吳 勇，鄭 偉，牛文龍，楊 震

(1. 中國科學院 國家空間科學中心, 北京100190;2.中國科學院大學 計算機與控制學院，北京100049)

檢測一個波形和出現時間未知的微弱瞬態(tài)信號一直是信號處理領域的一個難題。瞬態(tài)信號既可以是確定信號也可以是隨機信號，持續(xù)時間很短并且淹沒在背景和噪聲之中[1]。文獻[2]基于運動目標通過高幀頻圖像序列中一個像元時是一個瞬態(tài)事件這個理論，提出一種應用于大視場的高軌衛(wèi)星微弱高速運動目標監(jiān)視方法。該方法的基本假設是在檢測單元里背景穩(wěn)定不變，但是在實際應用中背景信號是變化的，這樣該方法的檢測性能會急劇降低，所以筆者專注于解決在背景連續(xù)變化情況下的微弱運動目標檢測。

已有的微弱瞬態(tài)信號檢測方法包括小波變換[3]、盲源分離[4]、時頻分析[5]等?？偟膩碚f，瞬態(tài)信號檢測方法可以分為兩大類。第1種是通過抑制或者估計噪聲的方式來獲取有用信號，如盲源分離和局部均值分解(Local Mean Decomposition, LMD)[6]。在實際應用中，由于目標信號完全淹沒在噪聲中，在去除噪聲的同時會不可避免地削弱有用信號，如在經驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)中，由于實際信號中大量噪聲成分的存在、信號的時間尺度存在跳躍性變化、邊界效應以及其他的因素，造成了經驗模態(tài)分解分量中存在模態(tài)混疊的現象[7]。在基于小波變換的去噪算法中，是通過將絕對值小于閾值的小波系數置零來去除噪聲的，但是在去除噪聲的同時也會不可避免地去除有用信號，不合適的閾值甚至會帶來有用信號的完全丟失[8]。為了克服這些方法的缺點，有人提出了很多新的改進方法，主要是利用目標信號或者是噪聲的先驗特性來指導算法去除噪聲，如在沖擊信號檢測中，利用峭度來度量信號的沖擊特性來去目標信號進行檢測[9]，利用高斯噪聲的統(tǒng)計特性來進行檢測,如信號的高階統(tǒng)計量和高階譜分析等[10-12]。

第2種瞬態(tài)信號檢測方法是利用噪聲而不是去除噪聲來進行檢測的，如基于隨機共振(Stochastic Resonance, SR)[13]和混沌理論的檢測方法[14]等。隨機共振是利用一個非線性系統(tǒng)，將通過系統(tǒng)的部分噪聲能量轉化為目標信號的能量，增強有用信號的輸出[15]?；陔S機共振的方法對周期信號的檢測效果十分明顯[16-17]，近些年其在非周期信號的檢測上也有著越來越多的應用[18-19]；而基于混沌理論的檢測方法的基本思想是：混沌系統(tǒng)對初值條件的極度敏感性, 當將被檢測信號注入混沌系統(tǒng)后, 就可導致此混沌系統(tǒng)的動力學行為發(fā)生很大變化[20]，其在周期信號檢測上效果十分明顯[21-22]。

上述這些方法都是專注解決在背景不變的情況下微弱信號檢測，但是在實際應用中背景信號往往是變化的。針對這個問題，筆者提出一種基于核函數的對背景魯棒的微弱瞬態(tài)信號檢測方法，通過派生特定核函數，利用派生得到的核函數多次求相鄰兩個信號片段在高維空間的相識度的方式，實現在連續(xù)變化背景中檢測微弱瞬態(tài)信號。用于解決在文獻[23]提出的利用高幀頻圖像序列檢測微弱運動目標的方法中，由于光照變化和平臺抖動等因素，會帶來背景變化的問題。

1 核函數基礎理論

核函數作為為一種解決非線性問題的技巧在機器學習和模式識別中有著十分廣泛的應用[24][25]，核函數定義：

設χ為輸入空間(歐氏空間Rn的子集或者離散集合)，H為特征空間，如果存在一個函數使得對所x,z∈χ，滿足

k(x,z)=〈φ(x),φ(z)〉 ，

(1)

其中，φ:x∈χ→φ(x)∈H，為映射函數；〈φ(x),φ(z)〉為φ(x)和φ(z)的內積，則稱k(x,z)為核函數。

核技巧的基本思想是不通過顯示定義映射函數φ將輸入空間定義到高維特征空間，而是通過核函數在輸入空間計算兩個特征向量在高維特征空間的內積的方法將問題從輸入空間映射到高維特征空間之中，這樣做帶來的好處是：

(1) 將尋找十分困難的映射函數問題轉換為尋找相對容易的核函數問題；

(2) 通過核函數將低維空間中線性不可分問題轉換為高維特征空間線性可分問題，降低解決問題難度；

(3) 在原輸入空間中計算高維特征空間中特征向量的相似度，使在高維空間甚至無數維空間解決線性不可分問題成為可能。

在實際應用中往往映射函數φ(x)是很難得到，因此通過映射函數來判斷一個函數是否為核函數十分困難，判斷一個函數是否為核函數采用的是Mercer條件[26]，即

(2)

圖1 線性合成核基本原理

常用的核函數有高斯核函數、拉普拉斯核函數和多項式核函數等，不同的核函數產生的映射，在實際應用中可以利用已有的核函數使用運算規(guī)則派生出新的核函數。即，滿足Mercer準則的核函數同時具有以下運算規(guī)則：如果k1,k2是核函數，則k1+k2也是核函數；k1×k2也是核函數。使用一種多核線性組合的派生方法，基本思想是對每個基本核矩陣前加上系數，然后求和得到合成核，基本原理如圖 1所示。加權線性組合可以表示為

(3)

其中,ki(x,z)*為核函數的歸一化形式，表示形式為

(4)

2 基于核函數的微弱瞬態(tài)信號檢測

2.1 檢測模型

基于高幀頻圖像序列的運動點目標檢測方法是根據運動目標經過某個像元會對該像元灰度基于的時序統(tǒng)計分布帶來微弱擾動，而檢測過程本質是檢測一個微弱的短暫瞬態(tài)信號。設高幀頻成像系統(tǒng)的采樣頻率為1/τ，采樣N幀數據所需要的時間為T=Nτ，將此定義為一個基本處理單元。時間T內獲取圖像序列f{kτ}，其中0≤k≤N-1。目標的檢測可以看作一個對像元在H0和H1之間的選擇假設問題：

(5)

其中，x和y表示像元所在位置，Ix,y(kτ)表示點目標信號，nx,y(kτ)為噪聲分布，bx,y(kτ)為背景信號。當在只考慮一個像素中的檢測問題時，模型可以簡化為

(6)

其中，x(t)為帶噪聲的背景信號，h(t)為目標信號，因此基于單個像元的時序信號檢測暗弱運動目標是一個典型瞬態(tài)信號檢測問題。由于目標速度很快而且目標的像元占比很低，因此目標信號是一個信噪比很低、持續(xù)時間很短、出現時間未知的微弱沖擊信號。

2.2 基于核函數的微弱信號檢測

基于核函數的微弱瞬態(tài)信號基本思想是：將兩個具有一定延遲而且長度相同的時間序列x,y(即兩個維度相同的向量)通過非線性映射φ(x)，從低維空間H映射到高維特征空間，甚至是無窮維空間F中，以兩個時間序列在高維空間之中的內積作為信號片段x,y的相似度，則利用核函數fF(x,y)得到相似性度量函數，也可稱為向量x,y關于核函數fF的距離為

fF(x,y)=〈φ(x),φ(y)〉 。

(9)

核函數的本質是計算兩個特征向量在高維空間的相似性。以一個窗口在信號上滑動利用計算窗口內兩個信號片段的相似度，當有目標信號時窗口內兩個信號片段之間的相似度會發(fā)生改變，而這種改變在信噪比很低時在原始空間中是不明顯的，無法通過線性方法將其區(qū)分，通過核函數計算其在高維空間之中的相似度，將一個線性不可分的問題轉換為線性可分的問題。

不同的核函數對應的映射效果是不同的，因此選取合適的核函數是十分關鍵的。而在實際問題中核函數選取很多時候都是靠經驗，沒有完善的理論支撐。為了降低尋找核函數的難度，根據對高幀頻圖像序列的微弱運動目標檢測問題中的噪聲和目標信號特性分析，在構造核函數時提出以下條件進行約束：

(1)為了避免目標信號在特征空間之中和噪聲、背景信號之間不可區(qū)分，這里對映射函數需要進行約束。在目標信號、背景信號和噪聲都未知的情況下，如果能保證輸入空間χ與特征空間H之間是一一映射，也就是

?x,y∈RN,x≠y?φ(x)≠φ(y) ，

(8)

則目標信號和背景信號、噪聲在特征空間之中的映射就會不同。由于核函數對應的映射函數是很難獲取的，這里可以直接對核函數進行約束，即核函數需滿足

(9)

(2)為了使該方法對于背景變化魯棒，由于背景變化的特征向量在高維特征空間之間的相似度應該是接近的，核函數應該滿足

fF(x,x)≈fF(x+Δ,x+Δ) 。

(10)

其中Δ表示信號的緩慢變化，即應該使核函數滿足

?x∈RN,fF(x,x)=c，

(11)

其中，c為常數。

(3)在檢測過程中目標信號可能出現在任意時刻，所以核函數需要滿足對稱性：

|fF(x,y)|=|fF(y,x)| ，

(12)

其中，x,y中的一個包含目標信號。

2.3 基于核函數的微弱信號檢測器

在短暫的采樣時間內，可以假設噪聲是一個寬平穩(wěn)的隨機過程，背景信號是不變或者是連續(xù)變化，在選擇合適的核函數后，結合式(6)，就會有

fF(x1(t)+h(t),x2(t))≠fF(x1(t),x2(t)) ，

(13)

則得到目標判斷準則為

(14)

(15)

是利用三角核函數和拉普拉斯核函數根據核函數派生規(guī)則派生出來的。由于三角核函數和拉普拉斯核函數都滿足Mercer準則，則派生出來的核函數也滿足Mercer準則。 基于核函數的微弱瞬態(tài)信號檢測基本步驟如下：

(1)信號歸一化。

這里采用的歸一化方式為

(16)

其中，[ymin,ymax] 是歸一化之后時間序列的取值范圍，xmax和xmin分別為原時間序列的最大值和最小值。

(2)計算信號的方差。

(17)

其中，mi為信號均值，N為信號長度。

(3)特征空間相似度計算。

(18)

其中，l為信號分段長度，τ是兩個信號片度之間的延遲,i表示第i個滑動窗口。

(4) 終止判斷。

(5) 信號檢測。

3 實驗及結果分析

為了驗證算法的有效性，分別將該方法應用于仿真數據和真實數據。真實的圖像序列是使用SP-5000M-USB相機以2 000幀每秒的速度采集的。在實驗中，相機是放在一座大約50 m高的大樓的樓頂，俯拍地面，實驗場景如圖 2(a)所示，真實的實驗室數據是在拍攝過程中拋出一個圖 2(b) 中所示的一個小球來模擬運動目標。在仿真實驗中，是通過在沒有目標的背景圖像序列中根據運動目標成像模型加入仿真的運動目標。

圖2 實驗圖

圖3 目標信號波形

3.1 仿真實驗分析

根據成像系統(tǒng)的點擴散函數，目標經過單個像元時在時序上的信號如圖 3所示，可以由以下公式產生：

(19)

其中,A為與相機以及實驗場景相關的變量，σs是點擴散函數的參數，T1和T2分別是目標進入和離開該像元的時間，f是相機的采樣頻率，Ns為目標信號采樣數, 這里其定義為

(20)

在文中，目標信號的信噪比定義為

(21)

(22)

3.1.1 不同實驗場景

為了驗證算法的性能，將該方法應用于不同實驗場景：①不同的信噪比；②不同的目標信號采樣數。在基于高幀頻圖像序列的微弱運動目標檢測中，不同的信噪比對應于不同的背景，根據公式不同的目標信號采樣個數在幀頻固定時，對應不同的目標運動速度，在運動速度固定時則是對應不同的采樣幀頻。

圖 4(a) 是基于核函數的檢測方法在目標信號采樣數為40，而信噪比分別為-5 dB，-3 dB，-1 dB和0 dB時的受試者工作特性(Receiver Operating Characteristic，ROC)曲線，在信號處理中表示檢測率(正確檢測的比例)和虛警率(錯誤判別的比例)的關系，ROC曲線越靠近圖像的左上角，檢測效果越好。從圖中可以看出，算法的檢測性能隨著目標信號的信噪比提高而增強。圖 4(b) 是基于核函數的微弱瞬態(tài)信號檢測方法在目標信號信噪比為0 dB，采樣數為20，30,40和50時的ROC曲線。從圖中可知，隨著目標信號采樣數的增加，算法的檢測性能越來越好，這意味著在目標速度很大時，可以通過提高相機的采樣頻率來提高檢測性能，這也是可以使用高幀頻圖像序列檢測高速運動目標的原因。

圖4 不同場景下實驗結果

圖5 對比實驗的實驗結果

為了驗證算法的性能，在信噪比為0dB，目標信號采樣數為40的情況下，將筆者提出方法的結果和其他常用瞬態(tài)信號檢測方法如小波變換[27]、基于高階統(tǒng)計量[2]、隨機共振[28]的結果進行對比，不同方法的ROC曲線如圖 5所示。從圖中可知，筆者提出方法的ROC曲線在其他方法的左上方，這意味著筆者提出的方法相比傳統(tǒng)的微弱瞬態(tài)信號檢測方法有更好的檢測性能，這是由于基于核函數的檢測方法可以在非線性映射函數和高維特征空間都未知的情況下，利用核函數可以在高維特征空間之中構造檢測算法，使得算法構造變得更加簡單有效。核函數在圖5中也將使用核函數和使用其他核函數，如對高斯核函數的結果進行對比，從圖中可以看出，文中派生出的核函數的檢測方法的檢測性能比基于高斯核函數的檢測方法的檢測性能好很多，這是由于高斯核函數并不滿足文中提出的可應用于高微弱瞬態(tài)信號檢測的要求，因此對核函數的約束可以有效幫助尋找有效的核函數。

3.1.2 背景變化魯棒性分析

為了驗證筆者提出方法對于連續(xù)變化背景的魯棒性，通過在穩(wěn)定的背景數據中加入一個連續(xù)變化的背景，即bx,y(kτ)是一個隨時間連續(xù)變化的函數，這里采用的函數為

bx,y(kτ)=(kτ)n,n=1,2,... 。

(23)

圖6(b)是在圖 6(a)中加入當n=4時的背景信號，即單個像元的灰度隨采樣序列的變化，圖 6(c)和圖 6(d) 則分別為迭代一次和迭代兩次的檢測結果，即相鄰的兩個信號片段在核函數空間的距離(這里簡稱核距離)隨采樣序列的變化關系。從圖中可以看出，本方法可以有效濾掉背景變化，而保留目標信號，而且隨著迭代次數增加，保留的背景成分會越來越少。

圖 7(a) 是目標信號在采樣數40，信噪比為0 dB，n=1,2,3,4 情況下的ROC曲線，從圖中可以看出4條ROC曲線是基本完全重合的，這意味筆者提出的方法對于連續(xù)的背景變換是魯棒，能夠有效濾掉背景變化對檢測帶來的干擾。圖7(b)是上文對比實驗中提到的小波，高階統(tǒng)計量，隨機共振等方法在n=2時的ROC曲線。從圖中可以看出，傳統(tǒng)方法的檢測性能都有了大幅度的降低，基于高階統(tǒng)計量的檢測方法甚至已經完全失效，而筆者提出的方法的檢測性能基本沒有改變。

3.2 真實數據實驗分析

表1 不同方法檢測結果對比

為了驗證算法對于實際微弱運動目標檢測的性能，將該方法應用于一段有運動目標經過的圖像序列中，該方法的檢測結果如圖8(e)所示，從圖中可以看出，文中的方法在控制虛警率很低的情況下可以檢測出一條連續(xù)的軌跡。使用基于高階統(tǒng)計量[2]和小波變換[27]的檢測結果分別如圖8(a)和圖8(b) 所示，從圖中可以看出這兩種方法得到的軌跡十分不連續(xù)，而且虛警率也比較高。圖8(c)和圖8(d) 則分別為基于單幀的Top-Hat[29]和基于多幀的背景建模[30]的檢測結果。從圖中可以看出，傳統(tǒng)的運動目標檢測方法是無法檢測出連續(xù)的目標運動軌跡。表 1 是不同方法在圖 2(a)黑框表示的感興趣區(qū)域的檢測結果的探測率和虛警率。從表中可知，基于空域的點目標檢測算法只有18.35%的探測率，算法完全失效；基于時域的處理方法小波變換、高階統(tǒng)計量和背景建模相比基于空域的處理方法有了很大的提高，探測率分別達到49.54%、69.72%和43.12%。筆者提出的方法相比檢測效果最好的基于高階統(tǒng)計量的檢測方法在探測率有了10%多的提高，而且虛警率降到0.2%。

圖6 背景變化時的檢測結果

圖7 背景變化情況下的ROC曲線

圖8 對比實驗結果

4 結束語

針對基于高幀頻圖像序列的微弱運動目標檢測問題中在背景變化時檢測方法的檢測性能急劇降低的問題，筆者提出一種基于核函數的對連續(xù)背景變化魯棒的微弱瞬態(tài)信號檢測方法。其具有以下優(yōu)勢：

(1)在背景不變情況下,相比小波、隨機共振、高階統(tǒng)計量等傳統(tǒng)微弱瞬態(tài)信號檢測方法有更好的檢測效果。

(2)在背景連續(xù)變化情況下，傳統(tǒng)的微弱瞬態(tài)信號檢測方法的檢測性能都會急劇降低，而文中方法的檢測性能基本不變。

(3)將其應用于基于高幀頻圖像序列的微弱運動目標檢測中，在虛警率為0.2%時探測率達到79.82%，性能有了很大的提高。