李慶娟

（大連財經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，遼寧大連116600）

1 預(yù)備知識和定理

拉格朗日中值定理又名有限增量定理或是拉氏定理，是法國著名數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年提出并加以證明的，因此命名為拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心內(nèi)容，它是羅爾定理的直接推廣，而柯西中值定理和泰勒中值定理又是拉格朗日中值定理在形式上及應(yīng)用上的推廣。拉格朗日中值定理是將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來的一座橋梁，是研究函數(shù)的重要理論工具，它在微積分學(xué)中占有十分重要的地位，且有著廣泛應(yīng)用[1-2]。

定理1若函數(shù)f(x)滿足：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。

圖1 拉格朗日中值定理

如圖1，拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB上除端點(diǎn)外處處都有不垂直于x軸的切線，則在弧AB上至少存在一點(diǎn)C(ξ,f(ξ)) ，使得該點(diǎn)處切線平行于割線AB。

注：①定理中若a＞b，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)仍然成立，其中ξ介于a與b之間；

②定理的其它等價形式：

f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a)，其中0＜θ＜1；

f(x+Δx)-f(x)=f′(x+θΔx) Δx，0＜θ＜1；

③從定理可以看出，由y=f(x)在某x處的取值或是性態(tài)，可進(jìn)而判斷x近旁處f(x)的取值和性態(tài)，這好像是一條關(guān)系鏈，對滿足條件的[a,b]上f(x)全局有某種把控作用。

2 拉格朗日中值定理的應(yīng)用

拉格朗日中值定理是微積分教學(xué)中的重要內(nèi)容，掌握好定理以及應(yīng)用，對學(xué)好微積分至關(guān)重要。拉格朗日中值定理不僅可以推導(dǎo)出微積分中的其它重要定理和公式，它還有著其它的重要應(yīng)用，如求解函數(shù)極限問題、證明等式與不等式、討論函數(shù)的性態(tài)、討論方程根以及證明級數(shù)收斂的問題等等[3-4]。

2.1 在求解極限問題方面的應(yīng)用

在微積分中求解函數(shù)極限的方法有很多種，基本方法有直接代入法、有理化法、重要極限法、夾逼定理法，比較典型的是洛必達(dá)法則、等價無窮小替換法，還有泰勒公式法等等，利用拉格朗日中值定理求解函數(shù)極限的方法雖然不常用，但也是一種比較的重要方法。

例2設(shè) f(x)在[0 ,+∞ )上可導(dǎo)，且，試證明：x。

證明利用拉格朗日中值定理和極限定義式，再結(jié)合夾逼定理進(jìn)行處理。

設(shè)x0＞0（足夠大），在區(qū)間[x0,x]上應(yīng)用拉格朗日中值定理得，

對所求極限式子進(jìn)行處理

再由三角不等式可得

當(dāng)x→+∞時，同時x0+θ(x -x0)→+∞，

故不等式右端極限為零，由夾逼定理

2.2 在證明不等式問題中的應(yīng)用

利用拉格朗日中值定理證明不等式也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中證明不等式的一種典型方法，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用拉格朗日中值定理，對式子進(jìn)行放縮或是再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行證明。

例3設(shè)e＜a＜b＜e2，證明

證明構(gòu)造輔助函數(shù)，令 f(x)=ln2x,顯然函數(shù)f(x)滿足在[a ,b]上連續(xù)，在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可得至少存在一點(diǎn)ξ∈(a ,b)，使得

注意：此題也可以直接用單調(diào)性證明，可令

例4設(shè)非負(fù)二階可微函數(shù) f(x)在[0 ，+∞ )內(nèi)滿 足 f″(x)＞0，對 常 熟 a＞0，證明：

證明利用變限法構(gòu)造輔助函數(shù)，令

（利用拉格朗日中值定理進(jìn)行處理）

因 為 f(x)在[0 ,+∞ )內(nèi) 滿 足 f″(x)＞0，所 以，故F(x)在[0 ,+∞ )內(nèi)單調(diào)遞增，進(jìn)而F(a)＞F(0)=0，即得證。

2.3 在證明等式問題中的應(yīng)用

利用拉格朗日中值定理證明等式問題是拉格朗日中值定理內(nèi)容的一個直接應(yīng)用，當(dāng)被證的結(jié)論中含有 f(a),f(b),ξ,f′(ξ)等時，我們往往考慮用拉格朗日中值定理證明。

例5設(shè) f(x)在閉區(qū)間[a ,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ，使得

證明從形式上來看是拉格朗日中值定理的應(yīng)用。

構(gòu)造輔助函數(shù)，令F(x)=xf(x)，函數(shù)在[a ,b]上顯然滿足拉氏定理?xiàng)l件，從而至少存在一點(diǎn)ξ，使得，即ξf′(ξ)得證。

2.4 在討論函數(shù)的性質(zhì)方面的應(yīng)用

微分中值定理為研究函數(shù)的性態(tài)提供了重要的理論工具，拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心內(nèi)容更是如此。

例6證明函數(shù) f(x)在有窮區(qū)間(a ,b)內(nèi)可微分，但無界，則其導(dǎo)函數(shù) f′(x)在區(qū)間(a ,b)也無界。

證明采用反證法和拉格朗日中值定理

假設(shè) f′(x)在區(qū)間(a ,b)有界，即存在M＞0，使得

對于任意a＜c＜x＜b，f(x)在區(qū)間[c ,x]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以

進(jìn)而

故| f(x)|＜M(b -a)+| f(c)|，這顯然與函數(shù) f(x)在有窮區(qū)間(a ,b)內(nèi)無界矛盾，所以假設(shè)不成立，即f′(x)在區(qū)間(a ,b)也無界。

例7設(shè)函數(shù) f(x)在開區(qū)間(- ∞,+∞ )內(nèi)有有界的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù) f(x)在(- ∞,+∞) 內(nèi)一致連續(xù)。

證明對任意x1,x2∈(- ∞,+∞ )，由拉格朗日中值定理可得

其中ξ介于x1與x2之間，由已知條件 f(x)的導(dǎo)函數(shù)有界，故存在M＞0，使得| f′(ξ)|＜M，所以，?ε＞0 取時，有

從而可知函數(shù) f(x)在(- ∞,+∞ )內(nèi)一致連續(xù)。

2.5 在方程根的討論問題中的應(yīng)用

對于方程根討論問題，經(jīng)常利用的方法就是零點(diǎn)存在定理、介值定理、單調(diào)性判定定理等，而拉格朗日中值定理也會在某些方程根的討論時起著重要作用。

例8設(shè)函數(shù) f(x)在[a ,+∞ )內(nèi)連續(xù)，在(a ,+∞)內(nèi) 可 導(dǎo) ， f′(x)＞k＞0，其 中 k為實(shí) 數(shù) ，又 已知f(a)＜0，證明 f(x)=0在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實(shí)數(shù)根。

分析：主要思想是利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，但如何確定右端點(diǎn)的正負(fù)呢？借助于拉格朗日中值定理。

證明首先設(shè)，也就是證 f(x)=0在區(qū)間(a ,b)內(nèi)有且僅有一個實(shí)數(shù)根。由已知條件可知f(x)滿足在[a ,b]上連續(xù)，在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可得至少存在一點(diǎn)ξ∈(a ,b)，使得 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b -a)，進(jìn)而得

又因?yàn)?f(a)＜0，由零點(diǎn)存在定理，f(x)=0在區(qū)間(a ,b)內(nèi)至少有一個實(shí)數(shù)根，再由 f′(x)＞k＞0可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故 f(x)=0在區(qū)間(a ,b)內(nèi)有且僅有一個實(shí)數(shù)根，命題得證。

例9設(shè)函數(shù) f(x)在[a ,+∞ )上有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足f(a)=A ＞ 0,f′(a )＜0，當(dāng) x∈(a ,+∞ )時，f″(x)＜0，證明：f(x)在(a ,+∞ )內(nèi)恰有一個零點(diǎn)。

證明首先討論 f(x)在(a ,+∞ )的單調(diào)性，對于任意 x∈(a ,+∞ )，對 f′(x)在[a ,x]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，可得 f′(x)-f′(a)=f″(ξ)(x -a )，ξ∈(a ,x)由已知條件進(jìn)而可得 f′(x)＜0，所以 f(x)在(a ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減。對 f(x)在[a ,x]上再次應(yīng)用拉格朗日中值定理，可得

即

因?yàn)閒(a)=A ＞ 0,f′(a)＜0，當(dāng)x→+∞，上述不等式右端趨于負(fù)無窮，即 f(x)能取到負(fù)值，不妨設(shè)，則當(dāng)x＞x時，必有 f(x)＜0，所以0對于任意x∈(x0,+∞ )，由零點(diǎn)存在定理，f(x)在[a ,x]至少有一個零點(diǎn)，又因?yàn)?f(x)在(a ,+∞ )內(nèi)單調(diào)遞減，所以 f(x)在(a ,+∞ )內(nèi)恰有一個零點(diǎn)。

2.6 在級數(shù)收斂證明中應(yīng)用

例10已知正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，部分和序列sn=u1+u2+…un，證明：級數(shù)收斂。

證明首先構(gòu)造輔助函數(shù)α＞0，函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，當(dāng) n＞2時，在閉區(qū)間[sn-1,sn]上，函數(shù) f(x)均滿足拉氏定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn)ξn,(sn-1＜ξn＜sn)，使得

而

3 結(jié)語

綜上所述可知拉格朗日中值定理的重要性，它不僅是微分中值定理的重要的組成部分，它的應(yīng)用更是廣泛，介紹了拉格朗日中值定理的六大主要應(yīng)用，事實(shí)上，它還有很多應(yīng)用等待進(jìn)一步去研究。