【摘?要】?模型思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成部分.以“翻牌游戲”為例，讓學(xué)生感受建模過程，積累建模經(jīng)驗(yàn)，提升核心素養(yǎng).經(jīng)歷圖式化、符號化的過程，感悟簡約化、抽象思想;從游戲的各種狀態(tài)和操作中發(fā)現(xiàn)關(guān)系和規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)化、模型思想;經(jīng)歷多種建模的方法，體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷氲谋举|(zhì);經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題，加深模型思想的領(lǐng)會.

【關(guān)鍵詞】?模型思想;課堂教學(xué);翻牌游戲

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）年版》倡導(dǎo)的十個核心概念之一，它是學(xué)生體會數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.現(xiàn)行的人教版教材中十分重視模型思想的滲透，在課后練習(xí)題、復(fù)習(xí)題和閱讀材料中安排了大量的應(yīng)用性問題.這些應(yīng)用性問題可分成兩部分，一部分是用自然語言表示的應(yīng)用性問題，求解時(shí)先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，而后利用已學(xué)過模型進(jìn)行求解即可;另一部分是“毛坯形”的應(yīng)用性問題，“毛坯形”的問題貼近現(xiàn)實(shí)生活，它具有現(xiàn)實(shí)生活的粗糙和原始特點(diǎn)，把實(shí)際問題通過抽象、概括、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.前者省略了抽象轉(zhuǎn)化的過程，后者它需要學(xué)生深度加工并抽象成符號轉(zhuǎn)化為一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.相對自然語言表示的應(yīng)用性問題，“毛坯形”問題更突出體現(xiàn)了分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過程、數(shù)學(xué)工具、方法和模型的選擇、分析過程;模型的求解、驗(yàn)證、再分析、修改假設(shè)、再求解的迭代過程，它更完整地表現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系[1].教材中能適合初中生水平又能結(jié)合課本教學(xué)內(nèi)容的“毛坯形”建模問題不多，一線老師開發(fā)這樣的問題也十分困難.因此，對于教材中“毛坯形”問題教師要不失時(shí)機(jī)地對學(xué)生進(jìn)行模型思想的滲透，讓學(xué)生真切地感受建模的抽象過程，積累建模經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).在課堂教學(xué)中如何讓學(xué)生深刻地感受建模的抽象、轉(zhuǎn)化等的內(nèi)容呢？筆者以教材中的閱讀材料“翻牌游戲中的數(shù)學(xué)道理”為課題進(jìn)行了一次嘗試.

1?教學(xué)實(shí)錄

1.1?參與游戲，體驗(yàn)游戲問題的抽象和簡化

師：同學(xué)們，本節(jié)課我們一起分享游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理.

游戲1：桌上有6張正面朝上的撲克牌，每次翻動其中任意4張（包括已翻過的牌），使它們一面向上變?yōu)榱硪幻嫦蛏?，這樣一直做下去，能否使6張牌都反面向上？若能，給出具體操作，若不能請說明理由.

師：老師忘帶了撲克牌，還有辦法進(jìn)行演練嗎？

生1：可以用書本、作業(yè)本替代撲克牌.

生2：用實(shí)物代替比較麻煩，我用“正”字代替撲克牌正面朝上，“反”字代替撲克牌反面朝上.

老師對上述兩個方法都比較肯定，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生哪一種方法更簡便，讓學(xué)生在比較中進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)啟發(fā)，讓學(xué)生找出了其它的替代方法，結(jié)果如下：用“0”“1”分別代替撲克牌正面和反面的，有的用“+1”“-1”替代;還有的說可以省略“1”，用“+”和“-”代替.

接著學(xué)生在眾多的表示中再進(jìn)行優(yōu)化選擇，然后總結(jié)這個抽象化的思維過程，用書本代替到“正”、“反”代替，再到“+”、“-”符號，肯定了用數(shù)學(xué)符號代替，使游戲的操作變得簡便.最后，教師引領(lǐng)學(xué)生反思，撲克牌的正、反面換成紙杯的杯口朝上和朝下來做游戲，這兩個游戲是否一樣.當(dāng)然這兩個本質(zhì)是一樣的，和實(shí)物無關(guān).學(xué)生也從中體驗(yàn)到了問題的抽象和簡化有應(yīng)用的廣泛性之美.

師：對于游戲1有確切的想法了嗎？（老師請一位同學(xué)給出操作，具體操作略）

1.2?構(gòu)建模型，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型思想

師：對于游戲1，你們還有困惑和新的想法嗎？

（學(xué)生有的提出改變撲克牌的總張數(shù)，如6張、9張或其它張數(shù);有的提出每次翻動牌的不同張數(shù)，如每次翻動3張牌）師生共同選擇如下的一個游戲問題.

游戲2：桌上有9張正面朝上的撲克牌，每次翻動其中任意4張（包括已翻過的牌），使它們一面向上變?yōu)榱硪幻嫦蛏?，這樣一直做下去，能否使9張牌都正面向上;若能，給出具體操作，若不能請說明理由.

（學(xué)生在完全理解游戲規(guī)則后，獨(dú)立進(jìn)行操作演練，這期間偶爾有同學(xué)聲稱能使9張牌都正面向下，然后老師讓這些同學(xué)進(jìn)行操作演示，其它的同學(xué)發(fā)現(xiàn)這些同學(xué)操作過程中都存在翻牌張數(shù)錯誤）

師：通過操作，我們能使9張牌都正面向下嗎？

生6：不能做到.

學(xué)生的理由是，9張牌正面朝上是奇數(shù)，而每輪翻4張，不可能通過偶數(shù)次來翻完奇數(shù).

老師提出，在條件中有說明，每次翻動其中任意4張（包括已翻過的牌），在第一輪翻牌之后，若第二輪取3張正面向上，1張反面向上，這兩個都是奇數(shù).

（學(xué)生又陷入沉思，幾分鐘后，生6繼續(xù)補(bǔ)充）

生6：按老師所說，翻得結(jié)果如下：

這樣，依然是3張牌正面向上，還是奇數(shù).

老師表揚(yáng)了這位同學(xué)繼續(xù)鉆研問題的勇氣，把撲克牌正面和反面理解成數(shù)學(xué)中的奇數(shù)和偶數(shù)，這樣翻牌游戲和數(shù)學(xué)中的奇偶性之間就搭建起了橋梁.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，如何有條理、有依據(jù)地進(jìn)行表述.

生7：撲克牌“正面向上”記為“奇數(shù)”，“反面向上”記為“偶數(shù)”.翻動一張牌相當(dāng)于加上1個“奇數(shù)”，翻動4張就相當(dāng)于加上4個奇數(shù)，即加一個偶數(shù)，不改變原來的奇偶性，那么初始狀態(tài)9張撲克牌“正面向上”為奇數(shù).這樣一來，無論你翻動多少次，偶數(shù)不會變成奇數(shù).

師：你為什么把“翻動一張牌”記成“加上1個‘奇數(shù)”.

生7：因?yàn)椤胺瓌右粡埮啤?，都要改變該牌的朝向，（即正面向上變成反面向上，反面向上變成正面向上），只能翻譯成加上一個“奇數(shù)”，若翻譯成加上一個“偶數(shù)”，那么不符合題意了.

師：你是怎樣想到把翻牌游戲變成數(shù)學(xué)中的奇偶性問題？

生7：這個游戲撲克牌只有兩種狀態(tài)，并且這兩種狀態(tài)是互為相反的.我就想到用奇偶數(shù)表示這兩種狀態(tài).

師生共同總結(jié)這個問題的關(guān)鍵，是把翻動一張牌記作“加上1個奇數(shù)”來表示，翻動2次牌記作“加上2個奇數(shù)”來表示，翻動n張牌記作“加上n個奇數(shù)”來表示.

師：生7同學(xué)把游戲中牌的兩種狀態(tài)記為奇數(shù)、偶數(shù)，然后把翻一張牌等價(jià)于加上一個奇數(shù)，這樣游戲中翻牌的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的奇偶性計(jì)算問題，這位同學(xué)善于轉(zhuǎn)化，是一位轉(zhuǎn)化高手.

師：除了轉(zhuǎn)化為奇數(shù)、偶數(shù)外，你還有其它的想法嗎？

師：上述撲克牌的兩種相反狀態(tài)還可以用哪些符號進(jìn)行簡化呢？

有學(xué)生提出用“+”和“-”表示，也可以用“+1”和“-1”表示.

師：你們對此有什么啟發(fā)或解決的辦法嗎？

生8：我是這樣想的，把撲克牌的正、反面分別記為“+”和“-”，翻1張牌相當(dāng)于添上一個“-”，每輪翻4張牌相當(dāng)于添上4個“-”，由于添上4個“-”，結(jié)果還是為“+”，開始狀態(tài)為9個“+”，中間過程每輪翻牌增添的結(jié)果為“+”，而所要求的目標(biāo)為9個“-”，因此不可能達(dá)到這個結(jié)果.

生9：我和生8想法差不多，只不過把撲克牌的正、反面分別記為“+1”和“-1”，翻1張牌記為乘以一個“-1”，初始狀態(tài)P開始=（+1）9=1，設(shè)翻動n輪，每輪翻動4張，用數(shù)學(xué)式子表示：（-1）4nP開始=（-1）4n（+1）9=1，而P結(jié)束=（-1）9=-1，因此無論如何是不能實(shí)現(xiàn)的.

師：上述同學(xué)構(gòu)造了不同的模式予以解釋，那么這些想法的共同點(diǎn)是什么？

生10：都把游戲問題變成數(shù)學(xué)問題.

生11：生8和生9的解法基本相同，都轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法.

生12：把翻一次牌記為加上一個奇數(shù)或乘以一個“-1”，對一次操作看作一種運(yùn)算.

師：同學(xué)們都說得很好，上述精彩的游戲背后其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)問題，把游戲問題變成數(shù)學(xué)問題這一過程就是數(shù)學(xué)建模，我們可以用如下的框圖表示：

1.3?拓展游戲模型，感悟數(shù)學(xué)思想

師：上述撲克牌游戲中，有的可以把正面朝上的全部變成朝下的，而有的不能，為什么？

生13：與牌的張數(shù)有關(guān).

生14：不僅與撲克牌的張數(shù)有關(guān)，而且還與每輪次翻牌的張數(shù)有關(guān).

師：那么你們能把上述的游戲推廣到更一般嗎？

（通過啟發(fā)學(xué)，生認(rèn)識到在游戲中撲克牌的張數(shù)和每次翻牌張數(shù)都是具體的數(shù)，學(xué)生很快意識到問題的一般性需要用字母表示數(shù)，得到如下的推廣）

游戲3：桌上有a張正面向上的撲克牌，每次翻動其中任意b張，使它們一面向上變?yōu)榱硪幻嫦蛏?，這樣一直做下去，能否使a張牌都反面朝上，請說明理由.

師：字母a、b是任意數(shù)嗎？

生眾：是正整數(shù).

生15：撲克牌的張數(shù)a應(yīng)大于每次翻牌b的張數(shù).

師：這位同學(xué)善于聯(lián)系實(shí)際.那么上述游戲3如何求解？

（學(xué)生深入思考，教師回顧游戲2是如何操作，啟發(fā)學(xué)生把游戲問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題關(guān)鍵步驟的一步是什么？學(xué)生回顧了建模的基本框圖后，教師整合了大部分學(xué)生的解答）

生眾：記撲克牌正面朝上為“+1”，反面朝上為“-1”，每次翻動一張牌為乘以“-1”，這樣初始狀態(tài)，可記作P0=（+1）a=1.翻動了n次，每次為b張，翻動n次后的狀態(tài)可記為：Pn=P0[（-1）b]n=（-1）bn，P終結(jié)狀態(tài)=（-1）a，要使Pn=P終結(jié)，（-1）bn=（-1）a，等式成立，現(xiàn)對a、b的奇偶性進(jìn)行討論.當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，b為偶數(shù)時(shí)，在這種條件下，由于初始狀態(tài)為+1，而每次翻動偶數(shù)張牌之積又為+1，不管怎樣翻動都不會得到結(jié)果-1，也就說不能把牌從正面朝上全部變成朝下的;當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，b為奇數(shù)時(shí)，初始狀態(tài)為+1，而每次翻動奇數(shù)張牌之積又為-1，那么適當(dāng)?shù)姆瓶梢允?1變成-1，這樣就可以把牌從正面朝上全部變成朝下的;用同樣的分析當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，b為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，是可以把牌從正面全部變成反面.（師生共同總結(jié)得到下表）

師：對于上述游戲3，你還有什么疑問或問題嗎？

生16：對于游戲1最小次數(shù)是3次，上述推廣到一般情況，如果能進(jìn)行翻牌，有無最小的次數(shù)操作呢？

生17：最小次數(shù)又如何操作呢？

師：上述兩個問題非常好，由于時(shí)間關(guān)系，不能在一節(jié)課進(jìn)行詳細(xì)的展開，希望有興趣的同學(xué)繼續(xù)探索，可以通過網(wǎng)上查找資料和相關(guān)的文獻(xiàn)，也可以參閱老師的拙文《巧用“±1”揭密翻牌游戲》[2].（小結(jié)略）2?如何發(fā)展學(xué)生的模型思想

數(shù)學(xué)建?；顒幽荏w驗(yàn)到數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高書本知識聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.正如姜伯駒院士說的那樣，對于數(shù)學(xué)模型“誰用得好，誰就蠃了”.那么如何在數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)模型思想的滲透，促進(jìn)學(xué)生建模走向深入，逐步領(lǐng)悟模型思想的本質(zhì)呢？結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，筆者覺得可以努力做好以下幾點(diǎn).

2.1?為學(xué)生提供經(jīng)歷圖式化或符號化的過程，感悟簡約化、抽象思想

課的開始，老師介紹游戲后，突然歉意地說：“老師忘帶了撲克牌，我們還能繼續(xù)這個游戲嗎”，此時(shí)，學(xué)生提出各種的想法，有的用書代替撲克牌，有的用文字“正”、“反”代替撲克牌，有的用符號“+”、“-”或“0”、“1”等代替撲克牌”.這樣教師有意識從游戲的背景中，抽取有關(guān)的數(shù)學(xué)因素，讓學(xué)生經(jīng)歷圖式化和符號化的過程.

接著教師繼續(xù)追問，“你喜歡哪一種符號替代？”，“為什么可以用符號替代”.學(xué)生體會到玩翻牌游戲的操作和玩符號操作是等價(jià)的，它們是同樣的問題，不同的表達(dá)形式.同一類問題，表征之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生感悟到符號化、簡約化，為下一步的抽象和建模作好了鋪墊.

2.2?從游戲的各種狀態(tài)和操作中發(fā)現(xiàn)關(guān)系和規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)化、模型思想

從游戲1到游戲2是學(xué)生思維的難點(diǎn)，也是學(xué)生領(lǐng)會建模思想的有利契機(jī).在這個過程中，教師有意識放慢腳步，讓學(xué)生從游戲的各種狀態(tài)和操作的關(guān)系中，尋求數(shù)學(xué)的關(guān)系和規(guī)律，把游戲中的狀態(tài)、操作和數(shù)學(xué)中的關(guān)系、原理實(shí)行對接.有的學(xué)生把撲克牌的正、反面分別記為“+1”和“-1”，翻1張牌相當(dāng)乘以一個“-1”，翻4張牌記為4個“-1”相乘，即（-1）4.游戲的原始狀態(tài)P0=（+1）9=1.設(shè)翻動n輪，每輪翻動4張，用數(shù)學(xué)式子表示：Pn=（-1）4nP0=1，而游戲的終結(jié)狀態(tài)為（-1）9=-1，因此無論如何是不能實(shí)現(xiàn)的;有的學(xué)生用數(shù)學(xué)中的奇數(shù)和偶數(shù)解釋，把游戲中牌的兩種狀態(tài)記為奇數(shù)、偶數(shù)，然后把翻一張牌等價(jià)于加上一個奇數(shù)，這樣游戲中翻牌的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的奇偶性計(jì)算問題.

通過對翻牌游戲規(guī)則解讀，發(fā)現(xiàn)狀態(tài)和操作中的關(guān)系和規(guī)律，尋求數(shù)學(xué)上的符號化和結(jié)構(gòu)化，通過符號表征，用數(shù)學(xué)的語言重新編碼問題，從而把游戲問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)兩者的等價(jià)，這個過程就是數(shù)學(xué)的抽象和建模的過程.“傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育重視應(yīng)用題教學(xué)，但沒有很好的發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力，因?yàn)樗慕：徒鉀Q問題過程不完整”[4]教材中大部分建模問題都是用自然語言書寫成規(guī)范性問題，省略了對建模問題的抽象、概括、假設(shè)和轉(zhuǎn)化這一環(huán)節(jié)，它是數(shù)學(xué)建模中最重要的一環(huán)，通過這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生感受到抽象、概括、假設(shè)和轉(zhuǎn)化的必要性.為此在游戲的教學(xué)中，教師有意識地讓學(xué)生真切的感受到模型的抽象、概括和轉(zhuǎn)化.

2.3?為學(xué)生提供經(jīng)歷多種建模的方法，體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷氲谋举|(zhì)

在數(shù)學(xué)建模過程中，首先把生活中現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象、概括和符號化，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，在這個轉(zhuǎn)化的過程中需要用數(shù)學(xué)語言（包括圖形、符號、公式）把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全形式化和符號化的數(shù)學(xué)問題.由于學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，對現(xiàn)實(shí)問題的詮釋不一樣，翻譯成數(shù)學(xué)問題也不一樣，如游戲2學(xué)生有以下兩種方法.

方法1：若撲克牌“正面向上”記為“奇數(shù)”，“反面向上”記為“偶數(shù)”，翻動一張牌記為加上1個“奇數(shù)”，翻動4張就相當(dāng)于加上4個奇數(shù).初始狀態(tài)9張撲克牌“正面向上”為奇數(shù)，終結(jié)狀態(tài)9張撲克牌“反面向上”為偶數(shù).那么游戲2就轉(zhuǎn)化成如下的數(shù)學(xué)問題：“9個奇數(shù)每次加上4個奇數(shù)后，它能變成9個全是偶數(shù)嗎”.

方法2：把翻牌游戲轉(zhuǎn)化為“+1”和“-1”相乘問題，具體見上述案例.

由于學(xué)生對于數(shù)或數(shù)量的敏銳直覺不同，那么表現(xiàn)出來的數(shù)感、符號意識、模型思想和推理能力等方面也不盡相同，得到的數(shù)學(xué)模型也不同，但不同的模型有利于從多側(cè)面、多角度來思考數(shù)學(xué)對象各元素之間的關(guān)系，通過現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)問題的互譯，能更好地理解模型間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，在比較中加深對不同數(shù)學(xué)模型的優(yōu)缺點(diǎn)的領(lǐng)會，進(jìn)一步感悟模型思想的本質(zhì)，逐步形成建模的抽象過程，積累建模的經(jīng)驗(yàn).所以多種方法解決模型的環(huán)節(jié)對于學(xué)生更好地理解問題與結(jié)果有很好的幫助，這也為學(xué)生更深入地思考問題提供了可能性[3].

2.4?讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題，加深模型思想的領(lǐng)會

愛因斯坦指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.因?yàn)榻鉀Q問題也許僅僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出的新問題、新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需有創(chuàng)造性的想象力.”培養(yǎng)學(xué)生的抽象與提出問題的能力是發(fā)展模型思想的第一步[4]在游戲1教學(xué)之后，教師提出：“對于游戲1，你還有困惑嗎？你還有新的問題嗎？”在教師的啟發(fā)下，學(xué)生有的提出了“6張撲克牌換成9張還行嗎？”，還有的提出了“每次翻動4張為3張”.游戲3是游戲1、2的一般化.在此啟發(fā)下，學(xué)生再次提出猜想：“有無最小次數(shù)，又如何操作呢？”游戲1中最小次數(shù)是3次就可以達(dá)到要求，游戲1的操作最小次數(shù)能否在一般層面再進(jìn)行推廣呢？

留出時(shí)間給學(xué)生思考和反思建模的過程，讓學(xué)生感悟到撲克牌游戲中，有的可以把正面朝上的全部變成朝下的，而有的不能，為什么，讓學(xué)生意識問題的所在，不僅與牌的張數(shù)有關(guān)，而且還與每輪次翻牌的張數(shù)有關(guān).從而讓學(xué)生把游戲從具體的操作推廣到更一般.從建模的過程中培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，發(fā)展學(xué)生的想象力，加深模型思想的領(lǐng)會.

對問題的推廣實(shí)質(zhì)上在深度理解該模型的基礎(chǔ)上提出挑戰(zhàn)性的思考，是進(jìn)一步發(fā)展模型思想的關(guān)鍵.具體的問題推廣到一般化，在課堂上教師要善于對抽象的問題進(jìn)行具體的設(shè)問，有助于模型的一般化拓展.

參考文獻(xiàn)

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[3]楊慧娟等.如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，10：33-35.

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