☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校 劉 燕

我們知道，教學(xué)即研究.教學(xué)研究的素材來(lái)自各種“現(xiàn)場(chǎng)”，教育“現(xiàn)場(chǎng)”無(wú)處不在，最重要的“現(xiàn)場(chǎng)”就是我們每天面對(duì)的課堂和學(xué)生.筆者所在地區(qū)一個(gè)數(shù)學(xué)群里經(jīng)常開(kāi)展一些基于“現(xiàn)場(chǎng)”的教學(xué)研究，本文就記錄并整理近期我們?cè)跀?shù)學(xué)群里對(duì)一篇學(xué)生寫(xiě)作的研討過(guò)程，供分享.

一、從一篇七年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)寫(xiě)作說(shuō)起

案例：攻克一道最值難題（這是七年級(jí)學(xué)生L所寫(xiě)的一篇數(shù)學(xué)反思日記）.

最近，我們學(xué)習(xí)了不等式，又有一大波坑人的題目向我們奔來(lái)，今天，研究一道最值難題.

已知三個(gè)非負(fù)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足3a＋2b＋c=5，2a＋b-3c=1，m=3a＋b-7c.求m的最大值和最小值.

我的解法與思考如下：

由于未知數(shù)較多，所以我把c看作常數(shù)，用含c的代數(shù)式表示a、b.

我又發(fā)現(xiàn)，a、b、c為非負(fù)數(shù)，那么a≥0，b≥0，c≥0，所以-3+7c≥0,7-11c≥0,解得

解決這題的重點(diǎn)是用含c的代數(shù)式表示a、b，再用不等式表示c，代入m，即可求解.

說(shuō)明：這篇學(xué)習(xí)寫(xiě)作被一位老師發(fā)到群里之后，大家就感覺(jué)學(xué)生的思路正確，順利求出答案，值得分享，引發(fā)了很多老師的跟進(jìn)討論.

二、教師研討意見(jiàn)摘編

師1：該生巧妙運(yùn)用消元思想得出一元一次不等式組，再次運(yùn)用消元思想表示出代數(shù)式，結(jié)合求出的字母的取值范圍得出代數(shù)式的取值范圍.

師2：這個(gè)學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí).從“一大波坑人”的題目中發(fā)現(xiàn)了多參數(shù)問(wèn)題的解題技巧，“把c看作常數(shù)，用含c的代數(shù)式表示a、b”，并及時(shí)總結(jié)了此類(lèi)問(wèn)題的解題方法.另外，也看出該生會(huì)讀題、審題.用含c的代數(shù)式表示a、b后，能及時(shí)聯(lián)系題目條件“a、b、c為非負(fù)數(shù)”，求出c的范圍，從而順利求解.

師3：該生數(shù)學(xué)思維能力很強(qiáng)，知道消元思想的作用，最重要的是知道為什么要消元，等式和不等式放在一起時(shí)，往往等式都是為不等式“服務(wù)”的，而不等式（組）只能有一個(gè)未知數(shù)，這時(shí)候就要利用等式來(lái)消元，該生成功地消元成只含有字母c的不等式（組），從而求得c的范圍.另外本題討論最值時(shí)仍然要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行消元，這其實(shí)是八年級(jí)要學(xué)習(xí)的一次函數(shù)的思想方法，該生對(duì)函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)有了初步感知，能力上不比八年級(jí)部分學(xué)生差，看得出該生對(duì)數(shù)學(xué)有很高的悟性.

師4：消元是貫穿始終的主線(xiàn)，從該生的做法中，選擇消去參數(shù)c，他說(shuō)把c看作常數(shù)，我認(rèn)為從提高計(jì)算正確率的角度，可以把c干脆移到等號(hào)右邊，最后求m的最值.當(dāng)然把兩個(gè)值代入也行得通，我在評(píng)講時(shí)，還是會(huì)先引導(dǎo)學(xué)生.比如，就這個(gè)題目而言，“被減數(shù)”減去“減數(shù)”，減數(shù)不變，被減數(shù)越大，結(jié)果越大，反之越小.對(duì)優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō)，不僅僅是代入端點(diǎn)值的問(wèn)題.

師5：三個(gè)字母變化，無(wú)法求最值，借助字母之間的聯(lián)系（方程）想到消元，所以要解方程組，需要用含c的式子表示a、b，然后消元，代數(shù)式的值隨著c的變化而變化，那是不是c是全體非負(fù)數(shù)呢？經(jīng)過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)不是，還要保證a、b也是非負(fù)數(shù)，從而得出只含有字母c的不等式（組），問(wèn)題得到解決.該生思路清晰，條理清楚，數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)！

師6：縱觀該生的思路，可以分為三個(gè)部分.（1）消元，兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，無(wú)法求解，但是可以用含一個(gè)字母的式子表示出另外兩個(gè)量.而且她選擇以c為參數(shù)，降低了計(jì)算量，如果用含a的式子表示b、c，或用含b的式子表示a、c，都比較復(fù)雜.（2）求參數(shù)的取值范圍，直接根據(jù)題目中的非負(fù)數(shù)的條件得出參數(shù)的取值范圍.（3）用含c的式子表示m，再根據(jù)c的取值范圍求最值.從她解題的步驟順序可以看出，該生的思維是很?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)?，讀題很細(xì)心，題目中的任何一個(gè)條件都沒(méi)有忽略.一般在第一步后我們自然會(huì)代入先表示出m，然后求最值時(shí)發(fā)現(xiàn)不好求，再?gòu)念}目中發(fā)現(xiàn)“非負(fù)數(shù)”這個(gè)條件，從而再求c的范圍，這樣在以后處理綜合題時(shí)往往會(huì)忽略這個(gè)起始的限制條件.

師7：從“坑人”這一詞語(yǔ)感受到這名學(xué)生第一次可能未完全解決這道題.但從反思小作中發(fā)現(xiàn)小作者對(duì)此題的解題思路是很清晰的：聯(lián)立方程消參，通過(guò)條件聯(lián)立得一元一次不等式組，讓問(wèn)題清晰化；最后m與c必須關(guān)聯(lián)，此處該生用了極端值來(lái)完成（七年級(jí)學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的性質(zhì)有時(shí)存在一種感知，很可貴）.給小作者的一句話(huà)：我們是否可以通過(guò)c的范圍去分析m的范圍，這樣最大與最小是不是更有說(shuō)服力呢？

師8：本題作為一道多參數(shù)題，考查的知識(shí)點(diǎn)較多.但學(xué)生能準(zhǔn)確找出問(wèn)題的關(guān)鍵，即參數(shù)較多時(shí)，可以通過(guò)消元，減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，從而使問(wèn)題變簡(jiǎn)單.此時(shí)可以關(guān)注消元的技巧：消去系數(shù)簡(jiǎn)單的參數(shù).用含b的代數(shù)式表示a、c（或用含c的代數(shù)式表示a、b）后代入m=3a＋b-7c，這樣表示m的代數(shù)式就只剩一個(gè)參數(shù).這是本題的第一個(gè)“坎”.本題的第二個(gè)“坎”是需要學(xué)生知道“三個(gè)非負(fù)數(shù)”這個(gè)隱性條件的使用，只要求出上面這個(gè)參數(shù)的取值范圍就可得出m的取值范圍，從而求出m的最大值和最小值，問(wèn)題得解.當(dāng)然，小作者如能重點(diǎn)寫(xiě)出如何想出突破這兩個(gè)“坎”的思路歷程，對(duì)其他學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)有更大幫助.

三、進(jìn)一步的思考

1.老師點(diǎn)評(píng)對(duì)解法的評(píng)析精準(zhǔn)到位

從上面老師們的研討意見(jiàn)可看出，大家都確認(rèn)了本題解法的三個(gè)重要步驟.比如，第一步：消元.這個(gè)方程組中包含有3個(gè)未知數(shù)的2個(gè)方程，此時(shí)發(fā)現(xiàn)無(wú)法求解出a、b、c的具體值.聯(lián)想到二元一次方程組是含有2個(gè)未知數(shù)的2個(gè)方程，可以求解出兩個(gè)未知數(shù)的具體值，那么不如減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，將其中一個(gè)未知數(shù)看作常數(shù).這就將這個(gè)含有3個(gè)未知數(shù)和2個(gè)方程的方程組轉(zhuǎn)化成了只有2個(gè)未知數(shù)、2個(gè)方程的二元一次方程組.這種消元和參數(shù)思想是非常重要的，使未知（三元）走向已知（二元一次方程組）.第二步：縮小取值范圍.雖然用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示了另外兩個(gè)未知數(shù)，但是又因?yàn)閍、b、c三者是緊密相關(guān)的，也就是“牽一發(fā)而動(dòng)全身”，所以需要再次縮小取值范圍.第三步：代入分析最值.

2.善于站在七年級(jí)學(xué)生的角度評(píng)析

從上面不少老師的發(fā)言看出，一個(gè)三元一次方程組，三個(gè)限制條件，求兩個(gè)最值，組合成了一道方程、不等式、函數(shù)的綜合題，所以七年級(jí)學(xué)生拿到手覺(jué)得“坑人”一點(diǎn)兒不足為奇.但這名學(xué)生由前面知識(shí)聯(lián)想到解三元一次方程組的基本思想是消元，聯(lián)立不等式求字母的取值范圍，由一個(gè)字母的最值可以求含該字母的代數(shù)式的最值，從而使問(wèn)題迎刃而解.最可喜的是，她不僅解出來(lái)了而且有了深刻的反思，對(duì)以后解這類(lèi)題有很大的幫助.

3.“坑人的題目”是數(shù)學(xué)教育的尷尬

學(xué)生開(kāi)頭一段寫(xiě)道“又有一大波坑人的題目向我們奔來(lái)”，讓我們數(shù)學(xué)教育人情何以堪，數(shù)學(xué)的形象在這些優(yōu)秀學(xué)生眼中都是“坑人的題目”，這是數(shù)學(xué)教育的失敗.這也提醒我們數(shù)學(xué)教學(xué)要向?qū)W生傳遞怎樣的數(shù)學(xué)習(xí)題觀.比如，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，但解題是為了鞏固所學(xué)新的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)性質(zhì)，本末不可倒置.而且好的習(xí)題應(yīng)該有一定的標(biāo)準(zhǔn)，比如，章建躍博士指出的“數(shù)學(xué)題的質(zhì)量應(yīng)該有一些基本指標(biāo)，例如，在深化理解、建立聯(lián)系、發(fā)展概念、促進(jìn)思維及建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面有較好作用”，進(jìn)一步，章博士還指出“解題要把握量和質(zhì)的平衡，當(dāng)前的問(wèn)題是量太大而質(zhì)不高，人為制造、細(xì)枝末節(jié)、煩瑣復(fù)雜的題目充斥課堂，學(xué)生做了大量題目但對(duì)數(shù)學(xué)到底是研究什么的知之甚少”.在這個(gè)意義上來(lái)理解上文學(xué)生數(shù)學(xué)寫(xiě)作的另外一個(gè)意義，就是我們數(shù)學(xué)教育人應(yīng)該認(rèn)真反思，為什么一個(gè)七年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷程上，感受不到數(shù)學(xué)解題的邏輯力量、攻克難題后那種暢快和愉悅，而是感覺(jué)到“又有一大波坑人的題目”？我們是不是應(yīng)該多花些時(shí)間在命題研究、習(xí)題設(shè)計(jì)和作業(yè)布置上呢？