進(jìn)一步思考旋轉(zhuǎn)體的集合定義。

（一）情境引入，再識(shí)圓柱

教師指出：“國(guó)慶期間，各大旅游網(wǎng)站，都會(huì)推薦相應(yīng)的景點(diǎn)。1916年，韋伯在其教科書(shū)《立體幾何》中也介紹了一個(gè)景點(diǎn)，即梅特拉墓?！蓖瑫r(shí)，出示梅特拉墓圖，并介紹：“這個(gè)墓地是古羅馬貴婦人的墓地，是世界十大女性遺跡之一，意大利著名景點(diǎn)?！比缓螅鍪練W洲古代水塔圖，并介紹：“這是歐洲古代的水塔?！苯又?，提問(wèn)：“這兩個(gè)建筑都是什么形狀的幾何體？”

學(xué)生回答之后，教師出示中國(guó)古代的圓柱形物體，如故宮的柱子、西漢的搟面杖、古代的水井等，并讓學(xué)生討論圓柱形有哪些優(yōu)點(diǎn)。學(xué)生從美觀、安全、存儲(chǔ)量等角度給出了優(yōu)點(diǎn)，體會(huì)到學(xué)習(xí)圓柱的必要性。

（二）再現(xiàn)歷史，定義圓柱

（教師引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的軌跡定義和集合定義，并比較。）

師我更喜歡軌跡說(shuō)。軌跡說(shuō)的核心是點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，更加動(dòng)感、活潑，也更有探索和創(chuàng)新精神。這個(gè)時(shí)候，點(diǎn)不再是冷冰冰的概念，而是富有活力的生命體，因?yàn)樯谟谶\(yùn)動(dòng)。（稍停）現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們利用老師提供的材料——圓紙片、A4紙、筆等，通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)形成圓柱。

生圓向上平移，筆繞著圓旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)A4紙。

生將A4紙卷成圓柱。

師卷的過(guò)程中紙的邊可以看成直線，因此，它與筆旋轉(zhuǎn)的方案等價(jià)。這里的筆在數(shù)學(xué)家眼中不再是筆，而是直線。請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將剛才的方案描述出來(lái)，得到圓柱的定義。

生將一條直線繞著圓周旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何圖形。

師很好，這種定義已經(jīng)和歷史上數(shù)學(xué)家的定義相近了。1829年，英國(guó)數(shù)學(xué)家海華德在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中給出了圓柱的三種定義。其中，直線旋轉(zhuǎn)定義為，空間中經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)的一條直線沿著圓平移，形成圓柱的表面。同學(xué)們覺(jué)得這種定義準(zhǔn)確嗎？

生直線是無(wú)限延伸的，沒(méi)有界限，因此，得到的不是封閉的幾何體。

師那么，如何修正這個(gè)定義？

生上下加兩個(gè)蓋子。

師意思差不多，圓柱其實(shí)就是被圓柱面和兩個(gè)平行平面包圍的立體。1884年，美國(guó)數(shù)學(xué)家紐康姆在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中基于直線旋轉(zhuǎn)定義給出了一種新的圓柱定義——基于圓柱面的定義：首先定義圓柱面為空間中一條直線沿著一條曲線平移形成的面，接著定義圓柱為被一個(gè)圓柱面和兩個(gè)平行平面包圍的立體。解決了封閉性的問(wèn)題之后，由現(xiàn)在這個(gè)定義得到的圓柱和我們黑板上的圓柱一樣嗎？

生不一定一樣，可以是斜的。

師請(qǐng)舉出一個(gè)著名旅游景點(diǎn)的例子。

生比薩斜塔。

師很好！1893年，美國(guó)數(shù)學(xué)家巴托爾在基于圓柱面的定義的基礎(chǔ)上，給出了更完善的圓柱定義：“如果底是圓形，生成柱面的直線垂直于圓所在平面，這個(gè)柱體就被稱(chēng)為直圓柱?！边@里的“直圓柱”就是現(xiàn)在的圓柱。（稍停）剛才，我們一起利用直線旋轉(zhuǎn)形成了圓柱。在圓柱定義不斷完善的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們?cè)谧非笳嬷牡缆飞喜粩嗵剿鞯木褚约皣?yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度非常值得學(xué)習(xí)。同學(xué)們也能和數(shù)學(xué)家一樣提出相似的定義，說(shuō)明大家在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上是非常有潛力的。現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們類(lèi)似地利用圓的平移給出圓柱的定義。

生一個(gè)圓沿著一條直線平移，形成圓柱面，而且這條直線與圓面垂直，上下要加蓋子。

師不錯(cuò)，意思基本對(duì)了。海華德在《幾何基礎(chǔ)》中還給出了一種矩形旋轉(zhuǎn)定義：矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)所形成的立體。而《幾何原本》第11卷也給出了類(lèi)似的定義。請(qǐng)同學(xué)們點(diǎn)評(píng)上述三種定義：直線旋轉(zhuǎn)定義（包括其改進(jìn)版）、圓的平移定義以及矩形旋轉(zhuǎn)定義，你更喜歡哪一種？為什么？

生圓的平移定義，因?yàn)樗詈?jiǎn)潔。

生直線旋轉(zhuǎn)定義，因?yàn)橛幸环N動(dòng)態(tài)。

生矩形旋轉(zhuǎn)定義，因?yàn)樾D(zhuǎn)的矩形中外面那條邊也可以看作直線，從而把直線旋轉(zhuǎn)包含進(jìn)去，也把封閉性和垂直性包含進(jìn)去。

師因此，課本上還是用了矩形旋轉(zhuǎn)定義：將矩形ABCD（及其內(nèi)部）繞其一條邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作圓柱。這個(gè)定義非常嚴(yán)謹(jǐn)，比如強(qiáng)調(diào)了矩形及其內(nèi)部;非常動(dòng)感，利用了圖形運(yùn)動(dòng)形成圓柱;也很簡(jiǎn)潔，旋轉(zhuǎn)一周就行了。

（教師帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱中軸、母線、高、底面等定義。）

（三）類(lèi)比研究，深入理解

師我們經(jīng)歷過(guò)一個(gè)圖形、兩種運(yùn)動(dòng)、三種定義。請(qǐng)同學(xué)們基于圓柱的旋轉(zhuǎn)定義類(lèi)比給出圓錐和球的旋轉(zhuǎn)定義。

生圓錐的定義為將Rt△ABC（及其內(nèi)部）繞其一條直角邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體。

生球的定義為將圓心為O的半圓（及其內(nèi)部）繞其直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體。

師我們利用不同的圖形，比如矩形及其內(nèi)部、直角三角形及其內(nèi)部、半圓及其內(nèi)部，繞著直線旋轉(zhuǎn)一周得到相應(yīng)的幾何體。那么，我們拿出其他幾何圖形，是不是也能夠得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體呢？（稍停）平面上一條封閉曲線所圍成的區(qū)域繞著它所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體。（利用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)展示圓柱、圓錐、球、圓臺(tái)的形成過(guò)程，如圖3）現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們舉出生活中的旋轉(zhuǎn)體例子。

生冰激凌、車(chē)的方向盤(pán)、輪胎。

（一位學(xué)生展示旋轉(zhuǎn)舞蹈。）

師不同的造型旋轉(zhuǎn)起來(lái)非常優(yōu)美。請(qǐng)同學(xué)們思考一下：為什么今天所學(xué)的旋轉(zhuǎn)體的名稱(chēng)中都有一個(gè)“圓”字。

生動(dòng)點(diǎn)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)會(huì)形成圓。

（四）練習(xí)鞏固，深化認(rèn)識(shí)

教師給出一些例子，讓學(xué)生辨析，從而強(qiáng)化之前學(xué)習(xí)的概念。

例題下列說(shuō)法正確的是。

（1）以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓柱;

（2）以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐;

（3）在圓柱上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;

（4）圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周上一點(diǎn)的連線是圓錐的母線;

（5）將半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是球;

（6）空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（大于0）的點(diǎn)構(gòu)成的集合是球。

（五）探索創(chuàng)新，回顧總結(jié)

師下面也請(qǐng)同學(xué)們用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，創(chuàng)新性地探索圓柱的集合定義。

生到定直線l距離等于定值且與l平行的直線構(gòu)成的集合記為Ω，垂直于定直線l的兩個(gè)平行平面與Ω包圍的幾何體稱(chēng)為圓柱。

生過(guò)定直線上一點(diǎn)且與定直線所成角相等的直線構(gòu)成的集合記為Ω;垂直于定直線且不過(guò)該定點(diǎn)的平面與Ω包圍的幾何體稱(chēng)為圓錐。

生空間中，到定點(diǎn)的距離小于等于定長(zhǎng)的點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為球。

最后，師生共同總結(jié)本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí)，即圓柱、圓錐、球以及旋轉(zhuǎn)體的概念，總結(jié)本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法，即類(lèi)比的思想和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn);引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，即善于觀察生活問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并形成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再加以解決。

三、學(xué)生反饋

課后，我們收集了全班40名學(xué)生對(duì)于本節(jié)課的反饋信息。

96%的學(xué)生“非常同意”聽(tīng)懂了這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。98%的學(xué)生“很喜歡”這樣將歷史上的旋轉(zhuǎn)體概念融入課堂中。

當(dāng)看到“旋轉(zhuǎn)體”這個(gè)詞時(shí)，38%的學(xué)生會(huì)想到旋轉(zhuǎn)體與其中的元素;12%的學(xué)生會(huì)想到運(yùn)動(dòng)及其他數(shù)學(xué)相關(guān)詞匯;8%的學(xué)生會(huì)想到圖形性質(zhì)與審美;6%的學(xué)生會(huì)想到跨學(xué)科內(nèi)容;30%的學(xué)生會(huì)想到旋轉(zhuǎn)體與生活。

對(duì)于為什么要學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體，在數(shù)學(xué)知識(shí)與技能方面，有27人分別從數(shù)學(xué)史、低維到高維、圖形的對(duì)稱(chēng)、學(xué)習(xí)知識(shí)、定義、理解立體幾何、空間想象力等知識(shí)取向的角度進(jìn)行了闡述;5人從數(shù)學(xué)定義的方法、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的角度進(jìn)行了解釋;10人從數(shù)學(xué)思維的角度進(jìn)行了詮釋。在數(shù)學(xué)與生活方面，有16人從研究數(shù)學(xué)、生活、世界的角度進(jìn)行了解釋。在數(shù)學(xué)情感方面，有4人從情感取向解釋了學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體時(shí)追尋真理、深入本質(zhì)的研究態(tài)度以及反復(fù)研究和改進(jìn)結(jié)論帶來(lái)的數(shù)學(xué)之美、好玩的情感。由此可以看出，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體概念的必要性有了一定的認(rèn)識(shí)。

對(duì)于如何定義圓臺(tái)，35人利用直角梯形及其內(nèi)部的旋轉(zhuǎn);1人利用線段繞軸的旋轉(zhuǎn);1人利用錐體截取上方小的圓柱;1人利用兩個(gè)大小不等、圓心連線與圓所在平面垂直的平行圓，聯(lián)結(jié)圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)所形成的幾何體及其內(nèi)部;1人利用集合論，即圓柱側(cè)面與上下圓心連線夾角相同的直線。由此可以看出，學(xué)生初步形成了幾何運(yùn)動(dòng)觀念，并且對(duì)定義的嚴(yán)密性有了一定的理解。

對(duì)于學(xué)完本節(jié)課后印象深刻的有哪些，學(xué)生的典型回答有：“歷史上的概念。因?yàn)楦杏X(jué)數(shù)學(xué)家提出這個(gè)概念時(shí)間很近，而且他們思考得并不全面，讓我驚奇?！薄傲私獍l(fā)現(xiàn)的歷史演變過(guò)程。因?yàn)榱私獾浇沂疽?guī)律、真理是在不斷改進(jìn)之后產(chǎn)生的?！薄巴粓A柱的不同定義。因?yàn)閿?shù)學(xué)有時(shí)也沒(méi)有唯一的規(guī)定?！薄坝晒胖两?，分析定義。因?yàn)閿?shù)學(xué)定義并非一下子得出的，而是經(jīng)過(guò)不斷地修改與加工，才得以完善?！庇纱丝梢钥闯觯瑢W(xué)生初步形成了動(dòng)態(tài)發(fā)展的數(shù)學(xué)觀。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課HPM的使用方式有順應(yīng)式、重構(gòu)式和附加式。在情境引入中用順應(yīng)式，介紹韋伯在《立體幾何》中呈現(xiàn)的梅特拉墓以及歐洲古代水塔，旨在幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。在圓柱概念的形成中用重構(gòu)式，讓學(xué)生利用所給材料，通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)形成圓柱，并根據(jù)設(shè)計(jì)的方案，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)圓柱定義;在學(xué)生不斷完善定義和辨析定義優(yōu)缺點(diǎn)的過(guò)程中，自然地引入相應(yīng)的數(shù)學(xué)史上的定義。課后應(yīng)用附加式，讓學(xué)生自主閱讀圓錐概念的歷史發(fā)展過(guò)程。

本節(jié)課中，學(xué)生自己設(shè)計(jì)構(gòu)成圓柱的方案，并抽象成數(shù)學(xué)概念，對(duì)比數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)的類(lèi)似定義，體現(xiàn)了“知識(shí)之諧”;教師點(diǎn)評(píng)了圓的兩種定義，也讓學(xué)生點(diǎn)評(píng)了數(shù)學(xué)史上圓柱的各種定義，找到了最簡(jiǎn)潔、完善的定義，體現(xiàn)了“方法之美”;學(xué)生用不同的學(xué)具，以小組合作的方式，逐步探究出圓柱的定義，參與到知識(shí)生成的過(guò)程中，體現(xiàn)了“探究之樂(lè)”;學(xué)生從生活問(wèn)題中抽象出幾何體，用類(lèi)比的推理方式得到圓錐、球的概念，歸納出一般旋轉(zhuǎn)體的概念，提升了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等能力，體現(xiàn)了“能力之助”;教師展現(xiàn)了東、西方的圓柱形建筑、物體以及不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家對(duì)圓柱定義的不斷完善過(guò)程，揭示了數(shù)學(xué)背后的多元文化和人文精神，體現(xiàn)了“文化之魅”;通過(guò)旅游景點(diǎn)的推薦提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，在圓柱概念的不斷完善過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)態(tài)發(fā)展的數(shù)學(xué)觀，同時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)家對(duì)真善美的追求，讓學(xué)生受到了鼓舞，也學(xué)會(huì)了尊重和包容，體現(xiàn)了“德育之效”。

當(dāng)然，在本節(jié)課中，教師并未引導(dǎo)學(xué)生將圓柱與棱柱概念進(jìn)行對(duì)照，是一個(gè)遺憾。在未來(lái)的教學(xué)中，教師可以在學(xué)生的課后作業(yè)中設(shè)置這一部分內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)幾何體的概念和形成有更系統(tǒng)的理解。

本文系本刊連載的汪曉勤教授團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)的HPM案例之一，也系華東師范大學(xué)HPM工作室開(kāi)發(fā)的系列課例之一。

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