(山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，250358，濟南)

1 引 言

本文考慮如下的Cattaneo模型：

(1)

其中Ω:={(x,t)∈R2:0≤x≤L,0

在傳統(tǒng)的Fourier定律和Fick擴散定律描述的擴散現(xiàn)象中，一點在經(jīng)過的一瞬時，在極遠處就會受到該點的擾動影響，擾動的傳播速度似乎是無限的，然而這個屬性是非物理的.Cattaneo模型[1]修正了傳統(tǒng)的Fourier定律和Fick擴散定律，通過增加一個松弛時間項來克服這個矛盾，由Christov[2]提出了Cattaneo定律的框架,并由Ostoja-Starzewski[3]給出了Maxwell-Cattaneo方程的數(shù)學推導.Haddad[4]利用Cattaneo-Christov理論研究了Brinkman多孔介質的問題，Straughan[5]研究了Cattaneo類型的不可壓縮牛頓流體水平層的熱對流問題.Ghazizadeh等[6]給出了分數(shù)階Cattaneo方程的顯式和隱式兩種格式的有限差分算法，并且Qi等[7]給出了分數(shù)階Cattaneo方程的精確解.

緊致有限差分法是一類高精度的有限差分方法，具有高精度、高分辨率以及對網(wǎng)格節(jié)點要求低等優(yōu)點，受到很多學者的關注，1992年,Lele[8]提出了緊致差分格式的一般形式，Dennis和Hundson[9]研究的對流擴散方程的四階緊致差分格式對后續(xù)研究影響較大.本文提出問題(1)的緊致差分格式，通過對具體算例進行數(shù)值模擬，并與二階差分格式相比較，驗證了其精確性和有效性.

2 格式建立

應用公式

可得到

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

接下來，在此二階差分格式的基礎上建立4階緊致差分格式，定義算子A,滿足

由文獻[10]中引理1.2(g)，有

其中ξik∈(xi-1,xi+1) .將算子A作用于(2)式兩端，并應用(3)、(4)和(5),整理可得

(7)

應用文獻[10]中引理1.2(c)、(f)和(e),有

結合(1)式可得初始條件

對(7)式整理可得到

其中余項

(8)

其中緊致差分格式的截斷誤差為O(τ2+h4) .

3 數(shù)值模擬

在方程(1)中令ε=0.1,D=1,u0(x)=sin(πx),u1(x)=0, 由文獻[11,12]可得其精確解為

對空間步長h和時間步長τ分別取對應的值，則緊致差分解與二階差分解有以下相應的L2誤差以及空間和時間收斂階.

表1 緊致差分格式L2誤差

表2 二階差分格式L2誤差

由表1、表2可以看出，緊致差分格式(8)可分別得到關于空間4階收斂，關于時間2階收斂，二階差分格式(6)可得到空間、時間均為2階收斂.

在h相同的情況下，可以明顯地看出緊致差分格式(8)解的誤差小于二階差分格式(6)解的誤差.由此可見,在使用同樣節(jié)點數(shù)的情況下,緊致差分方法的計算精度優(yōu)于二階差分方法.