杜宵豐，周 達，劉 堅

（北京師范大學中國基礎教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875）

一、研究背景

近年來，數(shù)學課程改革及教育工作者均達成一個共識，他們都同意數(shù)學推理應該成為學生數(shù)學活動經(jīng)驗的中心。這在美國（NGA&CCSSO,2010）、英國（Department for Education,2013）、新加坡（Singapore Ministry of Education,2013）、中國（中華人民共和國教育部,2011）等國家和地區(qū)最新的國家數(shù)學課程中都有所體現(xiàn)。特別是英國國家數(shù)學課程為所有年齡的學生設置了有關(guān)推理和證明的核心教學目標。盡管數(shù)學推理在學校教育中的重要性越來越得到認可，但不同國家的中學生在數(shù)學推理的學習上仍面臨著困難。此外，TIMSS1995—1999的錄像研究表明，很多國家的教師對于數(shù)學推理的理解和教學是存在問題的，并且錯誤地將數(shù)學推理置于學校教育的邊緣地位。[1]自2000年我國實行數(shù)學新課改以來，中小學數(shù)學課程形態(tài)正在逐步發(fā)生轉(zhuǎn)變，推理能力作為新課程明確提出的核心概念之一，現(xiàn)職的初中教師對于其是如何理解的？又是如何教學的？很多已有研究探討了關(guān)于數(shù)學、數(shù)學教學、數(shù)學學習，甚至于數(shù)學問題解決中的教師信念，但是數(shù)學推理相較之下就非常少。

在教師信念相關(guān)研究中，歐內(nèi)斯特（Ernest，1989）認為影響數(shù)學教師教學實踐最主要的因素之一是教師對于數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學教學、學生數(shù)學學習的觀點。[2]湯普遜（Thompson，1992）分析了數(shù)學教師信念的相關(guān)研究文獻后指出，需要針對教師的數(shù)學信念、教師教學與學習信念進行更深入的探討，以增進數(shù)學教學與學習的效果。[3]賽諾芬托斯（Xenofontos，2014）和安德魯斯（Andrews，2014）采用質(zhì)性訪談的方法，從數(shù)學解題的本質(zhì)、教學、學習和自我效能上分析了教師數(shù)學解題的信念。[4]基于已有研究，筆者欲針對我國初中數(shù)學教師，從數(shù)學推理的本質(zhì)、數(shù)學推理教學的信念以及數(shù)學推理學習的信念三個方面進行深入探討。具體而言，本研究有如下兩個研究問題：（1）初中數(shù)學教師認為何謂數(shù)學推理？（2）初中數(shù)學教師認為數(shù)學推理如何教與學？

二、研究方法

陳向明指出，質(zhì)性方法具有對教師教育研究的適切性。[5]教師信念是教師在教學情境和教學歷程中所持有的對課程、教學、學習等相關(guān)因素的思想和觀點，其范圍涵蓋教師的教學實踐經(jīng)驗與生活經(jīng)驗，構(gòu)成一個互相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)，從而指引著教師的思考與行為過程。[6]在這個過程中，教師如何從“知”到“行”，個案研究方法提供了從資料收集到分析解釋、產(chǎn)生結(jié)論的基本途徑。

（一）研究對象的選擇

2016年10月，我國Z市122所初中的46951名八年級學生參加了北京師范大學“區(qū)域教育質(zhì)量健康體檢”項目的測試。數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，Z市X中學的學生在數(shù)學推理能力上的表現(xiàn)非常突出。因此，筆者在該校教研室主任的幫助和推選下，選擇了八年級的兩位數(shù)學教師：H老師（女，6年教齡）和S老師（女，19年教齡）。從學生數(shù)據(jù)和教研室主任的介紹來看，這兩位教師可以被認為是“能夠有效促進學生數(shù)學推理能力”的優(yōu)秀教師。

（二）資料收集

本研究資料收集的方式主要是半結(jié)構(gòu)式訪談。研究工具主要根據(jù)Xennfontos和Andrews針對數(shù)學教師對于數(shù)學問題解決的教師信念的訪談提綱修改而來。以修訂的訪談問題作為訪談內(nèi)容的主軸，再隨著研究對象的回應繼續(xù)提問或加以追問，以深入收集研究對象的信息，每位教師皆以一對一的形式進行訪談，地點均選擇在研究對象所在學校中安靜的會議室進行，以便錄音作為訪談內(nèi)容的記錄，而在開始訪談和錄音之前，筆者均得到兩位老師的授權(quán)。訪談最終總時長為214分46秒，形成共計31526字的原始文本。

（三）資料分析

資料分析的步驟如下：首先，依據(jù)訪談問題的三個維度進行初步的分類，分別以A、B、C代表，其中A代表數(shù)學推理的本質(zhì)、B代表教師數(shù)學推理的教學、C代表學生數(shù)學推理的學習。其次，將分類出來的資料以教師談論不同的、有意義的話題為界限，切割成更小的段落，這些單位化的資料在此稱為分析單位，這些分析單位可能是一句話、一段敘述或是一個舉例等，再根據(jù)分析單位的前后順序以阿拉伯數(shù)字依次編號，比如編碼A-H-10表示在數(shù)學推理的本質(zhì)下，H教師的第10個分析單位。最后，將資料編碼，根據(jù)各分析單位中的關(guān)鍵字詞進行初步分類，經(jīng)過不斷的比較和調(diào)整，將類似性質(zhì)的分析單位加以合并，或?qū)⒍嘀匾饬x的分析單位加以切割，逐漸形成類別并命名。

三、結(jié)果與分析

（一）數(shù)學推理的本質(zhì)

教師對于數(shù)學推理本質(zhì)的理解會影響他們對教材中推理任務的識別和應用，會影響他們對學生推理的反饋，會影響他們對學生學習推理的期望。[7]因此，筆者首先對兩位教師對數(shù)學推理的內(nèi)涵和類別認識進行描述。

1.數(shù)學推理的內(nèi)涵

在數(shù)學推理的內(nèi)涵下，筆者從結(jié)構(gòu)、思維和解決問題三個角度來編碼。

（1）推理的結(jié)構(gòu)

“在一個背景材料下，我們根據(jù)事件之間的聯(lián)系，將整個過程進行梳理，這個過程很重要，并且我們需要追問自己推理的條件是什么？推出的結(jié)論又是什么？在這個過程中不斷地反思和追問自己非常重要?！保ˋ-H-6）

“我感覺是有這個題設或者有這個條件，然后通過相關(guān)的一些知識得到一些結(jié)論?！保ˋ-S-16）

（2）邏輯思維的過程

“數(shù)學推理是經(jīng)過綜合性思考的過程?！保ˋ-H-2）“我覺得邏輯性也得更強一些，你得發(fā)展學生邏輯性思維嘛。”（A-H-17）

（3）解決問題的過程

“與一般推理不同的地方在于數(shù)學推理講究的是如何把一個實際問題數(shù)學化，并建立數(shù)學模型解決這個問題?！保ˋ-H-10）

“我可能想的是對于一個問題的解決過程。”（A-S-7）

對于H和S老師而言，數(shù)學推理應該包含條件（前提）和結(jié)論，并需要運用已有知識和經(jīng)驗建立二者之間的邏輯關(guān)系，顯然他們能清楚地識別數(shù)學推理的結(jié)構(gòu)；兩位教師還提到推理是問題解決的過程，且H老師還提到了在一定背景材料下的數(shù)學化。這與學術(shù)界從問題解決的視角關(guān)注產(chǎn)生推理的過程而不是結(jié)果的觀點非常相似。此外，H老師指出推理過程需要不斷地反思和追問，說明H老師對于推理的理解包含了元認知的觀點。而已有研究指出，反思、評價、調(diào)節(jié)等元認知活動對于學生給出正確的推理具有重要意義。[8]綜上可知，兩位教師對于數(shù)學推理內(nèi)涵的把握是精準的，而且是多角度的。

2.數(shù)學推理的類別

在數(shù)學推理的類別下，筆者從推理的形式和內(nèi)容兩方面去進行編碼。

（1）推理的形式

對于S老師來說，她對數(shù)學推理無法自行給出一個明確的分類，因此筆者給予了適當?shù)囊龑А?/p>

筆者：您認為找規(guī)律是數(shù)學推理嗎？

S老師：找規(guī)律是數(shù)學推理，需要探索其中的一般性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論。（A-S-26）

筆者：那您覺得數(shù)學里的證明和找規(guī)律有什么不同呢？

S老師：證明需要有充分的前提條件，為的是驗證結(jié)論的正確性。而找規(guī)律是根據(jù)題目整體的變化趨勢，找到其中一個或多個變化的量。如果證明是依據(jù)一些定理、公理來推出結(jié)論，那找規(guī)律則是通過細致的觀察發(fā)現(xiàn)問題中的變化趨勢。（A-S-27）

其實，S老師清楚地知道演繹和歸納的不同，按照她的觀點，前者旨在驗證，后者旨在探究，欠缺的僅僅是無法準確地叫出二者的正式名稱。

（2）推理的內(nèi)容

“如果結(jié)合數(shù)學課程的內(nèi)容來對推理進行分類，我覺得推理應該包括圖形推理、代數(shù)推理、規(guī)律推理等?！保ˋ-H-19）

顯然，H老師是根據(jù)數(shù)學知識來劃分推理的。雖然H老師表示對推理的形式（演繹和歸納）并不熟悉。但是在筆者向H老師展示了一道演繹和一道歸納的具體示例后，她能夠很快想到內(nèi)容分類和形式分類之間的對應關(guān)系——“圖形推理更多的指向演繹，規(guī)律推理指向歸納，而代數(shù)推理相對比較綜合”（A-H-29）。

在隨后的訪談中H老師還提到了有關(guān)數(shù)學推理的作用——“每一個知識點都可以有它自己的推理”（A-H-22），“每一塊知識內(nèi)容也都會有其內(nèi)在的邏輯性關(guān)系”（A-H-24）。即，推理有助于理解數(shù)學知識，有助于建立知識之間的聯(lián)系，將所學知識系統(tǒng)化。

綜上可以看出，在沒有提示和引導的情況下，兩位教師都無法準確說出演繹和歸納兩種推理形式，而這在課程標準中是有明確描述和體現(xiàn)的。但與此同時，兩位教師都能夠結(jié)合自己的實踐和經(jīng)驗給出他們對于推理類別的合理劃分。

（二）教師的數(shù)學推理教學與學習信念

在資料整理和分析的過程中，發(fā)現(xiàn)教師通常提到教學時，也會提到學生的學習，二者相互穿插，因此筆者將教師的教學信念與學習信念合并在一起，統(tǒng)稱為教師的數(shù)學推理教學與學習的信念。

1.H老師

在推理的教學與學習部分，首先，H老師提到了學生的個體推理，即學生需要親身體驗數(shù)學推理建構(gòu)的獨立探究過程。

“在課堂教學中，我往往不會讓學生直接去證明對的結(jié)論，而是呈現(xiàn)給學生正確未知的結(jié)論，由此激發(fā)學生主動參與推理活動的積極性。（B-H-7）數(shù)學推理的學習需要靠學生自己去切身感受，因此，我在課堂上會給予學生一定的自主空間。（B-H-3）不同的學生從不同的角度給出推斷的理由，而我的工作就是對學生的推理給出相應的評判，指出其優(yōu)點或不足，發(fā)現(xiàn)一些隱含的想法。（B-H-14）”

其次，H老師強調(diào)了學生的集體推理，即學生要以小組合作的方式通過討論與互動去共同構(gòu)建數(shù)學推理，在合作推理的過程中精細化個體的推理策略知識。

“在復雜的數(shù)學問題中，學生可能不知道應該使用哪些定理和性質(zhì)來進行推理，或者推理出很多零碎的結(jié)論卻不知道應該聯(lián)系哪些推論才能真正解決問題。（B-H-29）我所教的班級一般采用ABBC的小組模式，A是優(yōu)秀生，B是中等生，C是較差生，人數(shù)一般在4—5人。由優(yōu)秀生擔任學習小組的組長，對小組的討論與合作起到帶動的作用（B-H-31）。在小組合作的推理活動中，學生會受到或給予別人指導，相互借鑒和學習，了解好的策略是什么樣的，發(fā)現(xiàn)自身的不足又在哪里，從而優(yōu)化自己的解題思路。（B-H-46）”

接著，H老師指出學生常常依賴于教師等外部權(quán)威去判斷數(shù)學推理的有效性，因此在課堂的展示交流環(huán)節(jié)需要著重強化學生對數(shù)學推理的理解和評價能力。

“我在課上和課下發(fā)現(xiàn)很多學生在解答正確的情況下，經(jīng)常找我或班里的好學生去判斷他們的推理是不是對的，當?shù)玫轿业目隙〞r，他們才會覺得自己做對了。（B-H-42）為了避免學生簡單依靠教師的權(quán)威來被動地接受推理，在課堂的展示交流環(huán)節(jié)，當不同的小組或?qū)W生表達自己的解題思路時，我會要求一些學生在黑板上邊聽邊寫出別人的推理過程。我自己也會非常仔細地聽，發(fā)現(xiàn)其中隱含的觀點，引導學生去理解別人的想法，并通過說理去反駁別人或堅持自己的主張，而不是簡單地接受誰的觀點。（B-H-43）”

最后，H老師強調(diào)應該通過方法遷移來深化學生的數(shù)學推理技能，而體現(xiàn)對所學知識靈活運用的綜合與實踐活動為此提供了契機。

“實踐的主題一般是我結(jié)合課堂的學習內(nèi)容精心設計的。主題選定后，我鼓勵學生分組討論出很多有意思的方案。（B-H-56）我不會干涉學生的推理活動，但我會穿插其中詢問學生一些問題，比如‘使用以前學過的推理方法可以解決這個問題嗎？請你解釋一下為什么這個數(shù)學推理中使用的觀點不能用到這個問題里？’等，然后學生進一步修訂方案后，步入現(xiàn)場進行調(diào)查，最后形成實踐成果后貼到班級的墻面上，這樣其他學生也可以從所解決的問題中受益。（B-H-63）”

2.S老師

在推理的教學與學習部分，兩位教師有很多相同之處，畢竟同屬一所學校、一個年級，兩位教師也經(jīng)常在一起交流和探討。比如，S老師也談到學生要通過個體探究、集體互動的方式來學習數(shù)學推理?！皩W生首先要通過自己的學習去摸索，然后他們才會經(jīng)過自己的腦袋去思考問題?！保˙-S-34）“為了推動班級的互動，我會記錄學生典型的錯誤解法和正確解法，第二天在班上匿名展示，雖然學生可以辨別哪種思路是自己的，但事實可能是班級中的其他學生也是用同樣的方式解決這個問題。正因為如此，學生才不會注意誰的想法被批評了，這使得討論能夠聚焦在如何更好地推出結(jié)論上?！保˙-S-36）

此外，S老師為了幫助學生書寫推理，采用了如下很有特點的方式。“我會用白色粉筆寫下標準的證明，同時用紅色粉筆寫下與這個證明有關(guān)的想法。這些想法不一定是嚴謹?shù)模膊灰欢ㄊ亲C明本身一定要有的，而是證明過程中所涉及的思維發(fā)展脈絡，可以是逆向考慮的想法，也可以是其他有助于構(gòu)造有效證明的內(nèi)容?！保˙-S-43）

S老師與H老師最大的不同之處是她反復提及“訓練”這樣的本土概念?！坝柧殹痹赟老師的陳述中出現(xiàn)的頻率為21次，遠高于H老師的3次。進行深度挖掘后發(fā)現(xiàn)其隱含著S老師對于傳統(tǒng)教學和新式教學有機融合的期待。

“雖然探究、合作都是非常好的教學方式，但是初中學生的學習還是不能離開訓練。首先我們處在應試教育的大背景下，訓練必須要有；其次我們的訓練教學使我們學生的數(shù)學基本功非常扎實。（B-S-67）在課堂上強調(diào)學生主動性和合作性是我們以前所忽視的，因此我們正在努力彌補這方面的不足，但同時我們不能完全丟棄訓練，我認為應該將它們結(jié)合起來，優(yōu)勢互補，共同促進學生推理能力的提高。（B-S-82）”

由上述可知，兩位教師數(shù)學推理的教學與學習信念呈現(xiàn)出多樣性。H老師注重自主、探究、合作、實踐等新式教學，而S老師注重傳統(tǒng)教學和新式教學相結(jié)合，不排斥訓練和模仿。

四、結(jié)論與討論

（一）推理的教學與學習首先需要“重知”

教師的學科內(nèi)容知識對其課堂教學實踐具有重要的影響。[9]我們常說行為由觀念決定，其實教師的推理信念也是如此。如果教師對于推理知識的認知具有科學性和先進性，那么其推理教學行為的實施，才能夠取得更好的教學效果。已有研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學教師的推理知識會影響他們?yōu)閷W生提供推理學習的機會。[10]數(shù)學推理的知識，最直接的問題就是“推理是什么”的答案，由編碼結(jié)果可知，兩位教師對于推理內(nèi)涵的認知沒有僅僅局限在前提—結(jié)論的結(jié)構(gòu)層面，更是體現(xiàn)出了推理與思維過程、問題解決的聯(lián)系，H老師甚至關(guān)注到了數(shù)學推理的元認知方面。由此可見，兩位教師對于推理內(nèi)涵的認識是多角度的，雖然存在對推理的某些認識沒有上升到學術(shù)知識的層面，比如對推理形式的劃分問題，兩位教師卻可以結(jié)合自己的實踐和經(jīng)驗去區(qū)分二者的不同。但本研究的后續(xù)問卷調(diào)查卻得到令人震驚的結(jié)果，Z市515名數(shù)學教師中有多達72.4%的教師錯將考查歸納的題目理解為演繹。由此，為了幫助教師提升課堂中的推理教學，首先需要幫助他們對推理形成更好的理解。[11]正如鮑爾（Ball）所指出的，對專門化的數(shù)學知識性質(zhì)的不透徹理解，將使世界范圍內(nèi)改善教師教育質(zhì)量的良好意圖受挫。[12]

（二）推理的教學與學習需要構(gòu)建支持推理的課堂文化

許多學者的研究都表明，為了培養(yǎng)學生的推理能力，教師應該鼓勵他們?nèi)ベ|(zhì)疑別人的想法、理解自己或者別人的思路、提出猜想并對這些猜想進行探究。[13]由此，構(gòu)建問題解決、探究和猜想的課堂文化以激發(fā)學生數(shù)學推理的興趣顯得至關(guān)重要。在H和S老師的課堂上，學生有機會體驗數(shù)學推理建構(gòu)的獨立探究過程，也能夠在小組或班級中公開自己的想法并進行辯解和論證。同學或小組之間還可以互相品評對方的推理步驟，并在教師的引導下圍繞不同觀點的潛在沖突展開頭腦風暴。由此可見，在一個適合學生發(fā)展推理的課堂環(huán)境中，教師應該為學生提供有趣的探究任務，鼓勵學生獨立建構(gòu)證明，敢于表達自己的想法，并積極回應別人的質(zhì)疑以及主動尋求別人的反饋。在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂文化中，數(shù)學被看作是一種只需要記憶的算術(shù)技能和程序并依此來評價學生的數(shù)學成就，這種教學觀念與推理的教學目標顯然是背道而馳的。目前的一個良好態(tài)勢是，強調(diào)推理的課堂文化得到了數(shù)學教育改革的支持，但教師面臨諸多挑戰(zhàn)，比如，他們需要理解適合不同學生學習的推理水平，知道如何通過搭建腳手架幫助學生形成更復雜的推理，等等。只有當教師能夠把這些知識融入課堂教學實踐并真正形成推理的課堂文化，才能有效提升學生的數(shù)學推理能力。[14]

（三）推理的教學與學習需要形成基于問題互動的學習共同體

學習共同體是由學習者及其助學者共同構(gòu)成的團體，彼此經(jīng)常在學習過程中進行溝通、交流，分享各種學習資源，因而在成員之間形成相互影響、相互促進的人際關(guān)系。[15]在一個主動表達和交流想法的學習共同體中，個體的學習是最有效的。[16]這種合作學習為不同想法的交流和比較提供了機會，從而將不同個體的學習有效地聯(lián)結(jié)在一起。從編碼結(jié)果來看，兩位教師不僅重視學生個體的探究推理，更注重學生間互動合作的集體推理。學生一起探討各種典型的問題解決手段，并試圖在實踐活動中合作解決有意義的數(shù)學問題，這使得學生在不斷的互動交流中構(gòu)建和細化了自己的判斷和推理過程，他們的推理模式也隨之變得越來越精確，越來越有推理的味道。從社會學的角度來看，學習可以被視為共同開發(fā)和享有的課堂教學過程與個人建設性活動之間互動關(guān)系的結(jié)果。[17]因此，在問題解決的合作活動中，一個人的認知方式可能會對其他人產(chǎn)生影響，同時也可能受到別人的影響。這種相互的分享有助于新的數(shù)學概念的構(gòu)建，有助于加深對數(shù)學想法的理解，有助于推進數(shù)學推理的精細化程度。