張維茂

[摘 ?要] 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，以其為基礎(chǔ)命制的綜合題也是歷年中考的壓軸題，該類考題的破解需要充分把握問題特征，利用關(guān)聯(lián)知識(shí)和相應(yīng)的策略對(duì)問題簡(jiǎn)化突破. 文章以一道函數(shù)與幾何綜合題為例，開展思路突破和解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);幾何;面積;模型;變式

真題呈現(xiàn)

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，點(diǎn)B為半圓上的一點(diǎn)，連接AB并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得BC=AB，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O，E，A三點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）∠OBA的度數(shù);

（2）試求拋物線的函數(shù)解析式;

（3）如果點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P，O，A，E為頂點(diǎn)構(gòu)建四邊形POAE，記該四邊形的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且僅有三個(gè)？

思路突破

本題目屬于二次函數(shù)綜合題，題干給出了圖像構(gòu)建的過程，以及相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和線段長(zhǎng)的條件. 其中涉及了直線、半圓和拋物線三類曲線，三小問分別求角的度數(shù)、拋物線的解析式以及研究四邊形面積，其中涉及函數(shù)和幾何等知識(shí)，需要利用坐標(biāo)與方程的關(guān)系和幾何與拋物線的關(guān)系來(lái)突破. 下面對(duì)考題開展思路突破.

第一步，巧用定理，直接定角

第一問求∠OBA的度數(shù)，而點(diǎn)B位于以O(shè)A為直徑的半圓上，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角定理可直接確定∠OBA=90°.

第二步，構(gòu)輔助線，三點(diǎn)定線

第二問求經(jīng)過O，E，A三點(diǎn)的拋物線解析式，一般將拋物線的解析式設(shè)為y=ax2+bx+c，其中含有三個(gè)參數(shù). 從點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建求解方程組角度思考，需要利用三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此本題可以轉(zhuǎn)化為求O，E，A三點(diǎn)的坐標(biāo). 需要注意的是點(diǎn)O和點(diǎn)A分別位于x軸上，且位于對(duì)應(yīng)的直線上，因此可以結(jié)合直線的解析式來(lái)求解，具體如下：

連接OC，因∠OBA=90°，則OB⊥AC，又知BC=AB，則OB為線段AC的垂直平分線，所以O(shè)A=OC=10. 分析知△OCD為直角三角形，在該三角形中OC=10，CD=8，利用勾股定理可求得OD=6，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，8）. 點(diǎn)E是直線OB和CD的交點(diǎn)，利用點(diǎn)B和點(diǎn)O的坐標(biāo)可求得直線OB的解析式為y= x，令x=6，可得y=3，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3）. 所以三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），E（6，3），A（10，0），求過三點(diǎn)的拋物線解析式，有兩種方式，一種是將其設(shè)為通式：y=ax2+bx+c，然后將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，可得c=0，3=36a+6b+c，0=100a+10b+c，化簡(jiǎn)后可求得a=- ，b= ，c=0，可確定拋物線的解析式;另一種是利用拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的特殊性，將其解析式設(shè)為y=ax（x-10），只需將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入其中即可，可求得a=- ，化簡(jiǎn)后同樣可確定拋物線的解析式，上述兩種方法求得的拋物線的解析式均為y= - x2+ x.

第三步，模型構(gòu)造，面積轉(zhuǎn)化

第三問利用圖像中的四點(diǎn)構(gòu)建了相應(yīng)的四邊形，分析面積為何值時(shí)P點(diǎn)有三個(gè)，因此需要對(duì)其點(diǎn)P的位置加以討論，并結(jié)合點(diǎn)P的位置來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的四邊形面積模型，通過分析幾何面積來(lái)確定答案，由于四邊形的形狀不規(guī)則，可采用面積割補(bǔ)的方式，具體如下.

由于點(diǎn)P在拋物線上且位于第一象限，因此可將其坐標(biāo)設(shè)為p，- p2+ p，由于圖像中點(diǎn)O，A，E三點(diǎn)的坐標(biāo)固定，其中點(diǎn)E位于直線CD上，因此可將點(diǎn)P的位置分為位于CD左側(cè)和右側(cè)兩種情形來(lái)加以討論：

①當(dāng)點(diǎn)P位于直線CD的左側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)OP，交CD于點(diǎn)Q，如圖3所示，OP的解析式為y=- p+ x，可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為6，- p+ . 對(duì)于四邊形POAE，可以視為是由△OAE和△OPE組成，而△OPE的面積可進(jìn)一步拆解為S△OQE-S△PQE，所以四邊形POAE的面積可最終表示為S？荀POAE=S△OAE+S△OQE-S△PQE. 結(jié)合三角形的面積公式和關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為S？荀POAE= ·OA·DE+ ·QE·Dx- ·QE·（Dx-Px）=- p2+ p+15.

②而當(dāng)點(diǎn)P位于直線CD的右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)AP交CD于點(diǎn)Q，如圖4所示，設(shè)AP所在直線的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)P和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入其中，可解得AP所在直線的解析式為y=- px+ p，可確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為6， . 對(duì)于四邊形POAE，同上述面積割補(bǔ)法，可將其面積表示為：S？荀POAE=S△OAE+S△AQE-S△PQE. 結(jié)合三角形的面積公式和關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為S？荀POAE= ·OA·DE+ ·QE·DA- ·QE·（Px-Dx）=- （p-8）2+16.

當(dāng)點(diǎn)P的位置位于CD的右側(cè)時(shí)，四邊形POAE的最大面積為16，此時(shí)點(diǎn)P的位置只有一個(gè)，令- p2+ p+15=16，可解得p=3± ，即在CD的左側(cè)，面積為16時(shí)點(diǎn)P的位置有兩個(gè)，綜合可知面積S為16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有三個(gè).

解后反思

上述是初中數(shù)學(xué)常見的二次函數(shù)綜合題，其特殊之處在于將函數(shù)曲線相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的函數(shù)與幾何知識(shí)，其中核心之問為第（2）和第（3）問，下面對(duì)其解題的關(guān)鍵點(diǎn)和核心方法加以探究，并對(duì)問題適度拓展變式.

1. 問題突破的關(guān)鍵步驟

上述考題的第（2）問求拋物線的解析式，需要獲得點(diǎn)E的坐標(biāo)，而突破的關(guān)鍵一步是連接OC，確定OB為AC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質(zhì)定理獲得等線段長(zhǎng)條件，這是后續(xù)求點(diǎn)E坐標(biāo)的基礎(chǔ)，其突破思路也是利用幾何性質(zhì)求解代數(shù)問題的典型代表. 而第（3）問屬于四邊形面積背景下的點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，其突破的關(guān)鍵有兩步：一是基于點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系對(duì)其加以分類討論，二是采用圖形割補(bǔ)的方法構(gòu)建不規(guī)則圖形的面積模型.

2. 問題的核心突破方法

解拋物線背景下的幾何面積問題，最為有效的方法是首先利用面積割補(bǔ)的方式將其轉(zhuǎn)化為求解規(guī)則三角形的面積，然后利用設(shè)出坐標(biāo)參數(shù)表示關(guān)鍵點(diǎn)和線段長(zhǎng)，利用面積公式構(gòu)建幾何面積與線段長(zhǎng)之間關(guān)系，將幾何面積表示為關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，最后利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解. 其中線段長(zhǎng)是連接幾何面積與點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系紐帶，在學(xué)習(xí)中需要強(qiáng)化點(diǎn)、線、面三者之間的關(guān)系.

3. 問題的變式拓展

第（3）問實(shí)際上是與點(diǎn)位置相關(guān)的幾何面積問題，對(duì)于該問還可以做出如下變式.

變式1：當(dāng)以P，O，A，E為頂點(diǎn)構(gòu)建四邊形POAE的面積為16時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

推薦思路 實(shí)際上該種問法與原題類似，雖未明示滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，但充分討論后可以得出. 解析時(shí)同原問題思路，首先討論點(diǎn)P的位置，然后利用幾何割補(bǔ)的方式構(gòu)建面積模型，求出所有面積為16的點(diǎn)坐標(biāo).

變式2：當(dāng)以P，O，A，E為頂點(diǎn)構(gòu)建四邊形POAE，試求面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

推薦思路 求面積最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，同樣需要對(duì)點(diǎn)P的位置加以討論，構(gòu)建相應(yīng)的面積模型. 基于考題分析，可確定點(diǎn)P位于CD的左側(cè)時(shí)，S=- p2+ p+15=- （p-3）2+ ，點(diǎn)P位于CD的右側(cè)時(shí)，S=- （p-8）2+16，由于 >16，顯然第一種情形四邊形的面積可取到最大.

教學(xué)建議

1. 注重知識(shí)關(guān)聯(lián)，綜合應(yīng)用突破

上述實(shí)際上屬于函數(shù)與幾何的綜合題，在求解解析式和分析點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)均充分利用了相應(yīng)的幾何知識(shí)，因此在教學(xué)時(shí)，除了需要引導(dǎo)學(xué)生掌握函數(shù)與幾何的知識(shí)定理外，還需要對(duì)兩者之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行探究. 例如利用函數(shù)上兩點(diǎn)之間的點(diǎn)坐標(biāo)可以求得線段長(zhǎng)，分析點(diǎn)坐標(biāo)可以確定幾何圖形的特征等. 通過對(duì)關(guān)聯(lián)知識(shí)的整合，不僅可以完善知識(shí)體系，還有利于促進(jìn)解題思路的形成，這對(duì)于函數(shù)與幾何綜合題的突破是十分關(guān)鍵的.

2. 重視解后反思，形成解題策略

構(gòu)建解題思路、形成方法策略是開展考題教學(xué)的意義所在，因此在教學(xué)中需要重視解后反思，引導(dǎo)學(xué)生挖掘問題特征，反思條件之間的關(guān)聯(lián)，貫通問題突破的思路，總結(jié)問題轉(zhuǎn)化變形的策略. 而對(duì)于一些較為典型的問題，則可以開展多解探究，從不同角度對(duì)問題加以分析，嘗試使用不同的方法解決問題. 開展多解探究不僅可以提升學(xué)生的解題能力，還可以強(qiáng)化學(xué)生的解題方法.

3. 深化問題變式，拓展解題思維

變式探究是中學(xué)階段十分重要的教學(xué)方式，通過變式教學(xué)可以使學(xué)生把握問題結(jié)構(gòu)，認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)，還可以拓展學(xué)生的視野，提升學(xué)生的解題思維. 例如上述第三問的變式探究中可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的本質(zhì)是以函數(shù)為背景的幾何面積問題，因此解題時(shí)只需構(gòu)建相應(yīng)的面積模型，利用函數(shù)上的點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)其加以轉(zhuǎn)化即可. 而在教學(xué)中需要教師設(shè)置引導(dǎo)性問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的核心內(nèi)容，然后結(jié)合所學(xué)適度變式，增強(qiáng)學(xué)生的綜合能力.