王強(qiáng)國

（寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225800）

在數(shù)學(xué)的語言體系中，“數(shù)感”是一個(gè)非常優(yōu)美的詞匯，自提出以來，就受到廣大教師的熱捧，成為評課、說課等教研活動(dòng)中的常見語。但一線的教師對于“數(shù)感”有種“朦朧”的感覺，稍加追問，明顯底氣不足。心理層面的認(rèn)可與認(rèn)知層面的不足，帶來教學(xué)實(shí)踐的偏頗，影響課程目標(biāo)的落實(shí)，因此有必要對“數(shù)感”這一核心概念進(jìn)行更為深入的探討。

一、明晰：數(shù)感的內(nèi)涵界定

1.源自“課標(biāo)”的描述

教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》關(guān)于“數(shù)感”的詮釋是：“數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋?！盵1]

這段話未對數(shù)感內(nèi)涵做解釋，而是采用外延揭示的方式，從學(xué)習(xí)行為改變的視角，描述數(shù)感的表現(xiàn)，即理解數(shù)的意義，主要表現(xiàn)為五個(gè)“能”。這樣的表述采用“本體論”“價(jià)值論”與“方法論”相結(jié)合的方式呈現(xiàn)。如“能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系”，既是“數(shù)感”的表現(xiàn)，又是“數(shù)感”的價(jià)值，同時(shí)也可以理解為培養(yǎng)“數(shù)感”的途徑之一。相比于廣義理解的，將“數(shù)感”等同于“頭腦風(fēng)暴”“數(shù)學(xué)地思考”等解讀，內(nèi)斂許多。

教育部《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于“數(shù)感”的表述是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！盵2]

這一表述由兩句話構(gòu)成。第一句話是數(shù)感的界定，“數(shù)感主要是……的感悟”；第二句話是數(shù)感的功能，“建立數(shù)感有助于……”這種表述更簡潔、更通俗、更符合一線教師的認(rèn)知傾向。在功能描述中，兩個(gè)方面，緊扣“現(xiàn)實(shí)生活”與“具體情境”，凸顯“數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活”的學(xué)科理念。從某一角度也揭示出，“數(shù)感”的培養(yǎng)不能空洞地說教。無論是“實(shí)驗(yàn)稿”還是“2011年版”的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，對“數(shù)感”都采用描述性的定義方式，這有利于一線教師的理解與踐行。

2.傾向“學(xué)術(shù)”的刻畫

2011年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，對“數(shù)感”界定的核心詞之一是“感悟”，“感悟”的本意是“有所觸而領(lǐng)悟”，因此，有教者將“數(shù)感”理解為“數(shù)的感悟”，不無道理。國內(nèi)也有一些學(xué)者，力圖用更學(xué)術(shù)化的方式來刻畫“數(shù)感”。

有學(xué)者認(rèn)為：“數(shù)感是人對數(shù)與運(yùn)算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題作出有用的策略?！薄皵?shù)感是一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)。數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。它是建立明確的數(shù)概念和有效地進(jìn)行計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題建立聯(lián)系的橋梁?！盵3]

有學(xué)者認(rèn)為“數(shù)感”一詞的用法與“語感”“方向感”“美感”“質(zhì)感”等詞的用法類似，這些詞語都代表了一種相關(guān)的能力，但與能力相比，又都含有一種“直感”的含義，特別是指對于某種特定的事物或現(xiàn)象或?qū)傩曰蚍矫娴拿舾行裕跋嚓P(guān)的鑒別（鑒賞）能力，而后者通常又并非是一種自覺的過程，仿佛已經(jīng)成了主體的一種本能，一種直接的“感知”，從而在很多情況下甚至是說不清、道不明的。[4]

有學(xué)者認(rèn)為，數(shù)感是以“數(shù)概念”在人腦中的擴(kuò)展而產(chǎn)生的一種對數(shù)學(xué)問題的敏感。首先，數(shù)感是一種對數(shù)字（量）的直覺，并且是一種敏捷的感知，它可以在較短的時(shí)間里通過對數(shù)學(xué)的“第一印象”反應(yīng)為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)去表示量，幫助主體從感知的層面轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)思維。其次，數(shù)感是一種具有培養(yǎng)性的直覺，它通過人對“數(shù)概念”的擴(kuò)張和延伸而反映為對數(shù)學(xué)感知不斷提升的靈敏性。最后，數(shù)感作為直感，它具有非邏輯性，非演繹性，反應(yīng)時(shí)間短，穩(wěn)定性差等特性。[5]

曹培英老師認(rèn)為：“數(shù)感是數(shù)的抽象意義與數(shù)的具體意義的統(tǒng)一，是一種自覺地基于數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實(shí)的問題情境，解釋數(shù)和應(yīng)用數(shù)的意識(shí)與能力?！盵6]

以上觀點(diǎn)，表述不盡相同，共性之處在于：一方面，認(rèn)同“數(shù)感”是一種“意識(shí)”，“自覺”是這種“意識(shí)”的顯著特征；另一方面，“數(shù)感”既有感知的成分，又有思維的成分。課標(biāo)中通俗的解釋與學(xué)者們趨向“學(xué)術(shù)”的刻畫，兩者結(jié)合，使我們對“數(shù)感”有更為全面、深刻的認(rèn)知。

二、審視：數(shù)感的培養(yǎng)誤區(qū)

一線教師歷來注重?cái)?shù)的感悟，實(shí)踐中也常見一些精彩的做法。雖沒有“數(shù)感”一詞，但對其背后的本質(zhì)，是有所把握的。自引進(jìn)這個(gè)概念后，在尋找新的表現(xiàn)形式與新的教學(xué)對策時(shí)，有時(shí)會(huì)被新包裝迷惑，盲目“摸著石頭過河”，帶來實(shí)踐的偏頗。

1.先“估”再數(shù)的泛濫

在教學(xué)實(shí)踐中，先“估”再數(shù)一度成為引入數(shù)概念教學(xué)的“標(biāo)配”。誠然，估算在日常生活中有著廣泛的運(yùn)用，也是展現(xiàn)和提升學(xué)生“數(shù)感”的途徑之一。但在以“數(shù)感”培養(yǎng)為指向的教學(xué)中，“估”的時(shí)機(jī)需要慎重選擇。因?yàn)椤肮馈毙枰獙W(xué)生具備一定的能力、經(jīng)驗(yàn)等基礎(chǔ)，也需要一定的訓(xùn)練，否則只能是憑空“亂猜”。因此，不考慮學(xué)生的實(shí)際，一味地先估一估，再數(shù)一數(shù)，值得反思。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（二年級下冊）“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)。引入時(shí)，教者出示一疊厚厚的A4紙，“同學(xué)們，大家來估計(jì)一下，這疊紙有多少張？看看誰估計(jì)得最準(zhǔn)？”學(xué)生很興奮，紛紛說出自己的“猜想”，有100張，有150張，有300張，最多者估計(jì)有500張。教者揭示答案“1000張”，引得學(xué)生一片驚呼聲。為什么學(xué)生“不靠譜”？因?yàn)閷W(xué)生沒有這個(gè)能力，事實(shí)上，即使一個(gè)成人，經(jīng)常接觸紙張（書籍等），但面對教者出示的這疊紙，也未必能估計(jì)出結(jié)果。因此，在教學(xué)數(shù)概念前，上述活動(dòng)更實(shí)在的價(jià)值應(yīng)該在于制造“懸念”，激發(fā)學(xué)生探究興趣，至于“數(shù)感”培養(yǎng)則有些虛幻。

2.為“量”所困的沉溺

數(shù)是量的共同屬性的抽象與表征，高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中“數(shù)感就是數(shù)量意識(shí)”，數(shù)和量可以混為一談，比如，變數(shù)與變量是同義詞。但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)和量卻是兩個(gè)既有聯(lián)系又有區(qū)別，并且常常不能不加以區(qū)分的概念。正如在中學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)可以看作小數(shù)，而在小學(xué)數(shù)學(xué)中，它們是兩個(gè)不同的概念。上海大世界吉尼斯紀(jì)錄活秤王何成法，經(jīng)營魚生意，讓顧客稱奇的是，每次指著一條魚問他有多少重，他用手摸上一把，掂一掂，誤差只在3錢到5錢之間。這里，何師傅展示出的，確切說不是“數(shù)感”極佳，而是“量感”超人。兩者混淆，是“數(shù)感”培養(yǎng)中常見的誤區(qū)。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)世界中，沒有抽象的數(shù)，有的都是數(shù)與量的結(jié)合體，“數(shù)感”培養(yǎng)難免涉及量，并且生活中，“數(shù)感”又通常表現(xiàn)為觀察事物時(shí)的數(shù)量意識(shí)，或者反映為自覺地聯(lián)系量，將數(shù)與具體事物聯(lián)系起來。[7]這個(gè)案例在提醒我們，“數(shù)感”的培養(yǎng)，不能過渡地依賴量。換個(gè)角度思考，無論整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)都可以帶單位表示數(shù)量，也可以不帶單位表示兩個(gè)數(shù)量間的關(guān)系，即有量綱與無量綱并存。因此，“數(shù)感”的培養(yǎng)并非只有“聯(lián)系量”一條途徑。

3.學(xué)“用”背離的教條

在具體情境培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”，是一條有效的路徑。一方面，有利于學(xué)生充分運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自主建構(gòu)與理解；另一方面，也有利于學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。在情境設(shè)置中，需要我們適當(dāng)?shù)馗脑欤岳趯W(xué)生的“數(shù)學(xué)化”。一線教師在“數(shù)感”的培養(yǎng)中，常常截取生活中的素材，改造時(shí)會(huì)忽略情境本身的真實(shí)性，步入學(xué)用背離的誤區(qū)。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（四年級下冊）“認(rèn)識(shí)整萬數(shù)”教學(xué)。練習(xí)階段，教者安排一個(gè)估人民幣的活動(dòng)，情境如下：張叔叔購買一輛價(jià)值100萬的跑車，他手中捧著的這堆錢夠嗎？在出示張叔叔手捧整捆百元人民幣（遮蓋著）的圖片基礎(chǔ)上，依次出示100元單張、10 000元一疊，供學(xué)生參考，效果不佳，又出示100 000元一捆的圖片，此時(shí)，多數(shù)學(xué)生估計(jì)到張叔叔手中的錢不到100萬，教者揭示謎底，只有80萬，然后添上兩捆，正好100萬。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)沒有問題，但不禁要問：信息化的今天，支付的方式有多種，使用巨額現(xiàn)金支付的少之又少，這樣的“數(shù)感”有人需要嗎？

三、建構(gòu)：數(shù)感的培養(yǎng)對策

小學(xué)生“數(shù)感”發(fā)展可劃分為三個(gè)階段，即數(shù)覺階段、符號階段、模型階段（史寧中語），與之對應(yīng)的課程內(nèi)容分為三個(gè)學(xué)段，第一學(xué)段（一、二年級），第二學(xué)段（三、四、五年級），第三學(xué)段（六年級）。[8]教學(xué)實(shí)踐中，不妨著眼于以下三個(gè)方面：

（一）在認(rèn)數(shù)的過程中形成“數(shù)感”

1.數(shù)出“數(shù)感”

數(shù)數(shù)是數(shù)概念教學(xué)中常見的環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的基本策略。這里的數(shù)數(shù)區(qū)別于課堂中的“念數(shù)”，需要借助學(xué)生熟知的直觀具體的實(shí)物，從視覺上感受被數(shù)物體與數(shù)的一一對應(yīng)。看似簡單的過程，蘊(yùn)含豐富的教學(xué)內(nèi)涵。首先，在數(shù)數(shù)的過程中，要重視引領(lǐng)學(xué)生感知數(shù)的兩種形式。即基數(shù)和序數(shù)形式，基數(shù)形式的確立有助于學(xué)生明白已數(shù)物體的總個(gè)數(shù)，正著數(shù)和倒著數(shù)兩種數(shù)法并進(jìn)，有利于學(xué)生理解數(shù)數(shù)與加減法之間的聯(lián)系，比如桌面上有5個(gè)蘋果，從1數(shù)到5，接著5再數(shù)一個(gè)是6個(gè)，相當(dāng)于5個(gè)加上1個(gè)；反過來從5倒數(shù)一個(gè)數(shù)是4，相等于5個(gè)減去1個(gè)。序數(shù)形式即數(shù)字在計(jì)數(shù)順序中的位置，它有利于學(xué)生理解數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，教學(xué)中可以結(jié)合學(xué)生的排隊(duì)等情境加以理解。比如從前往后數(shù)，某個(gè)小朋友排在第六個(gè)，那么他前面一共有5個(gè)小朋友，前面一個(gè)排在第五，后面一個(gè)排在第七。其次，要注重“載體”的選擇。數(shù)實(shí)物離不開“量”，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”，不宜選擇特殊的量，比如，小小的豆、薄薄的紙等，有的不常見，有的難以感知。精心的選擇，可以排除“量”的干擾。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（一年級上冊）“認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)”教學(xué)。教者將3個(gè)△、3個(gè)○、3顆☆放在一起比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然表示的物體不同，但數(shù)量都是“3”，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步追問“3”還可以表示哪些物體？這里選取的“△”“○”“☆”的量感，學(xué)生是有一定基礎(chǔ)的，無須格外的關(guān)注。

2.讀出“數(shù)感”

數(shù)的讀法有其通用的法則，比如從高位讀起，以及中間、末尾有0的區(qū)別對待等。一線教師在教學(xué)中，關(guān)注的重點(diǎn)往往是法則的遵從與否，即學(xué)生讀得對不對，而忽略了讀數(shù)的“數(shù)感”功能。在數(shù)概念的教學(xué)中，教者匠心的處置，讀數(shù)也可以讀出“數(shù)感”。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（二年級下冊）“認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)的數(shù)”教學(xué)。練習(xí)環(huán)節(jié)，教者出示題組：（1）“2356”讀作（）千（）百（）十（）；（2）“2356”由（）個(gè)千，（）個(gè)百，（）個(gè)十和（ ）個(gè)一組成；（3）“2356”=（ ）×1000+（ ）×100+（）×10+（）。三道習(xí)題本質(zhì)是一回事，掌握讀法的情況下，可以解答。但稍加比較會(huì)發(fā)現(xiàn)三道題的難度系數(shù)在逐題增加，一題比一題更抽象、更形式化。事實(shí)上，只要基于學(xué)生的理解，當(dāng)學(xué)生知道讀的是什么，就可以讀出“數(shù)感”，而且是脫離“量”的抽象的“數(shù)感”！讀數(shù)需要提煉通則、通法，但有時(shí)還可以適當(dāng)?shù)亍巴ㄈ凇?。再如?/3”讀作“三分之一”，讀出了分?jǐn)?shù)的意義，有教者跟進(jìn)一步：“同學(xué)們，也可以理解為三分之一?！薄皵?shù)感”更強(qiáng)烈。語言是思維的外殼，當(dāng)思維充斥著讀數(shù)法則，讀后又不思考讀了什么，那么讀數(shù)的語言就只是法則的外殼了。

3.看出“數(shù)感”

作為對數(shù)的一種感悟——數(shù)感，雖有一定的思維成分，但更應(yīng)該是一種“第一”或者類似“直覺”的反應(yīng)。因而，“數(shù)感”也是可以看出來的。教學(xué)中，需要借助直觀教具的實(shí)物圖，并且這些實(shí)物圖是學(xué)生熟知的、有相對固定的模式的。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（二年級下冊）“認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)”教學(xué)。教材中安排的“立方體模型”和“珠像”以及“小棒”，都有這樣的功能。

實(shí)踐證明，“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”，聯(lián)系生活實(shí)際（現(xiàn)實(shí)情境中的量）與借助幾何直觀發(fā)展學(xué)生的“數(shù)感”都是有效的策略。而對于更大的數(shù)如“億”的認(rèn)識(shí)，則主要依靠對已有數(shù)概念的認(rèn)知以及十進(jìn)制的理解，借助推理形成概念，發(fā)展“數(shù)感”。

（二）在運(yùn)算的過程中建立“數(shù)感”

1.估出“數(shù)感”

“數(shù)感”與“估算”都具有一種“模糊性”，兩者關(guān)系密切。一方面“數(shù)感”的培養(yǎng)需要學(xué)生具有一定的“估算能力”；另一方面，有效的“估算”又需要學(xué)生的“數(shù)感”來支撐。這也從一個(gè)角度解釋了實(shí)踐中教者對“估算”的情有獨(dú)鐘。因而，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，巧妙的引導(dǎo)，“估算”也是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的方式之一。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（五年級下冊）“異分母分?jǐn)?shù)的大小比較”教學(xué)。練習(xí)中，教者出示這樣的情境：甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)前往B地，3小時(shí)后，甲車行了全程的2/3，乙車行了全程的3/7，哪輛車的速度快？在同樣的時(shí)間內(nèi)，行駛路程長則速度快，因此，情境中考查的是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小比較，學(xué)生紛紛進(jìn)行通分，并比較得出結(jié)論，教者引導(dǎo)：“如果不通分，你能估計(jì)出哪輛車的速度快嗎？”短暫的沉默，學(xué)生回答：“2/3大于1/2，也就是甲車超過了中點(diǎn)，而3/7不到1/2，乙車還沒有到達(dá)中點(diǎn)，所以甲車快?！苯陶哌M(jìn)一步追問：“你們怎么知道2/3大于1/2，3/7不到1/2的……”1/2即一半，這個(gè)“數(shù)感”學(xué)生是有的，有了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較就能做出正確的判斷。這個(gè)案例也提醒我們估算需要一定的標(biāo)準(zhǔn)作為參照物，只有與一定的標(biāo)準(zhǔn)做比較，估出的結(jié)果才能落在合理的區(qū)間。

2.算出“數(shù)感”

運(yùn)算教學(xué)是培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生數(shù)感的主要途徑?！皵?shù)的運(yùn)算”的過程往往就是學(xué)生鞏固、發(fā)展“數(shù)感”的過程。需要教者幫助學(xué)生在計(jì)算與計(jì)算之間、計(jì)算與出現(xiàn)的特殊數(shù)字之間建立聯(lián)系。[9]如蘇教版數(shù)學(xué)教材（一年級下冊）“100以內(nèi)的加法（一）”教學(xué)。出示：25+26、39+17、12+35，根據(jù)相關(guān)的計(jì)算結(jié)果和數(shù)字聯(lián)系，每道題都可以應(yīng)用不同的計(jì)算策略，第一題根據(jù)已有事實(shí)“25+25=50”得出25+26=51；第二題可以轉(zhuǎn)化為40+16；第三題可以拆分為“10+30+2+5”的數(shù)字組合。在乘除法的計(jì)算中，這樣的教學(xué)案例也時(shí)常出現(xiàn)。如“45×101”，學(xué)生會(huì)自然想到101個(gè)45就是100個(gè)45加上1個(gè)45，即：45×101=45×100+45，聯(lián)系乘法的意義以及乘法分配律，能思考得出簡潔的算法。此外，運(yùn)算中，對于一些數(shù)字的轉(zhuǎn)化，也成為培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的有力支撐。如0.25=1/4=25%，有了這樣的認(rèn)知，學(xué)生在遇到諸如15÷25%時(shí)，就會(huì)自動(dòng)地轉(zhuǎn)化為15÷1/4=15×4=60。相比標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)算程序，這種依據(jù)“數(shù)感”選擇的計(jì)算方法更有效。

3.推出“數(shù)感”

這里的“推”是指基于計(jì)算的“推理”。教學(xué)中，對于小數(shù)量的物體，學(xué)生容易留下深刻印象，并建立概念。當(dāng)數(shù)目越來越大時(shí)就難以把握了，一方面我們無法為學(xué)生提供那么多的實(shí)物，學(xué)生得不到視覺上的感知；另一方面，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力也是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想方法之一。多向的推算想象是建立大數(shù)數(shù)感的有效方法。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（四年級下冊）“一億有多大”教學(xué)?；顒?dòng)安排：數(shù)一億本練習(xí)本大約需要多長時(shí)間？教者先讓學(xué)生數(shù)出100本練習(xí)本大約用了90秒，然后計(jì)算出數(shù)1萬本練習(xí)本大約需要90×100=9000（秒），數(shù)一億本大約需要9000×10000=90000000（秒），最后通過計(jì)算器將“秒”換算成“年”：90000000÷60÷60÷24≈8.56（年）。接著教者讓學(xué)生通過計(jì)算得出一億枚硬幣摞在一起大約有150000米，一億粒米大約重2500千克等，博得學(xué)生一陣陣的驚呼聲，但稍加思考，便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些都無法幫助學(xué)生建立一億的“數(shù)感”，猶如語文中的比喻誤區(qū)，用另一種抽象的事物比喻當(dāng)前的抽象事物。真正能留在學(xué)生記憶中的關(guān)鍵性支撐是“一萬個(gè)萬是一億”。這也揭示出直觀作用的階段性，以及適時(shí)抽象、推理的必要性。

（三）在問題的解決中發(fā)展“數(shù)感”

1.聯(lián)系實(shí)際，用出“數(shù)感”

小學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)際問題都會(huì)涉及數(shù)，因此，在學(xué)生綜合運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問題的過程中，“數(shù)感”常常自然地表現(xiàn)。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（三年級下冊）“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”復(fù)習(xí)。教材中有這樣一道習(xí)題，如圖1：

圖1

張華從學(xué)校出發(fā)，走了15分鐘，每分鐘走70米。

（1）如果向東走，現(xiàn)在在少年宮的東面還是西面？

（2）如果向北走，大概走到了哪個(gè)位置？在圖中用“?””表示出來。

學(xué)生計(jì)算得出張華15分鐘一共走了70×15=1050（米），而要正確地標(biāo)注，需要進(jìn)行這樣的判斷：1050比1000多一點(diǎn)；1050比2000的一半多一點(diǎn)。在這樣的思考過程中，不用考慮1050米、2000米到底有多長，作為單位的米，如果換作其他單位，仍然基于上述的判斷，這是“數(shù)感”“自動(dòng)化”的反應(yīng)。習(xí)題設(shè)置巧妙地?cái)[脫了“量”的干擾，呈現(xiàn)出單純的“數(shù)感”。

2.專項(xiàng)訓(xùn)練，練出“數(shù)感”

教學(xué)中，一些關(guān)于數(shù)量關(guān)系的專項(xiàng)練習(xí)，也有練出“數(shù)感”的功能。如蘇教版數(shù)學(xué)教材（六年級下冊）“稍復(fù)雜的應(yīng)用題”復(fù)習(xí)。教者出示：王大爺家有白兔36只，____，灰兔有多少只？（你有不同方法嗎？）要求學(xué)生根據(jù)這些信息，補(bǔ)充一個(gè)條件，求出灰兔有24只。這道開放題為學(xué)生提供了廣闊的思維空間，不同學(xué)生的答案也顯示出“數(shù)感”的不同層次。生1：“灰兔比白兔少12只”，類似答案“白兔比灰兔多12只”；生2：“灰兔比白兔的一半多6只”，類似答案“白兔比灰兔的兩倍少12只”；生3：“灰兔的只數(shù)是白兔的，類似答案“白兔只數(shù)是灰兔的生4：“白兔只數(shù)比灰兔多，類似答案“灰兔只數(shù)比白兔少生5：“白兔只數(shù)與灰兔只數(shù)的比是3:2”，類似答案“灰兔只數(shù)與白兔只數(shù)的比是2:3”……這里同樣擺脫“量”的束縛，既培養(yǎng)了學(xué)生的“數(shù)感”，也練習(xí)了不同類型的實(shí)際問題的解題方法，一舉多得。事實(shí)上，即便是解決脫離現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)問題，也常常會(huì)用到“數(shù)感”，如，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等，激活“數(shù)感”的過程也反作用于“數(shù)感”的提升！▲