潘 超，吳立寶

（1.重慶第二師范學院數(shù)學與信息工程學院，重慶 400067；2.天津師范大學教師教育學院，天津 300387）

教材分析是教學系統(tǒng)中教學設計的基礎性工作，是體現(xiàn)教育學、心理學理論與實踐操作緊密結合的重要工程。它最重要的作用是為后續(xù)的教材處理提供依據(jù)，為教學設計做好鋪墊。掌握恰當?shù)慕滩姆治龇椒芴岣呓虒W設計的成效，對實施有效教學具有奠基意義。但是，許多中小學教師忽視教材的價值，對教材分析并不重視，難以抓住要點，有序開展分析。教材是課程的載體，主要包括教科書（教師用書、學生用書）、教學參考資料、教具與學具等教學材料。其中，教科書是教材的主體，承載著課程的目標、內容、實施和評價要素。[1]雖然有時教材被當作創(chuàng)造性解決問題的資源或學生自學的材料，但教材的主要功能還是作為傳授權威知識的儲庫。[2]而權威知識的儲庫要很好地開發(fā)出來就必須要重視教材分析。這里，我們所稱的教材分析是以教科書為主要分析對象，參照課程標準和教學參考資料，按特定的要求，對教材的內容、編排意圖等實施要素分析、結構分析、原理分析的過程。教材分析不僅要考慮目的、要素、對象、過程、特點等因素[3]，還要考慮教材分析的邏輯線索。

教材分析的邏輯線索附著于實質性的教材內容，包括文字、符號、圖表等顯性結構所呈現(xiàn)的內容，還包括知識、教學、學習等隱性結構所蘊含的意義、原理、思想等深層內容。[4]教材分析的邏輯是教學系統(tǒng)中教學邏輯的另一形態(tài)，仍然存在潛在的主客體關系的動態(tài)轉換關系。而知識邏輯、教學邏輯、學習邏輯和認知邏輯是構成教學系統(tǒng)的邏輯要素，四個邏輯間相互運演，教學要素關系變遷，促使教學系統(tǒng)達到有序化。[5]相應地，教材分析作為教學系統(tǒng)的一個子項內容，應該遵從這四個邏輯的相互運演關系。教材分析者將親歷把教材內容從靜態(tài)形式激活到動態(tài)形式，再沉淀為靜態(tài)形式的過程，實現(xiàn)教材話語體系向教師話語體系轉化，以及教師話語體系向學生話語體系轉化的遞進順序。從教學邏輯視角來看，教材分析本質上是以知識邏輯、教學邏輯、學習邏輯和認知邏輯為線索。教學邏輯的四個邏輯組塊為教材分析提供四條可供操作的分析線索，即教材分析的知識邏輯線（知識線knowledge line：K-L）、教學邏輯線（教學線teaching line：T-L）、學習邏輯線（學習線learning line：L-L）和認知邏輯線（認知線cognition line：C-L），其邏輯結構見參圖1。這四條分析線構成了教材分析的基本邏輯線索，它們經(jīng)過循環(huán)、交織、組合等可以得到教材分析的多種變式結構。因而，這四條分析線實為基本的邏輯分析線。一般說來，分析教材時，可以按照“知識線——教學線——學習線——認知線”的基本順序進行。

圖1

“單調性與最大（?。┲怠笔歉咧袛?shù)學中很典型的一節(jié)內容，該節(jié)在人教版教材中處于必修一“第一章集合與函數(shù)概念”的第三節(jié)內容，下面以該節(jié)內容為例，談談教材分析的四條邏輯線，以及如何按照這四條邏輯線進行教材分析。

一、教材分析的知識邏輯線

教材編寫是遵從一定的學科知識體系的，因此，教材分析的首要邏輯線就是學科知識線。從知識邏輯線分析教材時，主要分析教材包含的學科知識內容，解決“是什么”的基本問題。其要點有：厘清教材呈現(xiàn)的學科知識，找準新知識的生長點和來龍去脈；厘清整節(jié)內容在教材體系中的地位和作用，分清教材內容的重點。其中，最核心的要點是分析知識體系和教材重點。

1.分析知識體系

分析知識體系是指按照知識邏輯線，剖析教材內容的知識結構和邏輯關聯(lián)，以及把握學科知識的本質內涵。在操作上，一般可以從宏觀和微觀兩個角度著手。宏觀角度上，要確定本節(jié)內容在教材體系中的地位和作用。通過分析本節(jié)教材的主體內容及與之直接或間接相關的前、后章節(jié)內容，確定學習本節(jié)內容所需要的學科基礎知識和方法，以及對后續(xù)學習內容的具體作用。用“十字模型”來凸顯本節(jié)教材內容在教材體系中的地位和作用，用知識網(wǎng)絡結構圖來刻畫本節(jié)知識點之間的關聯(lián)?！昂瘮?shù)的單調性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個最基本的性質，是對函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，也是后續(xù)研究幾類具體函數(shù)和解決與函數(shù)相關的綜合問題的基礎和工具，對學生進一步研究其他函數(shù)性質起示范和引領作用（如圖2所示）。微觀角度上，要確定本節(jié)教材所含的知識內容及其知識結構。操作方法就是梳理本節(jié)教材所含的知識點（塊）、涉及的方法等，并尋找各知識點（塊）之間的關聯(lián)，總結其知識結構，形成知識點的網(wǎng)絡結構圖?！皢握{性與最大（?。┲怠币还?jié)，在知識層面上，主要對增函數(shù)、減函數(shù)、最大值進行了嚴格定義，對其他相關概念給予適當說明；在方法層面上，舉例說明了用圖像法、定義法判斷函數(shù)單調性的方法和如何用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最大（小）值（參見圖3）。

圖2 本節(jié)教材內容在教材體系中地位

圖3 本節(jié)教材內容的知識網(wǎng)絡結構

2.分析教材重點

分析教材重點是指按照知識邏輯線，在把握教材體系基礎上，剖析教材各種知識組塊的主體部分，判斷最基本、最核心的教材內容。在操作上，可以通過教材內容的知識網(wǎng)絡結構和挖掘教材知識層面的設置意圖來分析出教材重點，為確定教學難點奠定基礎。如圖3中的知識網(wǎng)絡結構所示，判斷函數(shù)的單調性的本質是聯(lián)系函數(shù)的單調性與函數(shù)最值問題的紐帶，而判斷函數(shù)單調性的本質又依賴于增（減）函數(shù)的判定。增（減）函數(shù)概念的定義方式是關系定義，用形式化的數(shù)學語言描述其內涵，具有較高程度的抽象性。所以，教材體系中，用形式化語言刻畫增（減）函數(shù)是知識板塊的主體和關鍵內容，突破增（減）函數(shù)概念的教學會使該節(jié)其他內容的教學變得更容易。因此，本節(jié)教材的核心內容是增（減）函數(shù)、最大（?。┲档亩x及其應用，并且增函數(shù)、減函數(shù)的形式化定義是判斷函數(shù)的單調性和解決最大（?。┲祮栴}的關鍵。由此，我們可以得到本節(jié)的重點知識是增（減）函數(shù)、最大（?。┲档亩x和判斷函數(shù)的單調性以及求一些函數(shù)的最大（小）值。另外，觀察函數(shù)圖像時，一般先注意到的是圖像的上升或下降性態(tài)，然后才是圖像在某些特殊位置的狀態(tài)，所以教材在順序上首先安排刻畫函數(shù)整體特征的單調性，再安排函數(shù)的最大值、最小值，以及后邊的零點問題等。

綜上，“函數(shù)的單調性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個最基本的性質，是對函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，也是后續(xù)研究幾類具體函數(shù)和解決與函數(shù)相關的綜合問題的基礎和工具，對學生進一步研究其他函數(shù)性質起示范和引領作用。該節(jié)內容主要對增（減）函數(shù)、最大（?。┲颠M行了嚴格定義，對其他相關概念給予適當說明；在方法層面上，舉例說明了用圖像法、定義法判斷函數(shù)單調性的方法和如何用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最大（?。┲?。其中，重點知識是增（減）函數(shù)、最大（小）值的定義和判斷函數(shù)的單調性以及求一些函數(shù)的最大（?。┲?。

二、教材分析的教學邏輯線

教材編寫具有一定情境性，教材將教學的學科知識內容“浸泡”在豐富的教學情境中，“如何教”的基本問題在教材情境中呈現(xiàn)出一條線索，即教學邏輯線。按照教學邏輯線分析教材，從教師教的角度去思考教學問題，要明確教材設計的教學思路，明確教材中預設的關鍵性問題，明確教材是如何引導學生思維的，采取什么樣的教法等。

1.分析教學思路

分析教學思路是指按照教學邏輯線，從教師教的視角，剖析教學內容與教師教學行為的統(tǒng)整線路，為教學環(huán)節(jié)的安排和教學方法的選擇奠定基礎。在操作上，圍繞教材的重點梳理出教材的主要結構。如對概念內容，剖析出概念的引入、概念的定義、概念的辨析、概念的應用等主要的教學結構；對命題內容，剖析出命題的引入、命題的證明、命題的應用等主要的教學結構?！皢握{性與最大（小）值”教材中，特別重視讓學生經(jīng)歷概念的形成過程。一定要充分利用好函數(shù)圖像，讓學生觀察圖像而獲得對函數(shù)基本性質的直觀認知，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，滲透直觀想象素養(yǎng)。具體而言，學生函數(shù)單調性概念的形成經(jīng)歷了“三步曲”：第一步，觀察函數(shù)圖像，描述函數(shù)圖像的“上升”“下降”特征。以學生熟悉的一次函數(shù)f(x)=x和二次函數(shù)f(x)=x2為例，給出函數(shù)的圖像，讓學生從圖像獲得“上升”“下降”的整體認識。第二步，結合圖表，用自然語言（變量的數(shù)據(jù)變化）描述函數(shù)圖像特征。針對二次函數(shù)f(x)=x2給出下面的表格（參見表1）。結合表1，引導學生用自然語言描述圖像特征“上升”“下降”，即圖像在y軸左側“下降”，也就是在區(qū)間(-∞,0)上，隨著x的增大，相應地f(x)隨著減?。粓D像在y軸右側“上升”，也就是在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，相應地f(x)也隨著增大。第三步，用數(shù)學符號的語言描述增（減）函數(shù)的形式化定義。首先，用數(shù)學符號的語言描述f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)的定義。這里要解決的關鍵問題是，在研究區(qū)間上如何用簡捷的方法來刻畫函數(shù)變量之間的變化趨勢，保證其“任意性”，也即“怎么樣”和“為什么”取自變量的兩個值，并比較函數(shù)值的大小來描述f(x)=x2的單調性。然后，用數(shù)學符號的語言描述一般函數(shù)在某個區(qū)間的增（減）函數(shù)定義，實現(xiàn)由特殊到一般，由具體到抽象的數(shù)學抽象思維。

表1 二次函數(shù) f (x )=x 2取值表

函數(shù)的單調性定義的“三步曲”是教材內容呈現(xiàn)的順序，也是教材編寫的明顯意圖。教學時，要特別重視從幾個實例的共同特征到一般性質的歸納概括過程，并引導學生用形式化的數(shù)學語言來加以表達。這往往是形成數(shù)學概念，培養(yǎng)學生探究能力的契機。本節(jié)教材體現(xiàn)的教學思路與教學結構是以函數(shù)單調性定義的“三步曲”為主體，總體上，以“概念→應用→拓展”為線索，具體如圖4所示。

2.分析教學方法

圖4 教材體現(xiàn)的教學思路與教學結構

分析教學方法是指按照教學邏輯線，在梳理出教材教學思路基礎上，為實現(xiàn)教材體系內容轉化為教師教學語言體系而確定所使用的方法和手段，為后續(xù)學生的學習活動和學法指導做鋪墊。在操作上，分析者將確定采用具體的手段和行為要素將教學內容串接起來。增（減）函數(shù)概念教學的“三步曲”中，教師主要引導學生觀察、歸納出函數(shù)圖像的變化特征，引導學生分析數(shù)據(jù)規(guī)律，講解出變量之間存在的變化關系，以及啟發(fā)學生從特例中提煉出一般規(guī)律，探究出如何用“任意兩點”的簡捷方法來刻畫函數(shù)變量之間的變化情況，進而用形式化的數(shù)學語言進行描述。整個過程主要用到分析、講解、歸納、探討等多種要素，因此，教師使用的教學方法主要包括講解法、探究法等；在研究函數(shù)圖像的變化情況和函數(shù)變量關系時，可以采用“幾何畫板”工具輔助教學，讓學生直觀感受到其中的規(guī)律；在函數(shù)單調性的應用中，教師通過兩道例題引導學生鞏固增（減）函數(shù)的定義，會用圖像法和定義法判定函數(shù)的單調性。該過程主要通過應用來鞏固新學知識，同時嘗試解決簡單的單調性相關問題。例1是為了強化圖像法判定函數(shù)單調性以及指出單調區(qū)間。例2是為了利用函數(shù)的單調性證明物理學重點玻意耳定律，讓學生感受到函數(shù)單調性的初步應用；表明用函數(shù)的單調性定義證明函數(shù)在某個區(qū)間上單調性的基本步驟。在這個環(huán)節(jié)中，重點是函數(shù)單調性的定義法的應用；在函數(shù)的最大（小）值的教學中，本質上是函數(shù)單調性知識的拓展應用，重點是用函數(shù)的單調性去解決函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。教師首先引導學生結合圖像來理解最大（?。┲档亩x。然后，用數(shù)形結合的思想及函數(shù)單調性的性質求最大（?。┲?。

綜上，我們可以認識到，本節(jié)教材特別重視讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，教學思路與教學結構是以函數(shù)單調性定義的“三步曲”為主體，以“概念→應用→拓展”為線索；主要采用講解法、探究法等教學方法，適當采用“幾何畫板”軟件輔助教學。

三、教材分析的學習邏輯線

教材是基于學生的學科現(xiàn)實、生活現(xiàn)實背景編寫的，符合學生學習的一般規(guī)律和成長特征。它為學生的學習活動提供基本線索，基本內容和主要的活動機會，是教學的重要資源。[6]教材分析的一條邏輯線就是學習邏輯線。按照學習邏輯線分析教材，學會換位思考，從學生的視角揣摩“如何學”的基本問題，其主要要點有：分析教材如何突出重點、突破難點知識的，如何安排各種學習活動的，學生是否適應教材的各種安排等。

1.分析學習難點

分析學習難點是指按照學習邏輯線，在確定教材知識體系和教材重點基礎上，從學的視角來剖析學生不易理解的知識，或不易掌握的技能技巧。在操作上，主要分析新內容與學生已有的認知水平之間的落差情況。如果落差較大，則將其確定為學習難點。由于未學習導數(shù)與微分，學生對于函數(shù)的單調性這一知識點所借助的直接經(jīng)驗不多，因此，增（減）函數(shù)概念的形式化定義過程是學生學習的一個難點。教材安排上只能從圖像的變化進行直觀理解，隨后再用準確的數(shù)學符號語言刻畫圖像的“上升”和“下降”情況，這是一個從形到數(shù)的“翻譯”、從感性到理性、從直觀到抽象的認識突破過程，這也是中國數(shù)學教材以直觀性強的知識為主的具體體現(xiàn)。[7]另外，函數(shù)單調性的證明也是學生學習的一個難點，因為，學生在函數(shù)學習中第一次接觸到的代數(shù)論證形式，在這方面的推理論證能力還比較弱，尤其是有條理地表達推理論證過程的能力。

2.分析學習活動

分析學習活動是指按照學習邏輯線，在確定學習難點的基礎上，為實現(xiàn)教師教學語言轉化為學生學習語言而預設的學習活動，特別是為消減學習難點而搭建合適的進階。在“單調性與最大（?。┲怠币还?jié)中，學生要理解兩組定義（增函數(shù)、減函數(shù)、單調性、單調區(qū)間；最大值、最小值）和解決兩類問題（判斷函數(shù)的單調性；求函數(shù)的最大值或最小值）。根據(jù)本節(jié)知識的重點內容和學生學習難點，學生通過三個“探究”來完成增（減）函數(shù)概念的建立和理解；通過兩個“題組”的練習來強化函數(shù)單調性的理解和應用。

探究1根據(jù)表格數(shù)據(jù)（表1二次函數(shù)f(x)=x2的取值表），如何用函數(shù)變量關系描述函數(shù)圖像的“上升”“下降”變化情況呢？

探究2（形式化語言描述變化）如何利用函數(shù)解析式f(x)=x2來描述“隨著x的增大，相應地f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應地f(x)也隨著增大”。

其中，探究3讓學生進一步理解函數(shù)單調性中的“任意性”，同時啟發(fā)學生獲得感悟：通過觀察圖像，先對函數(shù)是否具有某種性質做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質的一種常用的方法。

題組1（教材練習1,2,3,4）：練習1是初步感受函數(shù)單調性的意義，學會用數(shù)學語言描述變量規(guī)律；練習2是在練習1的基礎上用數(shù)學單調性的圖像語言描述生活中氣溫變化規(guī)律；練習3是承接例1強化圖像法判定函數(shù)單調性以及指出單調區(qū)間，與練習2相反的角度來強化函數(shù)單調性和單調區(qū)間；練習4承接例題2強化用定義法判定函數(shù)單調性。

題組2（教材練習5）：練習5是承接例3,4并在練習1,2,3的基礎上，尤其是掌握練習2中的畫圖方法基礎上，強化數(shù)形結合的方法探求最大（?。┲档姆椒?。

綜上，本節(jié)中增（減）函數(shù)概念的形式化定義和函數(shù)單調性的證明是學生學習的難點；學生主要進行三個探究和兩組練習的學習活動來完成理解兩組定義和解決兩類問題，經(jīng)歷“作圖、觀察、歸納、總結”“分析、討論、描述”“練習”等系列學習活動。

四、教材分析的認知邏輯線

教材編寫一般要體現(xiàn)認知目標的定位和達成措施，因此教材分析中還蘊含一條認知邏輯線，即從目標定位到目標達成的邏輯線。按照認知邏輯線分析教材，能了解到學生在學習過程中或學習后在知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度、價值觀等單個或多個目標點上發(fā)展的大致定位。按照認知邏輯線分析教材就是要從預想中解決學生學得“怎么樣”的基本問題。在操作上，主要對兩個問題進行具體分析：第一，學生在認知上應該有怎么樣的目標定位？第二，學生通過怎么樣的方式達成目標？對于這兩個問題，可以從課程目標意志和教材著力體現(xiàn)的認知目標來分析。

1.分析目標定位

認知目標的定位和評價應作為教材的一個有機組成部分貫穿在每一章的學習。[8]認知目標是章節(jié)內容存在的依據(jù)所在，也是教材意圖的集中體現(xiàn)，因此，分析認知目標是凝練教學目標的基礎。在操作上，可以在整體把握課程標準的目標定位基礎上，繼解決“是什么”“如何教”“如何學”的問題后，深入分析教材在知識、技能、過程、方法、情感、態(tài)度、價值觀等目標點的體現(xiàn)，特別是關于前四個目標點的情況。在“單調性與最大（小）值”一節(jié)中，基于該節(jié)教材知識體系和教材內容的“三步曲”呈現(xiàn)路徑，可以分析得到教材在學生認知目標上有如下預設：

（1）建立增（減）函數(shù)的概念：通過觀察一些函數(shù)圖像的升降，形成增（減）函數(shù)的直觀認識。再通過具體函數(shù)值的大小比較，認識函數(shù)值隨自變量的增大（減?。┑囊?guī)律，由此得出增（減）函數(shù)的定義。掌握用定義證明函數(shù)單調性的基本方法與步驟。

（2）經(jīng)歷探究的過程，學會思考：函數(shù)單調性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學語言，理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調區(qū)間概念的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數(shù)學概念的形成過程，使學生形成數(shù)學思考的基本方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

（3）掌握判定函數(shù)單調性和求函數(shù)最值的方法：學生在理解增（減）函數(shù)定義的基礎上，掌握用圖像法和定義法判定函數(shù)的單調性，進而會利用圖像和函數(shù)的單調性求函數(shù)的最大（?。┲怠?/p>

2.分析目標達成

目標達成是從靜態(tài)的教材語言體系向靜態(tài)的課程目標的直接轉化和從動態(tài)的教學話語體系向靜態(tài)的課堂目標的間接轉換過程和方式。分析教材對目標的達成過程和方式能為教學的實施提供有利的參考。教材在建立增（減）函數(shù)的概念過程中，采用圖像語言讓學生認識到函數(shù)圖像的“上升”“下降”變化趨勢，直觀認識到函數(shù)單調性的意義，與此對應，圖像法作為了判定函數(shù)的單調性以及求函數(shù)的最大（?。┲档囊环N方法。在這個過程中，教材預設了對直觀想象核心素養(yǎng)的培育過程。而學生對于如何用形式化語言刻畫增（減）函數(shù)的定義通常會有困難，并且如何用這種形式化語言證明函數(shù)單調性也不容易。為了突破這些難點，教材在給出直觀認識基礎上，研究函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，形成單調性的定性認識：“在某區(qū)間上，隨著自變量x的增大，相應地函數(shù)f(x)的值也隨著增大”。隨后，再通過定量方式探索“對于(0,+∞)上任意的x1，x2的值，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)”，形成刻畫函數(shù)單調性的形式化語言。整個過程經(jīng)歷了“三步曲”，滲透了數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)培育過程。同時，在此過程中，學生加深了對已學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的理解，歸納出這三類簡單函數(shù)的單調性（參見表2），把已學知識和新學知識形成知識網(wǎng)絡，再次經(jīng)歷簡單建模過程。

表2 三類簡單函數(shù)的單調性

綜上，從認知邏輯線分析可以看出，教材在目標定位上主要在知識層面和過程與方法層面進行了設定，并通過特定的方式，如滲透核心素養(yǎng)的培育過程來落實認知目標。在知識層面上，學生建立增（減）函數(shù)的概念，并加以理解；在過程與方法層面上，學生經(jīng)歷探究的過程，學會思考，掌握判定函數(shù)單調性和求函數(shù)最大（?。┲档姆椒?。

知識邏輯線、教學邏輯線、學習邏輯線、認知邏輯線這四條教材分析線索是按漸進思維順序展開的，分別主要解決“是什么”“如何教”“如何學”“怎么樣”四個基本問題，使教材分析按照問題解決的線索延伸出去并向縱深方向發(fā)展，因此，四條邏輯主線在本質上是按照問題解決的主線展開的。四條邏輯線是基于教材分析的學科知識、教師教學、學生學習、考核評價的四個視角延伸出來的[9]，它們共同構成了教材分析的主體模型（參見圖5）。從案例中可以看出，按照這個模型分析教材時，我們需要抓住八個分析要點，即知識體系分析、教材重點分析、教學思路分析、教學方法分析、學習難點分析、學習活動分析、核心素養(yǎng)分析和認知目標分析。一般來說，當我們分析了八個要點時，對教材就能得到較為全面的理解。教師在分析教材時不僅要按照這種邏輯線索開展，還要結合教學的實際需求對教材進行合理重組、創(chuàng)造[10]，此外，分析教材還要根據(jù)具體的教材內容采用一些策略，比如目標化策略、結構化策略、生活化策略、主體化策略、教學程序化策略、工具化策略、縱橫比較策略、反思性策略等[11]，以保障教材分析的充分性、系統(tǒng)性和有效性。▲

圖5 教材分析的主體模型