胡貝貝

【摘要】“幾分之一”是人教版數(shù)學(xué)三上的教學(xué)內(nèi)容，是認(rèn)識分?jǐn)?shù)的起始課。源于某些原因，筆者對這節(jié)課進(jìn)行了研究：先通過人教版新舊教材的比較，在變與不變中挖掘知識的內(nèi)在本質(zhì);再對所教班級的學(xué)生進(jìn)行知識點前測及個別訪談，了解學(xué)生的認(rèn)知起點;最后進(jìn)行教學(xué)設(shè)計及教學(xué)實施。經(jīng)過對“幾分之一”這一課的研究，筆者還總結(jié)了概念教學(xué)需要關(guān)注的幾個點。

【關(guān)鍵詞】新老教材;概念教學(xué);比較;前測;實踐;反思

“幾分之一”是人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三上“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的起始課，是學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)的認(rèn)識”這一知識點的又一個新領(lǐng)域。筆者之所以對它進(jìn)行研究，是因為在五六年級的教學(xué)中，經(jīng)常會碰到這樣的題：把3米平均分成5份，每一份是（? ?）米。學(xué)生喜歡填0.6米，而不是米，問其原因，

總認(rèn)為整數(shù)和小數(shù)可以表示數(shù)量，而不喜歡用分?jǐn)?shù)來表示數(shù)量，更多的是覺得分?jǐn)?shù)是用來表示“率”而非“量”。

一、教材比較：在變與不變中把握知識本質(zhì)

首先，筆者對人教版義務(wù)教育教科書和義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書中的教材進(jìn)行了比較，通過新舊教材教學(xué)內(nèi)容的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)有變化之處，也有不變的內(nèi)容。

1.變化

（1）教學(xué)內(nèi)容的提前。例1中加了“分?jǐn)?shù)各部分名稱”的教學(xué)，實驗教科書中這個內(nèi)容是在認(rèn)識了“幾分之一”和“幾分之幾”后才教學(xué)的。新教材中直接在教學(xué)“幾分之一”后出現(xiàn)這個內(nèi)容，說明更加突出了分?jǐn)?shù)意義中整體與部分的關(guān)系，提早出現(xiàn)這個內(nèi)容，對于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義是有所幫助的。

（2）圖形表征的多樣化。老教材借用實物模型來理解分?jǐn)?shù)，新教材增加了圖形表征：用面積模型（長方形、正方形、圓）來認(rèn)識分?jǐn)?shù);用數(shù)線模型（線段圖）來豐富認(rèn)識。這樣就突出了分?jǐn)?shù)概念最重要的兩個特征，既有數(shù)的特征表示一個數(shù)量，又有形的特征表示整體部分的關(guān)系，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

（3）概念出示過程更具體。老教材通過兩名學(xué)生平均分月餅的情境引出分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，并通過類比推理認(rèn)識，在實

物模型認(rèn)識和后，概括“像 、 這樣的數(shù)都是分?jǐn)?shù)”。

而新教材則更具體，先通過實物模型認(rèn)識和后，再在實物模型的基礎(chǔ)上借助面積模型（圓和正方形）認(rèn)識和，

最后出示“像、、、這樣的數(shù)，都是分?jǐn)?shù)”。和

老教材相比，新教材中認(rèn)識分?jǐn)?shù)的過程不僅更具體，而且出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)更豐富。

2.不變

（1）教學(xué)順序不變?！皫追种弧边@個教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的順序沒變。本單元內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識的開始，是數(shù)概念的一次擴展，新舊教材都安排在三年級上冊，在學(xué)生二年級下冊學(xué)習(xí)了“平均分”和“表內(nèi)除法”的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，并為五年級的“分?jǐn)?shù)的意義”奠定基礎(chǔ)。

（2）教學(xué)情境不變。新老教材單元主題圖都是野餐的情境，目的是通過生活經(jīng)驗來喚醒學(xué)生“平均分”這個已有的認(rèn)知。緊接著就是例1的情景圖，都是分月餅——“這塊月餅我們一人一半”。當(dāng)平均分的結(jié)果“半個月餅”無法用已有的整數(shù)來表示時，學(xué)生會產(chǎn)生認(rèn)知沖突，那怎么辦呢？分?jǐn)?shù)就應(yīng)運而生了。

（3）數(shù)學(xué)思想方法不變?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中強調(diào)了基本數(shù)學(xué)思想：抽象、推理、模型。認(rèn)識分?jǐn)?shù)，本身就是一個抽象的過程，從實物表征、圖形表征、動手折涂表征中抽象出幾分之一這種分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。通過認(rèn)識 、、、

這幾個分?jǐn)?shù)，歸納推理出這樣的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。最后再通過

各種數(shù)形結(jié)合建立起分?jǐn)?shù)這個模型。

通過對新老教材變與不變的認(rèn)識，筆者發(fā)現(xiàn)新教材在更新中更突出了認(rèn)識分?jǐn)?shù)的具體抽象過程，認(rèn)識的分?jǐn)?shù)多了，表征的方式也多了。此外，從我們小學(xué)階段分?jǐn)?shù)相關(guān)知識點來看，三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”中強調(diào)的是份數(shù)的定義，到五年級“分?jǐn)?shù)的意義”中“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”學(xué)習(xí)的是商定義，六年級“比”則是分?jǐn)?shù)的比定義。但是無論從哪一種定義來看，都沒有強調(diào)分?jǐn)?shù)是一個數(shù)，和整數(shù)、小數(shù)一樣是可以表示數(shù)量的。所以不難發(fā)現(xiàn)把“2米平均分成5份，每一份是（? ?）米”中學(xué)生喜歡填0.4米，而不是 米。因此筆者認(rèn)為在“幾分之幾”

的教學(xué)中除了理解份數(shù)定義，還得突出分?jǐn)?shù)是一個數(shù)這個本質(zhì)屬性。其實這個本質(zhì)屬性在教材中就已經(jīng)存在——半個月餅可以用什么數(shù)來表示，只是教學(xué)中總是被忽略。

二、教學(xué)前測：在知與不知中確定教學(xué)起點

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以學(xué)定教，那么就需要教師關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點。所以筆者先采用了前測法來了解學(xué)生的認(rèn)知狀況，為教學(xué)確定起點。

從前測的情況來分析，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)了解得不多，沒幾人可以表示出二分之一。這個結(jié)果與筆者之前的預(yù)估有很大的出入。這一課的公開課教學(xué)中，經(jīng)?？吹綄W(xué)生的學(xué)習(xí)起點是比較高的。于是，筆者結(jié)合前面的教材對比，確定了這樣的教學(xué)目標(biāo)。

1.結(jié)合具體情境引入分?jǐn)?shù)，借助直觀和操作使學(xué)生初步認(rèn)識幾分之一，會讀、會寫幾分之一，能用分?jǐn)?shù)表示“一份占整體的幾分之一”。

2.通過畫一畫、折一折等多種活動，體會幾分之一的具體含義，不僅可以表示量，還可以表示一份占整體的幾分之一。

3.在自主探究的過程中發(fā)展數(shù)感，提高抽象能力和歸納推理能力，體會數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

三、教學(xué)實踐：在操作與思考中感悟核心含義

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，圍繞著“讓學(xué)生在具體的情境與動手操作中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”的理念，筆者進(jìn)行了這樣的教學(xué)設(shè)計。

片段一：從情境出發(fā)，在“量”的過程中認(rèn)識

1.出示秋游情境，分食物，引出平均分。

師：4個月餅分給兩個小朋友，怎么分？兩個月餅分給兩個小朋友呢？都是怎么分的？為什么？

生：都是平均分的，因為要分得同樣多才公平。

2.結(jié)合前測從“半個”到“個”

師：1個月餅平均分給兩個小朋友呢？這個問題在前測中有許多同學(xué)填的是“半個”。那半個到底是多少個，能用以前學(xué)過的數(shù)表示嗎？我們班有幾個聰明的小朋友，說是可以這樣表示（板書 個）。我們來聽聽他是怎么想的。

學(xué)生根據(jù)自己的理解初步描述個。

3.量的表示中初顯模型

師：半個月餅可以用個表示，半個蛋糕呢？還能舉例說明嗎？

學(xué)生描述個蛋糕、瓶水、張紙、塊黑板等

師：這個是誰的？

生：這個是紙的 。

師：既然都是不同物體的一半，為什么都能用表示？

【設(shè)計意圖】根據(jù)已有生活經(jīng)驗，平均分的結(jié)果大部分都是用整數(shù)表示的，當(dāng)出現(xiàn)無法用整數(shù)表示的時候，就產(chǎn)生了一個新的認(rèn)知沖突，就激發(fā)了學(xué)生的求知欲和探究欲。筆者利用前測的結(jié)果，直接告知大多數(shù)同學(xué)的想法是一樣的，用“半個”表示，再告訴他們聰明的小朋友的想法，和古代的勞動人民一樣厲害，創(chuàng)造了一個新的數(shù) “”。接下來先對“個月餅”

進(jìn)行理解，再遷移到個蛋糕、瓶水、張紙、塊黑板

等，讓學(xué)生明白除了能夠用整數(shù)來表示數(shù)量，還有像“”這

樣的分?jǐn)?shù)也可以表示數(shù)量的多少。那么，筆者認(rèn)為分?jǐn)?shù)留給學(xué)生的第一印象，就是和整數(shù)一樣，是可以表示數(shù)量的，只不過

長得有點特殊。最后，通過幾個不同物體的含義的解釋，讓

學(xué)生抓住內(nèi)在共同點，初步建立起“”這個模型。

片段二：在動手操作中深化“”的認(rèn)識

1.動手操作表示“ ”

小組合作，從信封里選取一個圖形，表示 （信封里有大

小形狀各不相同的長方形、圓形、正方形和正三角形）。

學(xué)生活動：折一折，畫一畫。

2.展示不同的“”：說說你是怎么表示的？

3.抓住“”的本質(zhì)，深入理解

師：都是正方形，折法不一樣，為什么能用表示？

師：這里形狀不一樣，為什么都能用表示？

師：（指著長方形和圓）長方形和圓這兩個涂色部分大小

不一樣，為什么也都能用表示？

【設(shè)計意圖】這個環(huán)節(jié)中，筆者給每個四人小組都提供了大小不同的長方形、正方形、圓形和三角形，讓學(xué)生折一折、畫一畫，動手操作來表示不同的 。然后通過三個層次的問

題來突出的具體含義，它們都表示把一個圖形平均分成兩

份，每份是。上一個環(huán)節(jié)我們采用的是實物的形式來初步認(rèn)

識，這個環(huán)節(jié)抽象為圖形，讓學(xué)生通過動手、動口、動腦等

多種表征形式來體會的具體含義。如果說第一個環(huán)節(jié)突出分

數(shù)“數(shù)的特征”，那么這里就是突出“形的特征”，在不同的“形”中揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)——平均分、部分與整體的關(guān)系。

片段三：在知識同化中建立分?jǐn)?shù)模型

1.表示其他分?jǐn)?shù)

師：從信封中每人取一個圖形，通過折一折、畫一畫表示你喜歡的幾分之一。

2.同化遷移理解含義

師：說一說你所表示的幾分之一的含義。

3.歸納分?jǐn)?shù)的含義

師：剛才我們表示的幾分之一都有什么共同點？

師：像 、、、這樣的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。

4.介紹寫法促建模

師：你覺得這些分?jǐn)?shù)（指著 、、、）的寫法和它的含義有什么關(guān)系？

師：中間的橫線叫分?jǐn)?shù)線，表示平均分，分?jǐn)?shù)線下面的叫分母，表示平均分成幾份，分?jǐn)?shù)線上面的叫分子，表示取了1份。

【設(shè)計意圖】知識的同化遷移是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)方法，通常就是我們說的“舉一反三”“觸類旁通”。在幾分之一的學(xué)習(xí)過程中，筆者充分運用了這種學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)，構(gòu)建知識，再通過歸納共同點，建構(gòu)出新的概念。分?jǐn)?shù)各部分名稱在這里出現(xiàn)，又促成了分?jǐn)?shù)這個模型的建立，這對后面學(xué)習(xí)幾分之幾又做了鋪墊。

四、教學(xué)反思：從一節(jié)課到一類課的思考

通過對“幾分之一”這節(jié)課的研究與教學(xué)，筆者認(rèn)為上好類似的概念課，應(yīng)該把握以下幾點。

1.把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

作為一個年輕老師，經(jīng)常犯的毛病就是“就課論課”。就是要上某一節(jié)課，只對這節(jié)課教材的“今生”進(jìn)行研究，不會對知識進(jìn)行一個“前世今生后世”的聯(lián)系，也不會對教材進(jìn)行橫向或縱向的比較，被眼前的教材框住。上好一堂好課，不能局限于教材表面，而是要多維度的比較和溝通，了解上位知識，深入挖掘知識的本質(zhì)屬性，這樣才能夠在教學(xué)中游刃有余。

2.立足現(xiàn)實學(xué)情

以學(xué)為主，突出學(xué)生的主體地位，不能紙上談兵。起點過高或過低，都是不可以的。因此必須要了解學(xué)生的已有生活經(jīng)驗和已有知識儲備，才能教給他們所需要的。俗話說“傳道授業(yè)解惑”，如果教師不知何為“惑”，一廂情愿地按自己的想法來給學(xué)生做預(yù)設(shè)，那么學(xué)生必定很難有所“獲”。教師可以通過前測、訪談、課前談話等多種方式來了解學(xué)生的認(rèn)知起點。

3.源于問題設(shè)置

數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。這節(jié)課從秋游情境分食物先引出平均分，再引出 “半個”，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，因為在學(xué)生已有的認(rèn)知里，表示數(shù)量都是用數(shù)字的，“半個”已經(jīng)無法用學(xué)過的整數(shù)來表示了，怎么辦？只有創(chuàng)造出新的數(shù)來表示。讓學(xué)生體會分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于生活實際，再逐步抽象出分?jǐn)?shù)。巧妙的問題設(shè)置不僅能夠喚醒學(xué)生的已有認(rèn)識和已有生活經(jīng)驗而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解。

4.運用多元表征

這一課中，學(xué)生認(rèn)識幾分之一是從認(rèn)識開始的，先通過

實物初步認(rèn)識 ，理解它的含義，體會它能表示量，再通過

動手、動口、動腦等多種表征形式來體會的具體含義，接著

通過同化遷移認(rèn)識其他的幾分之一，最后歸納總結(jié)深入理解幾分之一表示的具體含義。從直觀實物到圖形，再到符號，從說一說到折一折、畫一畫，學(xué)生通過多元表征，一步一步地形成分?jǐn)?shù)的正確表象，最終達(dá)到概念本質(zhì)的理解。數(shù)學(xué)概念很多都是抽象的，而學(xué)生卻以形象思維為主，多元表征可以讓抽象的數(shù)學(xué)形象化、具體化，進(jìn)而讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念。

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