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對函數(shù)極值定義的探討

2013-11-11 01:59謝日新
關(guān)鍵詞:第一版科學(xué)出版社極值

謝日新

[摘要]舉例說明對極值定義的看法 ,并給出了參考定義。

[關(guān)鍵詞]極大(?。┲担瑯O大(?。┲迭c

在教學(xué)過程中,發(fā)現(xiàn)某些教材中關(guān)于極值的定義,均值得商榷,下面通過舉例說明。

一、普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材,《微積分》中的定義如下:

定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)有定義,并且 ,有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值),x0稱為函數(shù)f(x0)的一個極大值點(或極小值點).

例1 設(shè)

函數(shù)f(x0)在x0=1的某個鄰域內(nèi)有定義,且對鄰域中任何點x恒有f(x)≤f(x0),按定義1,f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,而x0=1為極大值點。這顯然是錯誤的。

二、21世紀(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)精品教材《高等數(shù)學(xué)》中的定義如下:

定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域U(x0)內(nèi)有定義,如果對于去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)f(x0)

那么稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值或極小值。

例2 設(shè)

函數(shù)f(x)在點x0=1的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,對其去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)

例3 設(shè)

函數(shù)f(x)在點x0=1的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,對其去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)

例4 設(shè)

函數(shù)f(x)在點x0=0處連續(xù),對某去心鄰域 內(nèi)的任一 x,有f(x)>f(x0),按定義2,f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,而x0為極小值點。

在以上例子中,例1,例3和例4中的極值點,函數(shù)經(jīng)過極值點時,其單調(diào)性沒改變;例2中,只要令f(1)=0,點x0=1又變?yōu)闃O小值點,此時x0=1是否歸入極小值點,值得探討。

三、鑒于以上定義的不足,現(xiàn)給出如下參考定義:

定義3 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有連續(xù),如果對于去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)f(x0)

那么稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值或極小值。

[參考文獻(xiàn)]

[1]劉穎芳、肖運鴻主編微積分,2011年第一版,科學(xué)出版社。

[2]余勝春、張平芳主編高等數(shù)學(xué),2012年第一版,科學(xué)出版社。

(作者單位:廣州航海學(xué)院 基礎(chǔ)部 廣東廣州)

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