(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南)

Abstract Firstly,we define the LR-C-good B-quasi-Ehresmann semigroups.Secondly,we study the structures of LR-C-good B-quasi-Ehresmann semigroups.Finally,we get the structure theorem of LR-C-good B-quasi-Ehresmann semigroups.

Key words B-semiabundant semigroups； C-good B-quasi-Ehresmann semigroups； LR-C-good B-quasi-Ehresmann semigroups； LR-regular band

1 引言及預(yù)備知識(shí)

眾所周知，廣義正則半群的研究在半群代數(shù)理論中占有重要的地位,利用各種廣義格林關(guān)系可定義和研究一些廣義正則半群[1-3].本文利用廣義格林關(guān)系來(lái)研究LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

設(shè)S為半群,S中的所有冪等元集合記為E(S).S中的所有二元關(guān)系形成的格,所有等價(jià)關(guān)系形成的格,所有左同余形成的格,所由右同余形成的格和所有同余形成的格分別記為Β(S),ε(S),LC(S),RC(S)和C(S).

設(shè)S為半群,E(S)是S的冪等元集合且B?E(S),在S上的格林關(guān)系為

注1 若S是一個(gè)滿足(C)的B-半富足半群且B是S的子半格,則稱S為Ehresmann半群.

注2 設(shè)S為B-quasi-Ehresmann半群,若B是S的子半格,則稱S為Ehresmann半群.

定義B-quasi-Ehresmann半群S上的等價(jià)關(guān)系γ為

(?a,b∈S)(a,b)∈γ?γa=γb?B(a+)aB(a*)=B(b+)bB(b*).

定義3[3]設(shè)S為B-quasi-Ehresmann半群,若

(?a,b∈S)aB(a*)B(b+)b?γab,

則稱S為good B-quasi-Ehresmann半群；若B是S的中心,則稱S為C-good B-quasi-Ehresmann半群.

定義5[2]設(shè)S為B-豐富半群,若B是S的子半群,?a,b∈S,

aB(a*)B(b+)b?γab；

且

(?e∈B)eS?Se.

其中D(B)={(e,f)∈B×B|(?g∈B)eRgLf},則稱S為左C-good B-quasi-Ehresmann半群.

定義6[4]設(shè)S為B-豐富半群且

其中D(B)={(e,f)∈B×B|(?g∈B)eRgLf},則稱S為純整B-豐富半群.

引理1[5]設(shè)B是一個(gè)帶,則

(i)B是左正則帶??e,f∈B,efe=ef;

(ii)B是右正則帶??e,f∈B,efe=fe;

(iii)B是正則帶??e,f,g∈B,efege=efge.

定義7 設(shè)S為純整B-豐富半群,若B是一個(gè)正則帶,且

(?a,b∈S)aB(a*)B(b+)b?γab,

則稱S為擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

定義8 設(shè)E是一個(gè)帶,若

(?e∈E)[(?f∈E)efe=fe,(?f∈E)efe=ef],

則稱E為L(zhǎng)R-正則帶.

定義9 設(shè)S為純整B-豐富半群,若B是一個(gè)LR-正則帶,且

(?a,b∈S)aB(a*)B(b+)b?γab,

則稱S為L(zhǎng)R-C-good B-quasi-Ehresmann半群.顯然,一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群是一個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

本文中用Τl(X)和Τr(X)分別表示集合X上的左變換半群和右變換半群.

引理3[7]設(shè)T=[Y;Tα]是一個(gè)C-good B-quasi-Ehresmann半群,I=[Y;Iα]是一個(gè)左正則帶且Λ=[Y;Λα]是一個(gè)右正則帶.若映射

滿足下列條件：

(L1) 若(i,x)∈Iα×Tα且j∈Iβ,則(i,x)#j∈Iαβ；

(R1) 若(x,λ)∈Tα×Λα且μ∈Λβ,則μ(x,λ)*∈Λαβ；

(L2) 在(L1)中,若α≤β,則(i,x)#j=i；

(R2) 在(R1)中,若α≤β,則μ(x,λ)*=λ；

(L3) 若(i,x)∈Iα×Tα且(j,y)∈Iβ×Tβ,則(i,x)#(j,y)#=((i,x)#j,xy)#；

(R3) 若(x,λ)∈Tα×Λα且(y,μ)∈Tβ×Λβ則(x,λ)*(y,μ)*=(xy,λ(y,μ)*)*；

則S(B)=∪α∈Y(Iα×Tα×Λα)關(guān)于二元運(yùn)算

(i,x,λ)(j,y,μ)=((i,x)#j,xy,λ(y,μ)*)

構(gòu)成一個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

反之,每個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群都可如此構(gòu)造.

引理4[7]設(shè)T=[Y;Tα]是一個(gè)C-good B-quasi-Ehresmann半群,對(duì)于?α∈Y,Iα和Λα是兩個(gè)非空集合且Iα∩Iβ=?=Λα∩Λβ(α≠β).作直積Pα=Iα×Tα和Qα=Tα×Λα(α∈Y).記S=∪α∈Y(Iα×Tα×Λα)且B=∪α∈Y(Iα×{1Tα}×Λα).對(duì)?α,γ∈Y,γ≤α?xí)r,設(shè)映射

滿足下列條件：

則S(B)=∪α∈Y(Iα×Tα×Λα)關(guān)于二元運(yùn)算

構(gòu)成一個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群,其中B=∪α∈Y(Iα×{1Tα}×Λα).

反之,每個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群都可如此構(gòu)造.

2 LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群

本節(jié)主要研究LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群,得到了LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群的結(jié)構(gòu)定理.

B(S)?(C(B(S1))×B(S2))∪(B(S1)×C(B(S2))).

其中B(S)=∪α∈Y((Iα×{1Tα})×({1Tα}×Λα)),B(S1)=∪α∈Y(Iα×{1Tα}),B(S2)=∪α∈Y({1Tα}×Λα)且C(B(Si))是B(Si)的中心,i=1,2.

下證B(S)?(C(B(S1))×B(S2))∪(B(S1)×C(B(S2))).

設(shè)e=((i,1Tα),(1Tα,λ)),下面分兩種情況證明.

1) 若?f∈B(S),efe=ef,則證(1Tα,λ)∈C(B(S2)).

?(1Tβ,μ)∈B(S2),則?(j,1Tβ)∈B(S1),使得((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈B(S).因此

efe=ef?((i,1Tα),(1Tα,λ))((j,1Tβ),(1Tβ,μ))=((i,1Tα),(1Tα,λ))((j,1Tβ),(1Tβ,μ))

?((i,1Tα)(j,1Tβ)(i,1Tα),(1Tα,λ)(1Tβ,μ)(1Tα,λ))=((i,1Tα)(j,1Tβ),(1Tα,λ)(1Tβ,μ))

?((i,1Tα)(j,1Tβ),(1Tβ,μ)(1Tα,λ))=((i,1Tα)(j,1Tβ),(1Tα,λ)(1Tβ,μ))

?(1Tβ,μ)(1Tα,λ)=(1Tα,λ)(1Tβ,μ),

所以(1Tα,λ)∈C(B(S2)).

2) 若?f∈B(S),efe=fe,則證(i,1Tα)∈C(B(S1)).

?(j,1Tβ)∈B(S1),則?(1Tβ,μ)∈B(S2),使得((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈B(S).因此

efe=fe?((i,1Tα),(1Tα,λ))((j,1Tβ),(1Tβ,μ))=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))((i,1Tα),(1Tα,λ))

?((i,1Tα)(j,1Tβ)(i,1Tα),(1Tα,λ)(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

=((j,1Tβ)(i,1Tα),(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

?((i,1Tα)(j,1Tβ),(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

=((j,1Tβ)(i,1Tα),(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

?(i,1Tα)(j,1Tβ)=(j,1Tβ)(i,1Tα),

所以(i,1Tα)∈C(B(S1)).

于是有B(S)?(C(B(S1))×B(S2))∪(B(S1)×C(B(S2))).

充分性.設(shè)S是一個(gè)滿足假設(shè)條件的群,則將證明S是一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群.由引理2知S是一個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群,則只需證明B(S)是一個(gè)LR-正則帶.?e=((i,1Tα),(1Tα,λ))∈B(S).下面分兩種情況證明.

1) 若e∈(C(B(S1))×B(S2)),即(i,1Tα)∈C(B(S1)),則對(duì)?f=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈B(S),有

efe=((i,1Tα),(1Tα,λ))((j,1Tβ),(1Tβ,μ))((i,1Tα),(1Tα,λ))

=((i,1Tα)(j,1Tβ)(i,1Tα),(1Tα,λ)(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

=((i,1Tα)(j,1Tβ),(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

=((j,1Tβ)(i,1Tα),(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))((i,1Tα),(1Tα,λ))

=fe.

2) 若e∈(B(S1)×C(B(S2))),即(1Tα,λ)∈C(B(S2)),則

對(duì)?f=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈B(S),有

efe=((i,1Tα),(1Tα,λ))((j,1Tβ),(1Tβ,μ))((i,1Tα),(1Tα,λ))

=((i,1Tα)(j,1Tβ)(i,1Tα),(1Tα,λ)(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

=((i,1Tα)(j,1Tβ),(1Tβ,μ)(1Tα,λ))

=((i,1Tα)(j,1Tβ),(1Tα,λ)(1Tβ,μ))

=((i,1Tα),(1Tα,λ))((j,1Tβ),(1Tβ,μ))

=ef.

綜上知B(S)是一個(gè)LR-正則帶,所以S是一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

定理2 設(shè)T=[Y;Tα]是一個(gè)C-good B-quasi-Ehresmann半群,I=[Y;Iα]是一個(gè)左正則帶且Λ=[Y;Λα]是一個(gè)右正則帶.若映射

滿足下列條件：

(L1) 若(i,x)∈Iα×Tα且j∈Iβ,則(i,x)#j∈Iαβ；

(R1) 若(x,λ)∈Tα×Λα且μ∈Λβ,則μ(x,λ)*∈Λαβ；

(L2) 在(L1)中,若α≤β,則(i,x)#j=i；

(R2) 在(R1)中,若α≤β,則μ(x,λ)*=λ；

(L3) 若(i,x)∈Iα×Tα且(j,y)∈Iβ×Tβ,則(i,x)#(j,y)#=((i,x)#j,xy)#；

(R3) 若(x,λ)∈Tα×Λα且(y,μ)∈Tβ×Λβ則(x,λ)*(y,μ)*=(xy,λ(y,μ)*)*；

(P) 若i∈Iα,λ∈Λα,則?β≤α,?j∈Iβ,(i,1Tα)#j=j(這時(shí)根據(jù)L2)有|Iα|=1)或?β≤α,?μ∈Λβ,μ(1Tα,λ)*=μ(這時(shí)根據(jù)(R2)有|Λα|=1).

則S(B)=∪α∈Y(Iα×Tα×Λα)關(guān)于二元運(yùn)算

(i,x,λ)(j,y,μ)=((i,x)#j,xy,λ(y,μ)*)

構(gòu)成一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群,其中B=∪α∈Y(Iα×{1Tα}×Λα).

反之,每個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群都可如此構(gòu)造.

證必要性.設(shè)S是如此構(gòu)造的,由引理3知S是擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群,因此只需證明B是一個(gè)LR-正則帶.

設(shè)e=(i,1Tα,λ)∈B,i∈Iα,λ∈Λα,α∈Y,下面分兩種情況證明.

1) 若?β≤α,?j∈Iβ,(i,1Tα)#j=j,則對(duì)?f=(κ,1Tγ,ν)∈B,有

efe=(i,1Tα,λ)(κ,1Tγ,ν)(i,1Tα,λ)

=(i,1Tα,λ)((κ,1Tγ)#i,1Tαγ,ν(1Tα,λ)*)

=((κ,1Tγ)#i,1Tαγ,ν(1Tα,λ)*)

=(κ,1Tγ,ν)(i,1Tα,λ)

=fe.

2) 若?β≤α,?μ∈Λβ,μ(1Tα,λ)*=μ,則對(duì)?f=(κ,1Tγ,ν)∈B,有

efe=(i,1Tα,λ)(κ,1Tγ,ν)(i,1Tα,λ)

=((i,1Tα)#κ,1Tαγ,λ(1Tλ,ν)*)(i,1Tα,λ)

=((i,1Tα)#κ,1Tαγ,λ(1Tλ,ν)*)

=(i,1Tα,λ)(κ,1Tγ,ν)

=ef

綜上知B是一個(gè)LR-正則帶,故S是一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

充分性.設(shè)S是一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群,則S是一個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群.由引理3知S能夠滿足(L1)→(R3).

設(shè)e=(i,1Tα,λ)∈B,i∈Iα,λ∈Λα,下面分兩種情況證明.

1) 若?f∈B(S),efe=ef,則對(duì)?β≤α,?μ∈Λβ,f=(j,1Tβ,μ)∈B,有

efe=ef?(i,1Tα,λ)(j,1Tβ,μ)(i,1Tα,λ)=(i,1Tα,λ)(j,1Tβ,μ)

?((i,1Tα)#j,1Tβ,λ(1Tβ,μ)*)(i,1Tα,λ)=((i,1Tα)#j,1Tβ,λ(1Tβ,μ)*)

?((i,1Tα)#j,1Tβ,μ)(i,1Tα,λ)=((i,1Tα)#j,1Tβ,μ)

?((i,1Tα)#j,1Tβ,μ(1Tα,λ)*)=((i,1Tα)#j,1Tβ,μ).

所以有μ(1Tα,λ)*=μ.

2) 若?f∈B(S),efe=fe,則對(duì)?β≤α,?j∈Iβ,f=(j,1Tβ,μ)∈B,有

efe=fe?(i,1Tα,λ)(j,1Tβ,μ)(i,1Tα,λ)=(j,1Tβ,μ)(i,1Tα,λ)

?(i,1Tα,λ)((j,1Tβ)#i,1Tβ,μ(1Tα,λ)*)=((j,1Tβ)#i,1Tβ,μ(1Tα,λ)*)

?(i,1Tα,λ)(j,1Tβ,μ(1Tα,λ)*)=(j,1Tβ,μ(1Tα,λ)*)

?((i,1Tα)#j,1Tβ,μ(1Tα,λ)*)=(j,1Tβ,μ(1Tα,λ)*),

所以有(i,1Tα)#j=j.

綜上S滿足條件(P),所以S能夠這樣構(gòu)造.

定理3 設(shè)T=[Y;Tα]是一個(gè)C-good B-quasi-Ehresmann半群,對(duì)于?α∈Y,Iα和Λα是兩個(gè)非空集合且Iα∩Iβ=?=Λα∩Λβ(α≠β).作直積Pα=Iα×Tα和Qα=Tα×Λα(α∈Y).記S=∪α∈Y(Iα×Tα×Λα)且B=∪α∈Y(Iα×{1Tα}×Λα).對(duì)?α,γ∈Y,γ≤α?xí)r,設(shè)映射

滿足下列條件：

則S(B)=∪α∈Y(Iα×Tα×Λα)關(guān)于二元運(yùn)算

構(gòu)成一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

反之,每個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群都可如此構(gòu)造,B=∪α∈Y(Iα×{1Tα}×Λα).

證必要性.設(shè)S是如此構(gòu)造的,由引理4知S是擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群,因此只需證明B是一個(gè)LR-正則帶.

設(shè)e=(i,1Tα,λ)∈B,i∈Iα,λ∈Λα,α∈Y,下面分兩種情況證明.

efe=(i,1Tα,λ)(j,1Tβ,μ)(i,1Tα,λ)

=(j,1Tβ,μ)(i,1Tα,λ)

=fe.

2) 若?γ≤α,φ(1Tα,λ)α,γ=εΛγ,則對(duì)?f=(j,1Tβ,μ)∈B,有

efe=(i,1Tα,λ)(j,1Tβ,μ)(i,1Tα,λ)

=(i,1Tα,λ)(j,1Tβ,μ)

=ef.

綜上知B是一個(gè)LR-正則帶,故S是一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群.

充分性.設(shè)S是一個(gè)LR-C-good B-quasi-Ehresmann半群,則S是一個(gè)擬-C-good B-quasi-Ehresmann半群.由引理4知S能夠滿足(L1)→(R3).

設(shè)e=(i,1Tα,λ)∈B,i∈Iα,λ∈Λα,下面分兩種情況證明.

1) 若?f∈B(S),efe=ef,則對(duì)?γ≤α,?μ∈Λγ,f=(j,1Tγ,μ)∈B,有

efe=ef?(i,1Tα,λ)(j,1Tγ,μ)(i,1Tα,λ)=(i,1Tα,λ)(j,1Tγ,μ)

所以對(duì)?μ∈Λγ,有μφ(1Tα,λ)α,γ=μ,即φ(1Tα,λ)α,γ=εΛγ.

2) 若?f∈B(S),efe=fe,則對(duì)?γ≤α,?j∈Iγ,f=(j,1Tγ,μ)∈B,有

efe=fe?(i,1Tα,λ)(j,1Tγ,μ)(i,1Tα,λ)=(j,1Tγ,μ)(i,1Tα,λ)

綜上S滿足條件(P),所以S能夠這樣構(gòu)造.