(1) 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南； 2) 齊魯師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，250014，濟(jì)南)

1 引 言

混沌系統(tǒng)的同步理論是非線性科學(xué)的研究熱點(diǎn)，在眾多領(lǐng)域中有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.綜合已有的研究成果[1-4]我們發(fā)現(xiàn)，其主要研究基礎(chǔ)是連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論，通過建立系統(tǒng)間的誤差系統(tǒng)，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論來研究誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.當(dāng)無法有效建立誤差系統(tǒng)時(shí)，上述方法就失效了.2005年，Luo提出了不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論[5]，并取得了一系列的研究成果[6-10].將該理論應(yīng)用于同步問題的研究能克服利用連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論方法存在的不足，并且對(duì)不同約束條件下不同類型的同步問題均可得到有效的分析結(jié)果.2014年，Sun和Fu研究了在正弦約束下Van der Pol方程與單擺方程的混沌同步問題[11].2015年，孫曉輝[12]利用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論研究了一類異質(zhì)二階多自主體系統(tǒng)的一致性問題，給出了兩個(gè)系統(tǒng)部分時(shí)間一致性開始和消失的解析條件.在此基礎(chǔ)上，本文將研究陀螺儀系統(tǒng)與具周期外力的單擺系統(tǒng)的同步問題，并建立相應(yīng)的同步條件.

2 模型分析

選取具有周期外力的單擺方程作為主動(dòng)系統(tǒng)(master system)

(1)

陀螺儀方程作為被動(dòng)系統(tǒng)(slave system)

(2)

其中σ(y)=-α2(1-cosy)2/sin3y.

將m-系統(tǒng)寫為向量形式

(3)

取函數(shù)Ξ為控制條件，其中Ξ(X,Y,t)=(ξ1,ξ2)T,ξ1=k1sgn(y1-x1),ξ2=k2sgn(y2-x2).那么在此控制條件下s-系統(tǒng)為不連續(xù)系統(tǒng)，從而

(4)

由于兩個(gè)系統(tǒng)是獨(dú)立的，m-系統(tǒng)的流不受影響，不會(huì)發(fā)生變化.但是兩個(gè)系統(tǒng)要達(dá)到同步，s-系統(tǒng)的流受會(huì)到m-系統(tǒng)流的影響.基于以上控制條件，受控s-系統(tǒng)的相空間可分為如下的四個(gè)子區(qū)域Ωj(j=1,2,3,4):

由于控制條件的影響，受控s-系統(tǒng)在不同子區(qū)域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)方程是不同的，比如在Ω1內(nèi)為

類似的，可給出其它三個(gè)子區(qū)域上受控s-系統(tǒng)的表達(dá)式.

受控s-系統(tǒng)的四個(gè)子區(qū)域之間的邊界為

各邊界的交點(diǎn)是

由此可見若要兩個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為一致，同步只能在各邊界的交點(diǎn)處發(fā)生.

下面利用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的方法，將受控s-系統(tǒng)表示為以下形式

(5)

其中

邊界是由m-系統(tǒng)決定的，邊界上的子系統(tǒng)定義為

(6)

其中

由于各區(qū)域之間的邊界是隨時(shí)間變化的，直接建立相應(yīng)的解析條件較為困難，因此下面采用相對(duì)坐標(biāo)形式進(jìn)行研究.令z1=y1-x1,z2=y2-x2.于是，

相對(duì)坐標(biāo)下受控s-系統(tǒng)為

(7)

邊界上的系統(tǒng)為

(8)

3 主要結(jié)果

(9)

(10)

于是，邊界上的法向量和相應(yīng)的G函數(shù)分別為(j=1,2,3,4.)

其中

為方便起見，定義如下的基本函數(shù):

(i) 當(dāng)(m,n)={(2,3),(4,1)}時(shí)，

(ii) 當(dāng)(m,n)={(1,2),(3,4)}時(shí)，

則受控s-系統(tǒng)的同步將消失.

證由不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論[5]可知，系統(tǒng)在零點(diǎn)形成同步(Zk=0)的條件是

根據(jù)g1,g2,g3,g4的定義, 上述同步條件變?yōu)?/p>

其它情形的證明類似可得.

(i) 當(dāng)(m,n)={(2,3),(4,1)}時(shí),

(ii) 當(dāng)(m,n)={(1,2),(3,4)}時(shí),

則受控s-系統(tǒng)開始達(dá)到同步.

上述定理的證明與定理1類似，在此略去.

其中L-函數(shù)為

由以上分析可知，同步現(xiàn)象的不變域可以由-k1

0≤z2

當(dāng)參數(shù)k1和k2適當(dāng)選擇時(shí)，可以得到系統(tǒng)間不同狀態(tài)的同步情形.

4 數(shù)值仿真

圖1 系統(tǒng)的不變集

圖2 m-系統(tǒng)軌線與不變集的位置關(guān)系

下面對(duì)系統(tǒng)里的參數(shù)取值分別為a0=-1,A0=0.23,ω=1.187 9,c1=0.5,c2=0.05,α=10,β=1,f=35,Ω=2,x1=y1≈0.779 2,x2=y2≈0.512 7.對(duì)于控制條件中的參數(shù)先選取k1=5,k2=100,則系統(tǒng)的不變集如圖1所示.在上述參數(shù)選擇下，首先給出m-系統(tǒng)的軌線與不變集之間的位置關(guān)系(圖2).顯然軌線完全落在不變集內(nèi)部，但是否能夠形成完全一致性則需要對(duì)達(dá)到同步的條件進(jìn)行驗(yàn)證.由圖3可以看出四個(gè)gi函數(shù)是沒有轉(zhuǎn)換點(diǎn)出現(xiàn)的，滿足了達(dá)到同步的條件，因此可以判定此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)完全同步.圖4給出了取定參數(shù)后，兩個(gè)系統(tǒng)間位移與速度的關(guān)系，從圖中可以看出，兩個(gè)系統(tǒng)能夠達(dá)到完全一致性，并始終保持.但是當(dāng)參數(shù)k1,k2的取值變化時(shí)，同步情形將發(fā)生變化.下面取k1=5,k2=40.從圖5可以看出，系統(tǒng)的軌線無法完全落在不變集中，因此即使在不變集外滿足相應(yīng)條件也無法保證系統(tǒng)間的同步.對(duì)此情況進(jìn)一步判斷gi函數(shù)的情形.由圖6可以看出，此時(shí)一定會(huì)有滿足定理結(jié)論的同步開始和消失的轉(zhuǎn)換點(diǎn)存在，因此在此情況下系統(tǒng)間不可能達(dá)到完全同步.這就需要利用結(jié)論中建立的條件對(duì)轉(zhuǎn)換點(diǎn)的情況進(jìn)行分析，判斷系統(tǒng)在什么時(shí)間范圍內(nèi)能夠形成同步，什么時(shí)間同步消失，最終得到系統(tǒng)間的部分同步情形.最后對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)軌線的關(guān)系進(jìn)行模擬.從圖7可以看出，兩個(gè)系統(tǒng)的位移無法形成完全同步，由于存在轉(zhuǎn)換點(diǎn)同步會(huì)在某些點(diǎn)處消失，然后在控制條件的作用下于某一滿足轉(zhuǎn)換條件的點(diǎn)處再次形成同步.這也說明關(guān)于位移的模擬與之前理論分析的結(jié)論是一致的.

圖3 gi(i=1,2,3,4)函數(shù)圖像(k1=5,k2=100)

圖4 位移與速度的完全同步

圖5 m-系統(tǒng)軌線與不變集的位置關(guān)系

圖6 gi(i=1,2,3,4)函數(shù)圖像(k1=5,k2=40)

圖7 位移的部分同步圖