(1) 山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，250358，濟南； 2) 悉尼大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，2006，悉尼)

1 引 言

量子群[1，2]于80年代中期產(chǎn)生于統(tǒng)計力學中Yang-Baxter類型的可積模型理論.之后,對這些代數(shù)結構的研究取得廣泛的成果并發(fā)展成為一個巨大研究領域[3，4].量子群理論在數(shù)學物理和純數(shù)學中的許多領域都有重要應用，例如：可積模型，共形場論，低維拓撲[5-7]和表示理論[4]等.本文中我們提出了量子群Uq(sl3)的退化形式Uq(sl2,1)，并詳細研究了它的Hopf代數(shù)結構和有限維表示.

2 退化量子群Uq(sl2,1)的定義

我們知道Uq(sl3)由兩個Uq(sl2)子代數(shù)生成.這兩個子代數(shù)被特定的關系聯(lián)系起來，如Serre 關系.相應的退化量子群Uq(sl2,1)保持其中一個Uq(sl2)子代數(shù)不變，另一個退化成Zachos’代數(shù)，其中Zachos’代數(shù)[8]由k,k-1,X+,X-生成，這些元素滿足如下關系：

kk-1=1,kX±k-1=-X±,

我們給出退化量子群Uq(sl2,1)的定義.

定義1Uq(sl2,1)是定義在C(q)上的含幺結合代數(shù)，由ei,fi,ki,ki-1(i=1,2)生成，且它們之間滿足如下關系：

kiki-1=1,ki±1kj±1=kj±1ki±1, ?i,j,

(1)

kiejki-1=q-1ej,kifjki-1=qfj,i≠j,

(2)

k1e1k1-1=q2e1,k1f1k1-1=q-2f1,

(3)

k2e2k2-1=-e2,k2f2k2-1=-f2,

(4)

(5)

e12e2-(q+q-1)e1e2e1+e2e12=0,

(6)

f12f2-(q+q-1)f1f2f1+f2f12=0,

(7)

e22=0,f22=0,

(8)

稱Uq(sl2,1)為sl3的退化量子群.

注1 元素k2±1,e2,f2生成的子代數(shù)同構與Zachos’代數(shù)，即退化的量子sl2,可記作Uq(sl1,1).

注2Uq(sl2,1)不同于量子超群Uq(sl2|1)在于(4),(5)兩式.若將(4),(5)兩式各換為下面的關系式:

其中[e1]=[f1]=0,[e2]=[f2]=1是這些元素的奇偶性,則得到量子超群Uq(sl2|1)，且Uq(sl2|1)具有Hopf超代數(shù)結構，之后將會看到Uq(sl2,1)有Hopf代數(shù)結構.

因此，Δ為同態(tài)，且需證Δ為余結合的，我們只需在生成元處證明滿足即可，如：

其他幾個生成元的證明類似.

下證S為代數(shù)反自同構，如證明(5)式，

S(eifj-fjei) =S(fj)S(ei)-S(ei)S(fj)

μ(S?id)Δ(x)=μ(id?S)Δ(x)=ε(x).

(9)

則有下面的等式成立，

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

?i.(11)式得證.

Δ(e12e2)=e12e2?k12k2+q-2e12?e2k12+(1+q2)e1e2?e1k1k2

+(q+q-1)e1?e1e2k1+e2?e12k2+1?e12e2,

Δ(e2e12)=e2e12?k12k2+(q+q-1)e2e1?e1k1k2+q-2e2?e12k2

+e12?e2k12+(1+q2)e1?e2e1k1+1?e2e12,

因此我們得到，

Δ(e12e2)+Δ(e2e12)=(e12e2+e2e12)?k12k2+1?(e12e2+e2e12)+(q+q-1)W，

其中,W=e2e1?e1k1k2+e1?e1e2k1+q-1e2?e12k2+qe1?e2e1k1+q-1e12?e2k12+qe1e2?e1k1k2,

Δ(e1e2e1)=e1e2e1?k12k2+1?e1e2e1+W.因此，

(13)式證明類似，下證(14)式，

(15)式的證明與(14)式的證明類似不再贅述. (16)式中的關系式是顯然的，證畢.

證由引理2顯然得到此定理, 證畢.

3 Uq(sl2,1)的一些結構性質(zhì)

下面我們研究Uq(sl2,1)的結構.由Uq(sl2,1)的定義知{e1,e2},{f1,f2},{k1±1,k2±1}三個集合分別生成三個子代數(shù)U+,U-,U0.并且{e1,e2}∪{k1±1,k2±1}也生成一個子代數(shù)，記為Uq(b).

引理3 代數(shù)Uq(sl2,1)滿足三角分解Uq(sl2,1)=U-U0U+，即Uq(sl2,1)中的每個元素都可以表示成形如u-u0u+的線性組合，其中u-∈U-,u0∈U0,u+∈U+.進一步,Uq(b)=U0U+.

證由Uq(sl2,1)的定義可知，總能把ki移到ei的左邊，把fi移到ei左邊，再移到ki的左邊，i=1,2.因此引理顯然成立，證畢.

下面的引理4和5為Uq(sl2,1)的表示做準備.

引理4 令F:=f1f2-qf2f1，則下面的幾個等式成立，

f1F=q-1Ff1,f2F=-q-1Ff2,F2=0,

(17)

e1F-Fe1=f2k1-1,e2F-Fe2=-qf1k2,

(18)

f1kf2=[k]qFf1k-1+qkf2f1k.

(19)

證由f1與f2之間的Serre關系，f1F=f12f2-qf1f2f1=q-1f1f2f1-f2f12=q-1Ff1. 由f22=0，f2F=f2(f1f2-qf2f1)=f2f1f2=-q-1(f1f2-qf2f1)f2=-q-1Ff2.因此F2=(f1f2-qf2f1)F=-q-2F(f1f2-qf2f1)=-q-2F2,所以F2=0，(17)式得證.

記[x,y]=xy-yx,?x∈Uq(sl2,1)，則有

[e2,F]=f1[e2,f2]-q[e2,f2]f1

=-qf1k2,

e1F-Fe1=f2k1-1可用同樣的方法證明，此處省略.(18)式得證.

k=0,1時,(19)式顯然成立，設k時，(19)式成立，下證k=k+1時(19)式成立，

f1k+1f2=([k]qq-1+qk)Ff1k+qk+1f2f1k+1=[k+1]qFf1k+qk+1f2f1k+1，

證畢.

由引理3和引理4，我們能得到U-的PBW基.

引理5 集合{f1k,f2f1k,Ff1k,Ff2f1k|k=0,1...}為U-的一個基，稱它為一個PBW基.

證先證此集合生成U-，因為f22=0，則U-由下面形式的元素生成，

f1j1f2f1j2f2f1j3...f1jr-1f2f1jr,j1,j2,...,jr∈Z+,0

其中若r=1，元素為f1j1.下證f2f1if2f1jf2=0，?i,j≥0.i=0或j=0時，顯然成立.

設i,j>0，由引理4中的(19)式得,

f2f1if2f1jf2=[j]qf2f1if2Ff1j-1

=[j]q[i]qf2Ff1i-1Ff1j-1

=[j]q[i]qqi-1f2FFf1i+j-2

=0,

因此，在(20)式中，r≤3，即U-由f1j1,f1j1f2f1j2,f1j1f2f1j2f2f1j3生成.

設引理中的集合生成的代數(shù)記為U′，則U′為U-的子代數(shù)顯然，下證U-?U′，其中f1j1,f1j1f2f1j2∈U′顯然，f1j1f2f1j2f2f1j3=-q2j1+1[j2]qFf2f1j1+j2+j3-1∈U′，所以U-?U′，即U′=U-.

下證集合{f1k,f2f1k,Ff1k,Ff2f1k|k=0,1...}中的元素線性無關.考慮單Uq(sl2,1)最高權模L(λ),λ=(λ1,λ2)=(q-2,q-1)，則L(λ)由下面的元素生成,

f1kvλ,f2f1kvλ,Ff1kvλ,Ff2f1kvλ,k∈Z+.

(21)

下證這些元素線性無關.

可以看到(21)式中的元素同為k1,k2的特征向量，因為屬于同一線性變換的不同特征值的向量線性無關，因此我們僅需考慮相同特征值的特征空間.取(21)式中k1,k2的公共特征空間中元素的任意非平凡的線性組合，若值等于為0,則左邊同時乘以f2,F或f2F，則得到對于某一k0，F(xiàn)f2f1k0vλ=0，且我們知

e2Ee1k0Ff2f1k0vλ=(q+q-1)avλ≠0,則與Ff2f1k0vλ=0矛盾，所以(21)式中的向量線性無關,證畢.

4 有限維的表示理論

由引理3知Uq(sl2,1)存在三角分解，則我們可以構造Uq(sl2,1)的最高權模.

給定一λ：=(λ1,λ2)，0≠λi∈C(q)，設C(q)vλ為Uq(b)-模，基為vλ，且有eivλ=0，

kivλ=λivλ,i=1,2.我們稱vλ是權為λ的最高權向量.則V(λ):=Uq(sl2,1)?Uq(b)C(q)vλ在自然的左作用下成為Uq(sl2,1)-模，類似于李代數(shù)的Verma模，作為向量空間

V(λ)=U-?C(q)vλ,

(22)

可以看到V(λ)包含唯一的極大子模M(λ)，M(λ)為不包含最高權向量1?Vλ的子模的直和. 令L(λ)：=V(λ)/M(λ)，則L(λ)為V(λ)的單商模.為簡單起見，我們將V(λ)中的元素u?vλ在L(λ)中的像記為uvλ，其中u∈Uq(sl2,1).

引理6 設L(λ)為單Uq(sl2,1)-模，其中λ=(λ1,λ2)為最高權，L(λ)為有限維模當且僅當

λ1=±ql，l∈Z+.

證S由e1,f1,k1±1生成的Uq(sl2)為Uq(sl2,1)的子代數(shù)，則可知L(λ)同樣也為Uq(sl2,1)-模，則由Uq(sl2,1)-模為有限維知λ1=±ql，l∈Z+,必要性得證.

下證充分性，現(xiàn)假設λ1=±ql，對某一固定的l∈Z+,設L0(λ)為L(λ)的子空間，基為B0={

f1kvλ|k=0,1,2,...,l}.由Uq(sl2)的表示理論知B0中的元素線性無關，L0(λ)為Uq(sl2)的子模.更多的，B0中的元素為k1,k2的公共特征向量，由(5)式知，e2f1kvλ=0,k=0,1,2,...,l成立，則e2v=0,?v∈L0(λ),則uv∈L0(λ)，?v∈L0(λ)，u∈U0U+.因為L0(λ)包含最高權向量，它生成了L(λ)，則由引理3和式(22)，L(λ)=U-vλ.由引理5知，L(λ)由下面的向量張成,

f1kvλ,f2f1kvλ,Ff1kvλ,Ff2f1kvλ,k=0,1,...,l.

(23)

則可知dimL(λ)≤4(l+1),因此為有限維的，充分性得證，證畢.

定理2 設λ=(λ1,λ2)，其中λ1=±ql,l為一非負整數(shù)，則單Uq(sl2,1)-模L(λ)的維數(shù)為4(l+1)當且僅當(qλ1λ2-q-1λ1-1λ2-1)(λ2-λ2-1)≠0，且(21)式中的向量為L(λ)的基.

證容易看出dimL(λ)<4(l+1)當且僅當(21)式中的向量線性相關，因此存在(21)式中的向量做非平凡的線性結合等于0，由于f22=0，f2F=-q-1Ff2以及F2=0，則用f2,F或f2F乘到等式的左邊，得到對于某一非負整數(shù)k0≤l，F(xiàn)f2f1k0vλ=0.

由引理5的證明過程我們知道e1k0Ff2f1k0vλ=Ff2e1k0f1k0vλ，且有e1k0f1k0vλ=ck0vλ，其中

因此e1k0Ff2f1k0vλ=ck0Ff2vλ=0，即Ff2vλ=0，其為dimL(λ)<4(l+1)的充分必要條件.

此式成立當且僅當下式成立，

由上式知，要使得dimL(λ)<4(l+1)，其充分必要條件為下式成立，

(qλ1λ2-q-1λ1-1λ2-1)(λ2-λ2-1)=0.

(24)

定理的第一部分得證，第二部分由第一部分顯然成立，證畢.

定理3 設λ1=±ql,l∈Z+,式(24)成立，則λ2取值為±1或±q-1λ1-1.

若λ2取值為±1，則L(λ)維數(shù)為2l+1，基為

{f1jvλ,Ff1kvλ|0≤j≤l,0≤k≤l-1}.

(25)

若λ2取值為±q-1λ1-1，則L(λ)維數(shù)為2(l+1)+1，基為

{f1kvλ,f2f1kvλ,Ff1lvλ|0≤k≤l}.

(26)

證由(24)式，定理的第一部分顯然成立，由定理2知，?k≥0，F(xiàn)f2f1kvλ=0.我們需要考查Ff1kvλ與f2f1kvλ的線性相關性,當λ2=±1時，我們有f2vλ=0，則f1f2vλ=Fvλ+qf2f1vλ=0，即Fvλ=-qf2f1vλ.更多的，由f1Ff1k-1=q-1Ff1k，f1f2f1k=Ff1k+qf2f1k+1,以及對k進行歸納可得到，

因此(25)式生成L(λ).

若假設l=0，則f1vλ=0,Fvλ=0.若l>0，則

e1Fvλ=-qf2e1f1vλ=0.更多的，k1Fvλ=±ql-1Fvλ，因此Fvλ是子代數(shù)Uq(sl2)的權為±ql-1的最高權向量，則Fvλ生成l維的Uq(sl2)-子模，基向量為Ff1kvλ，k=0,1,...,l-1.令B1:={Ff1kvλ|0≤k≤l-1}，則可知B1中的向量線性無關.B0:={f1kvλ|0≤k≤l}中的向量也線性無關，B1中的向量在k2下所對應的特征值為B0/{vλ}中向量在k2下所對應特征值的負值，則這兩個向量集線性無關，因此(25)式為L(λ)的一組基.

當λ2=±q-1λ1-1，若l=0，易得{vλ,f2vλ,Fvλ=f1f2vλ}為L(λ)的一組基.若l>0，由關系式e2Ff2vλ=0得[l]qFvλ=q-lf2f1vλ.可用歸納法證明[l-k]qFf1kvλ=qk-lf2f1k+1vλ，k=0,1,…,l-1,其中f2f1k+1vλ是非零的.特別的，當k=l-1時，F(xiàn)f1l-1vλ=q-1f2f1lvλ，則Ff1lvλ=f1f2

f1lvλ.下證f1f2f1lvλ≠0.

e1f1f2f1lvλ=±([l-1]qf2f1l+[l]qf1f2f1l-1)vλ

=±([l-1]qf2f1l+[l]qFf1l-1+[l]qqf2f1l)vλ

=±([l-1]q+(q+q-1)[l]q)f2f1lvλ≠0,

因此，(26)式中的向量非零且生成L(λ).類似λ=±1證明過程中權的分析可知，(26)式中的向量線性無關，因此為L(λ)一組基，證畢.

5 結 語

通過對退化量子群Uq(sl2,1)的結構以及表示理論的分析，可以看出此代數(shù)具有較好的性質(zhì)以及表示,同樣可將Uq(sl2,1)的定義推廣到所有經(jīng)典李代數(shù)的退化量子群.并對它們的結構及表示進行研究.我們希望找出Uq(sl2,1)與Uq(sl2|1)確切的聯(lián)系，這樣可以為研究量子超群提供一個新的方法.