梁求玉 鄭祥旦

摘要：“數(shù)與形”源自趣味數(shù)學(xué)，“數(shù)與形”一課可上成趣味數(shù)學(xué)課。其教學(xué)流程可以是先明確“數(shù)”與“形”的概念，再用不同的“單子”把平方數(shù)排列成正方形圖案，讓學(xué)生反思圖案之間的關(guān)系并把平方數(shù)用加法算式表達(dá)出來(lái)，最后仿照排列“四角數(shù)”的方法排列出“三角數(shù)”“五角數(shù)”“六角數(shù)”。在這樣的課堂中，學(xué)生像畢達(dá)哥拉斯及其弟子一樣安安心心地“玩了一把”，從中感悟到了數(shù)學(xué)的奇妙，體會(huì)到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)充滿了好奇心。

關(guān)鍵詞：“數(shù)與形”;趣味數(shù)學(xué);教學(xué)原本;玩中學(xué)

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的例1“數(shù)與形”源自于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)趣味數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。據(jù)說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯及其弟子非常重視數(shù)與圖形之間的關(guān)系，他們用一種名叫“單子”的符號(hào)●排列成優(yōu)美的圖形來(lái)表達(dá)一個(gè)數(shù)。用“單子”排列成三角圖形的數(shù)叫做“三角數(shù)”，排列成正方形的數(shù)叫做“四角數(shù)”。也許就是他們對(duì)數(shù)字的崇拜，促使他們?cè)跀?shù)字的探索中發(fā)現(xiàn)了大量的奧妙，其中許多是對(duì)后來(lái)影響很大的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題。

如果把“數(shù)與形”這一課上成趣味數(shù)學(xué)課，還原知識(shí)產(chǎn)生的本原，讓學(xué)生安安心心地“玩一把”，在玩中深刻地體會(huì)到“數(shù)”與“形”之間的“兩依倚”，那么學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)就不會(huì)出現(xiàn)或少出現(xiàn)“兩邊飛”的情形。為了使教學(xué)的進(jìn)程是可視的，本課的教學(xué)目標(biāo)可以定位為：學(xué)生用“單子”把平方數(shù)排列成正方形圖案，反思圖案之間的關(guān)系把“四角數(shù)”用加法算式表達(dá)出來(lái);仿照“四角數(shù)”，排列出“三角數(shù)”“五角數(shù)”“六角數(shù)”;感悟數(shù)學(xué)的奇妙，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，對(duì)數(shù)學(xué)充滿好奇心。

應(yīng)該如何上這節(jié)課呢？有很多教師把教學(xué)目標(biāo)定位為“發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著數(shù)的規(guī)律”，或者以形助數(shù)，或者以數(shù)解形，或者數(shù)形結(jié)合，一節(jié)課在尋找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律，從思維的角度上說(shuō)，這與一年級(jí)“找規(guī)律”教學(xué)沒(méi)有太多的區(qū)別，只注重知識(shí)的教與學(xué)，就沒(méi)上出“趣味數(shù)學(xué)”的味道。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信奉“萬(wàn)物皆數(shù)”，他們認(rèn)為，“一切事物都按數(shù)來(lái)安排”，他們最先把自然數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)，研究發(fā)現(xiàn)了完全數(shù)、友數(shù)、畢達(dá)哥拉斯數(shù)，等等。因此，學(xué)生首先要明確“數(shù)”是指整數(shù)，是一列整數(shù)。

形數(shù)原意為“石子”，畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)生們很可能是在沙灘上用石子作為“單子”擺出優(yōu)美的圖形。如果有學(xué)生把“單子”理解為正方形，那就錯(cuò)了。“單子”除了是正方形外，還可以石子、圓形、三角形、星形、點(diǎn)子，等等。

假設(shè)學(xué)生已經(jīng)閱讀了本課的教材內(nèi)容，不同的學(xué)生對(duì)“四角數(shù)”及相關(guān)的習(xí)題有不同的理解掌握，那么，教學(xué)的導(dǎo)入環(huán)節(jié)可以這樣設(shè)計(jì)。

出示課題“數(shù)與形”。引導(dǎo)學(xué)生用說(shuō)詞解字、互動(dòng)交流的方式說(shuō)一說(shuō)“數(shù)”和“形”的意思：“形”是用正方形、小石子、星形等物體擺出來(lái)的圖形;“數(shù)”是一個(gè)或一列整數(shù)。

“百數(shù)表”是整數(shù)數(shù)列的初始部分，在數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)教學(xué)中都占有十分重要的地位，可以這樣說(shuō)，如果學(xué)生學(xué)會(huì)了“百數(shù)表”中的相關(guān)知識(shí)，那么他們學(xué)習(xí)這部分知識(shí)就不會(huì)有太大的困難，至少不會(huì)成為潛能生。因此，教學(xué)的動(dòng)手操作互環(huán)節(jié)可以從“百數(shù)表”入手，教學(xué)可以如下設(shè)計(jì)。

教師出示“百數(shù)表”，提醒學(xué)生“數(shù)”就藏在這個(gè)“百數(shù)表”里。讓學(xué)生先數(shù)數(shù)：1，2，3，…;寫(xiě)出每一整數(shù)的平方并計(jì)算它們的值：1=1，2=4.3=9……

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，并各自用不同的“單子”把1、3、9等平方數(shù)依次排列出優(yōu)美的圖案，動(dòng)手操作后在小組內(nèi)組織學(xué)生之間的互相觀察并欣賞自己的作品，教師選擇部分作品投影出來(lái)供全班學(xué)生點(diǎn)評(píng)。學(xué)生創(chuàng)造出來(lái)的圖案可能如圖1。

教師要引導(dǎo)學(xué)生找出圖案的共性，即從整體上看這些圖案都有正方形的外形?？梢韵?qū)W生介紹“形數(shù)”產(chǎn)生的歷史：最先排列出這些圖案的人是古希臘的畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)生，他們還把這些平方數(shù)叫做“四角數(shù)”。由于語(yǔ)言的不同，有的外國(guó)人把正方形叫做四角形，所以“四角數(shù)”其實(shí)就是“正方形數(shù)”。

首先，教師提示學(xué)生在這些圖形里蘊(yùn)藏著許多數(shù)學(xué)的奧秘，現(xiàn)在需要他們通過(guò)自己的眼睛和大腦把這些奧秘給挖掘出來(lái)?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生先觀察自己擺出的第3個(gè)圖，用反向思考的方法回顧前面的動(dòng)手操作過(guò)程，畫(huà)圖表示出它與前一幅圖之間所具有的包含與被包含邏輯關(guān)系做口圖2）。

再次，引導(dǎo)學(xué)生觀察算式：4+5=9，1+3=4，得到：1+3+5=9。推想并驗(yàn)證：1+3+5+7=16，4×2-1=7，其圖形是n=4的正方形;1+3+5+7+9=25，5×2-1=9，其圖形是n=5的正方形。運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題：1+3+5+7+…+（）=100，其圖形是n=10的正方形。

然后，引導(dǎo)學(xué)生在“百數(shù)表”中觀察每個(gè)算式的數(shù)，得到：1+3+5=32，1+3=22。推理得出：1=1。學(xué)生主動(dòng)改寫(xiě)其余的算式。再觀察得到：每個(gè)算式的加法是連續(xù)的奇數(shù)，概括其數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：從1起，n個(gè)奇數(shù)的和等于n;算式的最后一個(gè)加數(shù)是2n-1。有學(xué)生還可能表示他對(duì)n2和2n的聯(lián)系與區(qū)別有新的理解。

最后，引導(dǎo)學(xué)生反思：學(xué)習(xí)本課之前，你發(fā)現(xiàn)了奇數(shù)與平方數(shù)之間奇妙的關(guān)系了嗎？學(xué)習(xí)時(shí)你是用什么方法發(fā)現(xiàn)的？回顧上述的學(xué)習(xí)過(guò)程：先把平方數(shù)轉(zhuǎn)化圖形，再把圖形轉(zhuǎn)化為奇數(shù)的和。通過(guò)教師適時(shí)地概括：在數(shù)學(xué)上，把這種方法叫做“數(shù)形結(jié)合”，學(xué)生就能夠在頭腦中牢固地建立“數(shù)形結(jié)合”的印象。

學(xué)習(xí)活動(dòng)的本質(zhì)是“自由”，學(xué)習(xí)的發(fā)展是有層次的，即自己學(xué)、自覺(jué)學(xué)、自主學(xué)。學(xué)生的自主學(xué)習(xí)從某個(gè)角度上來(lái)說(shuō)是一個(gè)“美麗的謊言”，因?yàn)閲?yán)格意義上的自主學(xué)習(xí)是成人的事。Holec認(rèn)為，自主學(xué)習(xí)是“能夠就學(xué)習(xí)過(guò)程中所遇到的各種問(wèn)題進(jìn)行決策的能力，包括確定學(xué)習(xí)目標(biāo)、內(nèi)容和進(jìn)度，選擇學(xué)習(xí)方法和技巧，監(jiān)控嚴(yán)格意義上的語(yǔ)言習(xí)得過(guò)程（包括學(xué)習(xí)的節(jié)奏、時(shí)間、地點(diǎn)等），評(píng)估已掌握的知識(shí)”。因此，教育意義上的自主學(xué)習(xí)是可能存在的。課堂上，首先必須扎實(shí)做好“自己學(xué)”和“自覺(jué)學(xué)”。在上述的教學(xué)活動(dòng)中，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)行了很大程度上的“自己學(xué)”，接下來(lái)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“自覺(jué)學(xué)”，可以如下教學(xué)設(shè)計(jì)。

首先，要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，學(xué)生可能說(shuō)：“用‘單子’排列了“四角數(shù)”，還能排列‘三角數(shù)“五角數(shù)“六角數(shù)’嗎？”教師鼓勵(lì)學(xué)生用“單子”排列一個(gè)三角形、五角形、六角形，再把邊進(jìn)行擴(kuò)大，用算式表示圖形。（如圖3）如果學(xué)生沒(méi)有這種質(zhì)疑能力，也可用師生互動(dòng)的方式進(jìn)行教學(xué)。

說(shuō)明：這些算式只是例子，以寫(xiě)5個(gè)加數(shù)為宜，可不要求進(jìn)行求和計(jì)算。

此外，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)是否存在“七角數(shù)”“八角數(shù)”進(jìn)行猜想;也可以把這些“三角數(shù)”“四角數(shù)”“五角數(shù)”“六角數(shù)”寫(xiě)成數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“百數(shù)表”寫(xiě)出別的數(shù)列;總之，可以把有限的學(xué)習(xí)引向無(wú)限的探索。

綜上所述，自主學(xué)習(xí)是通過(guò)“自己學(xué)、自覺(jué)學(xué)、自主學(xué)”有層次地發(fā)展起來(lái)的，在本課中學(xué)生先“自己學(xué)”“四角數(shù)”，動(dòng)手玩，用“單子”排列平方數(shù)把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，“解剖”圖形把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，歸納出平方數(shù)與奇數(shù)的關(guān)系，感悟圖形在轉(zhuǎn)化過(guò)程所起的作用：形成元認(rèn)知—數(shù)形結(jié)合。接著，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法自覺(jué)學(xué)“三角數(shù)”“五角數(shù)”“六角數(shù)”形成了“形數(shù)”的知識(shí)體系。

進(jìn)一步來(lái)講，趣味數(shù)學(xué)是別樣的數(shù)學(xué)，它集知識(shí)性與趣味性為一體，用權(quán)威的數(shù)學(xué)理念與獨(dú)特的思維方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)。趣味數(shù)學(xué)課是讓學(xué)生感受別樣的數(shù)學(xué)，重在引導(dǎo)學(xué)生自我探索、自主表達(dá)、激發(fā)興趣、持續(xù)創(chuàng)新等，目的是真正培養(yǎng)學(xué)生的多元思維和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生走近數(shù)學(xué)、愛(ài)上數(shù)學(xué)，在趣味中學(xué)習(xí)，在快樂(lè)中進(jìn)步。