甘肅

動(dòng)態(tài)平衡是高中物理力學(xué)部分的一種重要習(xí)題類型，也是高考的重要考點(diǎn)。動(dòng)態(tài)平衡的習(xí)題教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)正確的受力分析，做出力的矢量三角形，靈活運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系、幾何圓的性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)，由矢量三角形的動(dòng)態(tài)變化分析物體所受力的變化情況。通過(guò)對(duì)實(shí)際情景的分析、概括，將實(shí)際情景轉(zhuǎn)化為物理問(wèn)題，突出主要因素、忽略次要因素，建構(gòu)物理模型；運(yùn)用對(duì)比、分析、概括等思維方式，經(jīng)歷科學(xué)推理、科學(xué)論證等思維過(guò)程，逐步提高科學(xué)思維能力。

根據(jù)物體受力的變化特征，動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題可以分為三種類型，解決問(wèn)題的最典型方法是圖解法。為了使學(xué)生更好地掌握?qǐng)D解法的具體操作要領(lǐng)，體驗(yàn)清晰的思維過(guò)程和發(fā)展思維能力，筆者將圖解法延伸為更加具體的“旋轉(zhuǎn)法”，并且將三種類型動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的解題方法分別稱為“單邊定向旋轉(zhuǎn)法”“單邊定長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)法”和“雙邊定角旋轉(zhuǎn)法”。現(xiàn)將旋轉(zhuǎn)法的具體思路及拓展應(yīng)用例析如下。

一、旋轉(zhuǎn)法的具體思路

1.單邊定向旋轉(zhuǎn)法

動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中，若物體受到的三個(gè)力滿足“一個(gè)力大小、方向均不變，另一個(gè)力方向不變、大小變化，第三個(gè)力大小、方向都變化”的變化特征，通過(guò)力的合成(或力的分解)構(gòu)成力的矢量三角形，按三個(gè)力的具體特征將三角形的三個(gè)邊分別標(biāo)號(hào)1、2、3?！?”號(hào)對(duì)應(yīng)大小、方向均不變的力，“2”號(hào)對(duì)應(yīng)方向不變、大小變化的力，“3”號(hào)對(duì)應(yīng)大小、方向都變化的力。在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，矢量三角形要滿足1、2號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)力的要求，必須繞1號(hào)、3號(hào)兩邊的交點(diǎn)按照題意所給的方向旋轉(zhuǎn)3號(hào)邊，2、3號(hào)的交點(diǎn)位置變化，矢量三角形變化，可以依據(jù)2、3號(hào)邊的邊長(zhǎng)變化判斷對(duì)應(yīng)力的大小變化，依據(jù)1、3號(hào)邊之間的夾角變化判斷3號(hào)邊對(duì)應(yīng)力的方向變化。這種情景下，旋轉(zhuǎn)的只有3號(hào)邊，2號(hào)邊的方向一定，所以這種旋轉(zhuǎn)法簡(jiǎn)稱為“單邊定向旋轉(zhuǎn)”。

圖1

【例1】如圖1，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)墻面對(duì)球的壓力大小為FN1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镕N2。以木板與墻連接點(diǎn)所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計(jì)摩擦，在此過(guò)程中

( )

A.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大

B.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小

C.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小

D.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大

圖2

【解析】對(duì)小球進(jìn)行受力分析，由力的合成構(gòu)成矢量三角形ABC，如圖2所示。其中AB邊表示小球受的重力G、BC邊表示墻面對(duì)球的壓力FN1、AC邊表示木板對(duì)球的支持力FN2。由題意可知，重力G大小、方向均不變、壓力FN1方向不變、支持力FN2大小、方向都變化。所以，將AB、BC、AC三邊分別標(biāo)號(hào)1、2、3，繞1、3號(hào)邊的交點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3號(hào)邊AC，矢量三角形邊長(zhǎng)2、3逐漸變短，說(shuō)明壓力FN1、支持力FN2都始終減小。

2.單邊定長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)法

動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中，若物體受到的三個(gè)力滿足“一個(gè)力大小、方向均不變，另一個(gè)力大小不變、方向變化，第三個(gè)力大小、方向都變化”的變化特征，則在力的矢量三角形中，大小、方向均不變的力對(duì)應(yīng)1號(hào)邊，大小不變、方向變化的力對(duì)應(yīng)2號(hào)邊，大小、方向都變化的力對(duì)應(yīng)3號(hào)邊。要滿足1、2號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)力的要求，必須以1、2號(hào)邊的交點(diǎn)為圓心，以2號(hào)邊的長(zhǎng)度為半徑按照題意方向旋轉(zhuǎn)做出圓弧，使2號(hào)和3號(hào)邊的交點(diǎn)始終在圓弧上移動(dòng)，矢量三角形隨之變化。根據(jù)矢量三角形的變化判斷2號(hào)邊對(duì)應(yīng)力的方向變化情況和3號(hào)邊對(duì)應(yīng)力的大小、方向變化情況。這種旋轉(zhuǎn)情景中，2號(hào)邊的長(zhǎng)度保持不變，這種旋轉(zhuǎn)法簡(jiǎn)稱為“單邊定長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)”。

圖3

【例2】如圖3所示，兩物體通過(guò)三段輕線懸掛，不計(jì)一切摩擦，兩物體靜止時(shí)OB線水平，AO線與豎直方向的夾角小于45°，現(xiàn)把定滑輪B緩慢豎直向上移動(dòng)，設(shè)線足夠長(zhǎng)，此過(guò)程中

( )

A.結(jié)點(diǎn)O的位置不動(dòng)

B.結(jié)點(diǎn)O的位置先升高后降低

C.結(jié)點(diǎn)O的位置先降低后升高

圖4

D.結(jié)點(diǎn)O的位置一直升高

【解析】將三段輕線的結(jié)點(diǎn)作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，構(gòu)建矢量三角形DEF，如圖4所示。將矢量三角形的邊DE、EF、DF分別標(biāo)號(hào)1、2、3，以1、2號(hào)邊的交點(diǎn)E為圓心，以2號(hào)邊EF的長(zhǎng)度為半徑逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)做出圓弧，使F點(diǎn) 在圓弧上的位置變化，矢量三角形隨之變化。動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中由幾何關(guān)系看出DE和DF邊的夾角先增大后減小，表示OA段輕線的拉力方向與豎直方向的夾角先增大后減小，即結(jié)點(diǎn)O的位置先升高后降低。同時(shí)，還可以判斷OA段輕線的拉力大小逐漸減小。

3.雙邊定角旋轉(zhuǎn)法

動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中，若物體受到的三個(gè)力滿足“一個(gè)力大小、方向均不變，另兩個(gè)力間的夾角保持不變”的變化特征，則可以在力的矢量三角形中，將大小、方向均不變的力對(duì)應(yīng)的邊標(biāo)號(hào)為1，另兩個(gè)邊分別標(biāo)號(hào)2、3。根據(jù)幾何圓中“弦長(zhǎng)一定時(shí)，弦對(duì)應(yīng)的圓周角一定”這一性質(zhì)，可以將1號(hào)邊作為定弦做出輔助圓(矢量三角形的外接圓)。根據(jù)題意同時(shí)旋轉(zhuǎn)2、3號(hào)邊，矢量三角形隨之變化，依據(jù)2、3號(hào)邊長(zhǎng)度變化判斷對(duì)應(yīng)兩個(gè)力的大小變化。這種旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)稱為“雙邊定角旋轉(zhuǎn)”。

( )

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

圖5

圖6

【解析】對(duì)重物受力分析，做出矢量三角形GHI，如圖6所示。將重力對(duì)應(yīng)邊標(biāo)號(hào)為1，另兩邊分別標(biāo)號(hào)2和3。由于OM與MN間的夾角α不變，所以矢量三角形GHI中GI與HI間的夾角為π-α，且保持不變。以GH邊為弦，π-α角為對(duì)應(yīng)的圓周角做出輔助圓，在小球被拉起的過(guò)程中，矢量三角形隨之變化，可以看出2號(hào)邊HI的長(zhǎng)度一直增大，3號(hào)邊GI的邊長(zhǎng)先增大后減小。所以，MN上的張力逐漸增大，OM上的張力先增大后減小。

二、旋轉(zhuǎn)法的拓展應(yīng)用

當(dāng)物體受到四個(gè)力的作用處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)，可以將某兩個(gè)力等效為一個(gè)力，構(gòu)成矢量三角形。根據(jù)矢量三角形中三個(gè)力的變化特征確定動(dòng)態(tài)平衡的類型，巧妙應(yīng)用旋轉(zhuǎn)法準(zhǔn)確、直觀地分析物體所受力的變化情況。

圖7

【例3】如圖7所示，一質(zhì)量為m的鐵環(huán)套在粗糙的水平橫桿上，通過(guò)細(xì)線連接一質(zhì)量也為m的小球，小球還用一水平細(xì)線拉著。保持環(huán)和小球的位置不變，橫桿的位置逐漸按圖示方向轉(zhuǎn)到豎直位置，在這個(gè)過(guò)程中環(huán)與桿相對(duì)靜止，則

( )

A.連接環(huán)和小球的細(xì)線拉力增大

B.桿對(duì)環(huán)的作用力逐漸增大

C.桿對(duì)環(huán)的彈力的最小值為2mg

D.桿對(duì)環(huán)的摩擦力的最大值為2mg

甲

乙

圖9