廣東省佛山市順德國華紀(jì)念中學(xué)(528311) 張永久

1.有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義

圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心,統(tǒng)稱為有心圓錐曲線,它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為不失一般性,本文中提到的橢圓和雙曲線均是焦點(diǎn)在x軸上.

在人教版A版教材-選修2-1中有三處用交軌法生成有心圓錐曲線,具體如下：

第41頁例3：如圖2.2-6,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為求點(diǎn)M的軌跡方程.

圖2.2-6

圖2.3-5

第55頁探究：如圖2.3-5,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為試求點(diǎn)M的軌跡方程.

第80頁習(xí)題：10.已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),試探求頂點(diǎn)C的軌跡.

這些知識簡單介紹了有心圓錐曲線的生成方式,本文在此基礎(chǔ)上探討有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義和相關(guān)的性質(zhì),以供大家參考.

說明因?yàn)橛行膱A錐曲線上的點(diǎn)與端點(diǎn)重合時(shí),斜率不存在,所以該定義要特別注意兩個(gè)端點(diǎn).

設(shè)定M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn),由已知得,直線A1M的斜率直線A2M的斜率又因點(diǎn)A1,A2在曲線上,得

當(dāng)e=0即e2-1=-1時(shí),方程 ①化為x2+y2=a2,該曲線表示圓;當(dāng)即a2(e2-1)=c2-a2時(shí),令c2-a2=-b2,方程 ①化為該曲線表示橢圓;令c2-a2=b2,方程 ①化為該曲線表示雙曲線.

推論1已知A,B是有心圓錐曲線C:上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是曲線C上的任意一點(diǎn),若直線PA,PB的斜率都存在,則直線PA,PB的斜率之積為

例1 如圖1,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)AC,并延長交橢圓于點(diǎn)B,求證：PA⊥PB.

圖1

證 明設(shè)P(x0,y0),B(x1,y1),則A(-x0,-y0),C(x0,0),所以由推論1得,所以因?yàn)?kPAkPB=,所以PA⊥PB.

1）進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，新型技術(shù)需要滿足設(shè)計(jì)師對建筑信息的需求，BIM技術(shù)中應(yīng)用到的軟件可以將觀察到的對象信息設(shè)計(jì)成整體的結(jié)構(gòu)狀態(tài)；

2.有心圓錐曲線的性質(zhì)

性質(zhì)1 已知直線l與有心圓錐曲線C:交于A,B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M,若直線AB和OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率都存在,則

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減,得變形,得即

點(diǎn)評用本性質(zhì)替代點(diǎn)差法,可以簡化解題過程.

例2 (2018年高考全國卷III理科)已知斜率為k的直線l與橢圓C:交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m＞0).

(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且證明：成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.(略)

證明(1)由性質(zhì)1得于是又因?yàn)镸在橢圓C內(nèi),得故

推論2已知有心圓錐曲線C:斜率為k1的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),若平行于AB的弦的中點(diǎn)的軌跡為CD,設(shè)CD的斜率為k2,則

性質(zhì)2已知有心圓錐曲線C:及C上一點(diǎn)P(x0,y0),則曲線C在點(diǎn)P處的切線方程是

證明方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得解得當(dāng)y0≠0時(shí),曲線C在點(diǎn)P處的切線方程是當(dāng)y0=0時(shí),曲線C在點(diǎn)P處的切線方程是綜上,曲線C在點(diǎn)P處的切線方程是

例3已知橢圓C:直線l:4x-5y+40=0,求橢圓上一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線l的距離最小.

解設(shè)P(x0,y0),由性質(zhì)2知曲線C在點(diǎn)P處的切線方程是l′:由題意得l′//l,所以又因?yàn)榻獾糜深}意得,所求點(diǎn)

推論3已知直線PQ與有心圓錐曲線C:相切于點(diǎn)P,若直線PQ和OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率都存在,則

點(diǎn)評性質(zhì)2及推論3是高考熱點(diǎn)之極點(diǎn)與極線問題.

推論4 已知有心圓錐曲線C:經(jīng)過點(diǎn)和的切線與C上任一點(diǎn)P的切線相交于點(diǎn)P1和P2,則|P1A1|·|P2A2|=|n|.

證明當(dāng)n＞0時(shí),設(shè)由性質(zhì)2知曲線C在P點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí),所以當(dāng)n＜0時(shí),設(shè)由性質(zhì)2知曲線C在P點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí),yP2=所以-n.綜上,|P1A1|·|P2A2|=|n|.

性質(zhì)3 有心圓錐曲線與直線Ax+By+C=0(C≠0)有公共點(diǎn)的充要條件是n(A2m+B2n-C2)≥0.

證明(必要性)由題意得

當(dāng)A2m+B2n≠0時(shí),?=4m2A2C2-4m(C2-B2n)(A2m+B2n)≥0得

當(dāng)A2m+B2n=0時(shí),n＜0,③式成立.上述證明過程可逆,性質(zhì)3得證.

點(diǎn)評當(dāng)C=0時(shí),充分利用幾何條件,借助數(shù)形結(jié)合的思想可以直觀地判定曲線與直線的位置關(guān)系.

參考人教版A版教材-選修4-4第15頁習(xí)題第6題,可以得到有心圓錐曲線如下性質(zhì)：

性質(zhì)4已知有心圓錐曲線C:O為坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q為曲線上兩動點(diǎn),且OP⊥OQ,則

證明由將曲線C的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,得即()由OA⊥OB可設(shè)A(ρ1,θ),則

例4已知橢圓C:O為坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q為曲線上兩動點(diǎn),且OP⊥OQ,求證：

證明由性質(zhì)4知,得當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|時(shí)等號成立.

斜率、離心率、切線、定值和最值是圓錐曲線中非?；钴S的元素,也是歷年高考的熱點(diǎn).高考中與解析幾何相關(guān)的試題常考常新,新往往只是形式上,本質(zhì)上有些相通的地方.有心圓錐曲線有如此結(jié)構(gòu)類似的結(jié)論,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性,結(jié)構(gòu)關(guān)系的協(xié)調(diào)性、對稱性,蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的奇異美.讓人賞心悅目,動人心弦.