卓芬波

摘 要：“分?jǐn)?shù)與除法”一課旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系，理解分?jǐn)?shù)的“商”的定義，從而進(jìn)一步掌握分?jǐn)?shù)的意義。但學(xué)生還是難以理解從“一個(gè)整體”平均分這一分?jǐn)?shù)概念。筆者以“分?jǐn)?shù)與除法”磨課一疑談起，從前測(cè)入手改進(jìn)教學(xué)到再次教學(xué)，探究借助留痕策略進(jìn)行有效教學(xué)的方法，讓學(xué)生更好地明白分?jǐn)?shù)所表示的意義。

關(guān)鍵詞：留痕策略;數(shù)學(xué)課堂;教學(xué)思考

一、教材分析

“分?jǐn)?shù)與除法”一課是“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中的第二課時(shí)內(nèi)容，通過(guò)教學(xué)，讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)來(lái)源：計(jì)算時(shí)往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，常用分?jǐn)?shù)表示。認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與除法的統(tǒng)一點(diǎn)：對(duì)一個(gè)整體進(jìn)行的平均分。把“分?jǐn)?shù)與除法”這一課安排在“分?jǐn)?shù)的意義”這一節(jié)課的后面，是通過(guò)安排分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系這三個(gè)層次的教學(xué)，使學(xué)生更完整地建立起分?jǐn)?shù)的概念。

教材通過(guò)兩個(gè)實(shí)例，由計(jì)算■和■概括出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。重點(diǎn)從加深和擴(kuò)展對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，發(fā)展到還可表示兩個(gè)數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商，揭示分?jǐn)?shù)另一方面的意義。這樣就讓學(xué)生很好地理清了分?jǐn)?shù)的兩種身份：既可表示分率（關(guān)系），也可以表示具體的數(shù)量。表示分率時(shí)可以通過(guò)運(yùn)算得到，也可以通過(guò)平均分得到，表示量時(shí)可以通過(guò)度量得到，也可以通過(guò)計(jì)算得到，使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)形成一個(gè)更清晰而完整的認(rèn)識(shí)。

二、第一次試教及教學(xué)反思

基于這樣的教材分析，筆者對(duì)“分?jǐn)?shù)與除法”一課進(jìn)行了第一次嘗試教學(xué)。

（一）教學(xué)片段展示

片段一：探究“把3個(gè)餅平均分給4人，每人分得多少個(gè)？”

學(xué)生列出算式，說(shuō)出答案是■個(gè)。

教師追問(wèn)：你是怎么想的？（學(xué)生說(shuō)不清）

師：四人小組利用桌面上的學(xué)具合作來(lái)折一折、剪一剪、分一分，親自動(dòng)手操作驗(yàn)證。

出示溫馨提示：

1. 想一想：你們打算怎么分？

2. 分一分：看看每人分得多少個(gè)？

3. 說(shuō)一說(shuō)：小組內(nèi)交流你們的想法。

（學(xué)生匯報(bào)，集體探究。）

生1：一個(gè)一個(gè)分，把1個(gè)餅平均分成4份，3個(gè)餅平均分成12份，每人可分得3份，就是■。

生2：不對(duì)，一個(gè)一個(gè)分，把1個(gè)餅平均分成4份，每人得到■個(gè)，3個(gè)餅就有3個(gè)■，是■個(gè)。

生3：把3個(gè)餅疊在一起分，平均分成4份，共分成12份，每人分得3份就是■。

看似熱鬧有效的操作，學(xué)生卻得出一個(gè)錯(cuò)誤的“■”，而且一再說(shuō)“共分成了12份”。筆者思考，這是因?yàn)閷W(xué)生在剪開(kāi)后，不管是一個(gè)一個(gè)剪還是三個(gè)一起剪，他們都是直觀地看到了把3個(gè)餅平均分成了12份這個(gè)結(jié)果，很難看著自己剪開(kāi)的結(jié)果并說(shuō)出自己思考的過(guò)程。剪開(kāi)后，學(xué)生更容易看到的是操作后的結(jié)果：把3個(gè)餅平均分成了12塊。所以學(xué)生在操作中分不清到底是把1個(gè)餅看作單位1，還是把3個(gè)餅看作單位1，進(jìn)入了課堂操作的誤區(qū)，顧此失彼，這樣的探究實(shí)際上是低效的，阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展。

片段二：課件演示分餅過(guò)程，進(jìn)行學(xué)法的指導(dǎo)。

師：剛才幾個(gè)小組為我們展示了兩種不同的分法，我們一起來(lái)看看。第一種方法：一個(gè)一個(gè)分，把每個(gè)餅平均分成4份，每1份就是1個(gè)餅的■，每人可分得3個(gè)■個(gè)餅，就是■個(gè);第2種方法：把3個(gè)餅疊在一起，平均分成4份，每人分得其中的1份，每份占這三個(gè)餅的■，就是■個(gè)。

面對(duì)學(xué)生的困惑，教師及時(shí)組織了課件進(jìn)行演示，盡管課件動(dòng)態(tài)演示一個(gè)個(gè)推進(jìn)，但是還是有一部分的學(xué)生還是處在懵懂狀態(tài)，難以理解。而且動(dòng)態(tài)畫(huà)面一晃而過(guò)，學(xué)生難留下印象。所以在跟進(jìn)練習(xí)，描述把3個(gè)餅平均分給5個(gè)人，每人分得多少個(gè)時(shí)，學(xué)生總是很難把兩種分法表述清楚，教學(xué)效果欠佳。

（二）教學(xué)反思

課后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)評(píng)估：把5米長(zhǎng)的繩子平均分成7段，每段是這條繩子的■，每段長(zhǎng)是■米。發(fā)現(xiàn)有64.2%的學(xué)生填成“每段是這條繩子的■”。學(xué)生量率難以區(qū)分，出錯(cuò)率較高，只能用除法模仿求出5÷7=■，并不明白這■米其實(shí)就是把5米看做單位1平均分成7份，表示的是5米的■。

那么，能不能讓學(xué)生不剪，直接讓學(xué)生畫(huà)出來(lái)？還是剪、畫(huà)一起上更合理？學(xué)生到底認(rèn)知起點(diǎn)在哪里？于是，對(duì)另一個(gè)班學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)分析。

把3個(gè)餅平均分給4個(gè)人，每人分得多少個(gè)？請(qǐng)把你的想法詳細(xì)地寫(xiě)下來(lái)，你可以畫(huà)圖，可以列式，也可以文字描述。

反饋如下：

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這道題學(xué)生基本都能畫(huà)圖表征，部分學(xué)生還是能用“平均分”的方法，感悟到每人可以分到這樣的3個(gè)小份。但是要把這三個(gè)小份再次合并成一個(gè)圓的■，也就是說(shuō)要得出■個(gè)這個(gè)結(jié)果，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)還是有點(diǎn)困難的。

五年級(jí)的學(xué)生正處于具象思維過(guò)渡到抽象思維的階段。對(duì)于處在這階段的學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)采用多種學(xué)習(xí)方式幫助他們進(jìn)行思考，應(yīng)當(dāng)順應(yīng)兒童的視角，采用多元的表征方式，以圖形、文字、符號(hào)等多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言為橋梁。而留痕則讓他們有足夠時(shí)間和空間去觀察、推理和驗(yàn)證。通過(guò)留痕，學(xué)生不僅能看到“原來(lái)的‘1，現(xiàn)在的每份”，整個(gè)分的過(guò)程也能被清晰呈現(xiàn)，而且還能看到同伴是怎么想的，又是怎么做的，進(jìn)而使數(shù)學(xué)思考過(guò)程清晰可見(jiàn)、條理分明，從而提高課堂探究的成效。

三、第二次試教及其教學(xué)策略

筆者改進(jìn)了教學(xué)策略，進(jìn)行了第二次試教。

（一）同桌合作，剪、畫(huà)同步表征

1. 探究步驟

（1）想一想：你們打算怎么分？

（2）通過(guò)分一分、畫(huà)一畫(huà)等方式，研究每人分得多少個(gè)？

（3）與其他小組交流你們的想法。

2. 反饋交流

為學(xué)生準(zhǔn)備了剪的圓片和畫(huà)的探究單兩種材料，可以任選其中的一種進(jìn)行操作，給學(xué)生廣闊的空間，更利于學(xué)生的自主探究，從全班收集的探究單來(lái)看，有將近一半的學(xué)生選擇了畫(huà)一畫(huà)來(lái)探究，有一小部分學(xué)生是既剪又畫(huà)，只有15個(gè)學(xué)生選擇剪一剪來(lái)分。學(xué)生選擇畫(huà)出分餅的過(guò)程，讓圖形作為橋梁，架起學(xué)生具象思維和抽象思維之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生把自己的想法有條理地表述出來(lái)，通過(guò)多個(gè)學(xué)生對(duì)■的質(zhì)疑分析，讓學(xué)生對(duì)分得的結(jié)果——3份就是3個(gè)■個(gè)合起來(lái)就是■個(gè)有了一個(gè)清晰正確的認(rèn)識(shí)，發(fā)展了學(xué)生的思維。同時(shí)，在相互的辨析交流中，學(xué)生形成了一個(gè)正確的認(rèn)知：一個(gè)一個(gè)分，或是3個(gè)一起分，都是把這些餅平均分成4份，每份都是這些餅的■，3份就是■。

（二）手動(dòng)演示，留痕深刻思維

在學(xué)生展示分餅過(guò)程后，教師適時(shí)小結(jié)。

變課件演示為手動(dòng)演示分餅過(guò)程，引領(lǐng)深化，形成正確認(rèn)知。在學(xué)生分餅或畫(huà)餅過(guò)程展示完后，還有部分學(xué)生處于懵懂的狀態(tài)，似懂非懂，這時(shí)急需教師進(jìn)行知識(shí)引領(lǐng)。而教師的手動(dòng)演示更能帶動(dòng)學(xué)生更多的視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)感官的參與，特別是在第二種分法中，3個(gè)餅的■也就是■個(gè)，這里有一個(gè)分率與具體量之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，讓學(xué)生看得更清晰，喚醒學(xué)生的再現(xiàn)性思維，并且板貼在黑板上，讓學(xué)生印象深刻。這樣的留痕，成了學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)的推進(jìn)器，幫助學(xué)生更好地理清思維的過(guò)程，更容易理解數(shù)學(xué)新知識(shí)，提升思維的深刻性。

（三）文字記錄，充分落實(shí)意義

1. 文字記錄（與教師演示同步進(jìn)行）。

2. 聯(lián)想：如果把3個(gè)餅平均分給5人，每人分得多少個(gè)？

把兩種分餅的過(guò)程用文字記錄呈現(xiàn)，有利于學(xué)生知識(shí)的再構(gòu)建。在教師演示完后，用簡(jiǎn)短的文字記錄兩種分餅的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確簡(jiǎn)煉的語(yǔ)言來(lái)回顧重現(xiàn)，充分落實(shí)了分?jǐn)?shù)的兩種意義。同時(shí)也給學(xué)生一個(gè)支架，在學(xué)生講述“如果把3個(gè)餅平均分給5人，每人分得多少個(gè)？”時(shí)，都能借文字來(lái)表述，效果明顯。既加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，又有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

本節(jié)課經(jīng)歷了直觀操作→畫(huà)圖表征→演示深化→文字內(nèi)化這些過(guò)程，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的兩種意義有了深刻的感悟。從意義展開(kāi)，讓學(xué)生明白3個(gè)餅的■是3個(gè)■個(gè)是■個(gè)，它們的本質(zhì)是一樣的，然后用意義結(jié)束，讓學(xué)生感受“把一個(gè)具體量平均分成若干份，表示這樣一份的量也是分?jǐn)?shù)”。沿著這條主線，得到了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，并用符號(hào)表征，建立數(shù)學(xué)模型，水到渠成。同時(shí)也把這節(jié)課的教學(xué)研究拓展到6÷6=■，7÷6=■以及（ ）÷6=■，為學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)等知識(shí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

由此可見(jiàn)，留痕策略能讓教師更好地了解學(xué)生、讀懂學(xué)生，基于學(xué)情，讓教學(xué)設(shè)計(jì)的方向更準(zhǔn)確，讓學(xué)生的探究活動(dòng)更有效，讓課堂教學(xué)更厚實(shí)豐滿，進(jìn)而提升學(xué)生思維的深刻性。