☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 印冬建

近期，同組幾位老師反映教學(xué)人教版初中數(shù)學(xué)“8.2消元——解二元一次方程組”時(shí)，按照例2預(yù)設(shè)的方程進(jìn)行教學(xué)感覺(jué)十分“別扭”，這讓筆者十分疑惑.為了弄清其中的緣由，筆者對(duì)例題進(jìn)行了詳細(xì)分析，現(xiàn)呈現(xiàn)分析所獲及優(yōu)化建議，供教材再版時(shí)參考.

一、例題及其分析

例題：根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產(chǎn)品的銷(xiāo)售數(shù)量（按瓶計(jì)算）比為2∶5.某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5t，這些消毒液應(yīng)該分裝大、小瓶各多少瓶？（下稱題1）

1.教材分析

在人教版七年級(jí)下冊(cè)教材中，題1被安排在“8.2消元——解二元一次方程組”中，是這節(jié)的第2道例題.本節(jié)教材中，沿用章引言中的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)比對(duì)一元一次方程和二元一次方程組，引入了代入消元法并用例1“解方程組”加以鞏固.接下來(lái)就是題1，編者意在讓學(xué)生將列二元一次方程組和解二元一次方程組結(jié)合起來(lái)，在鞏固代入消元法的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，增強(qiáng)他們的應(yīng)用意識(shí).

2.教材解法

設(shè)這些消毒液應(yīng)該分裝x大瓶、y小瓶.

根據(jù)大、小瓶的比，以及消毒液分裝量和總生產(chǎn)量之間的關(guān)系，得：（下稱方程組1）.

接下來(lái)的用代入法解二元一次方程組和答語(yǔ)與本文所述觀點(diǎn)關(guān)聯(lián)不大，這里一并略去.

為了便于敘述，“教材解法”下稱“解法”.

3.學(xué)情分析

先來(lái)看人教版七年級(jí)上冊(cè)教材中的一道例題：某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t；如用新工藝，則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100t.新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5，兩種工藝的廢水排量各是多少？（下稱題2）題2被安排在“3.2解一元一次方程（一）——合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)”中.根據(jù)安排，教學(xué)時(shí)應(yīng)首先引導(dǎo)學(xué)生抓住“新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5”進(jìn)行設(shè)元，將新、舊工藝的廢水排量分別設(shè)為2xt和5xt，再利用“環(huán)保限制的最大量”的兩種不同表示方法建構(gòu)出方程求解.這樣的歷程，不僅從設(shè)元、列方程和解方程上給出了范例，而且為學(xué)生列方程（組）解應(yīng)用題積累了寶貴的經(jīng)驗(yàn)，這些都是學(xué)生探索題1的基礎(chǔ).

回到題1，題中包含了兩個(gè)等量關(guān)系：（1）大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)=2∶5；（2）大瓶所裝消毒液質(zhì)量＋小瓶所裝消毒液質(zhì)量=每天生產(chǎn)的總質(zhì)量.基于題2的學(xué)習(xí)及列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的豐富積累，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，抽象題1 中的兩個(gè)等量關(guān)系并建構(gòu)出相應(yīng)的方程組（下稱方程組2）還是較為容易的.接下來(lái)僅需應(yīng)用比例的性質(zhì)將x∶y=2∶5轉(zhuǎn)化成方程組1的①，就可得到方程組1，也就是教材編者給定的方程組.以上是基于教材前后關(guān)聯(lián)進(jìn)行的學(xué)情分析，是包括筆者在內(nèi)的諸多一線教師展開(kāi)教學(xué)的基本依據(jù).

二、例題教學(xué)的困惑

1.建模不易

不管是題1還是題2，借助方程（組）來(lái)求解是較為便捷的.因而，從這些實(shí)際問(wèn)題中建構(gòu)出方程（組）這一數(shù)學(xué)模型就成為了解題的關(guān)鍵.對(duì)于題1，想要讓學(xué)生建構(gòu)出與解法類(lèi)似的方程組是較為不易的.暫且不論題中的單位統(tǒng)一問(wèn)題，僅就教材想要建構(gòu)的方程5x=2y而言，我們必須引導(dǎo)學(xué)生借助“大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)=2∶5”直接建構(gòu)出方程x∶y=2∶5，這個(gè)方程是學(xué)生并不熟悉的分式方程.由于在前面的認(rèn)知活動(dòng)中此類(lèi)方程并不常見(jiàn)，加之學(xué)生沒(méi)有解此類(lèi)方程的經(jīng)驗(yàn)，因而，很多學(xué)生是不敢給出方程“x∶y=2∶5”的.細(xì)細(xì)分析方程組1的建模過(guò)程，如果不用x∶y=2∶5進(jìn)行鋪墊，直接給出方程5x=2y是較難解釋的，因而，讓學(xué)生直接給出5x=2y幾乎是不可能的.而由于x∶y=2∶5“很少見(jiàn)”和“不會(huì)解”，如果不引導(dǎo)學(xué)生緊扣“大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)=2∶5”進(jìn)行“符文替換”建模，他們是不太愿意抽象出方程x∶y=2∶5的.如《教師教學(xué)用書(shū)》所言，教材給出的方程5x=2y是要按照“從實(shí)際情境中抽象數(shù)量關(guān)系→用字母、符號(hào)替代文本建構(gòu)方程→對(duì)方程進(jìn)行恒等變形”的流程獲得的，若教師在教學(xué)過(guò)程中鋪墊引導(dǎo)不能做到及時(shí)、到位，得出方程組1的①是很不容易的.

2.解法跳步

解答題1，不管是教材預(yù)設(shè)，還是教學(xué)生成，想要得到方程組1，繞開(kāi)方程組2是不太可能的.因而，在教學(xué)過(guò)程中，列出方程組2理應(yīng)成為解題過(guò)程中的重要組成部分.然而，在人教版教材給定的解法中，并沒(méi)有將方程組2呈現(xiàn)，而是直接給出了由方程組2轉(zhuǎn)化得到的方程組1.在與教材配套的《教師教學(xué)用書(shū)》中，雖然也以旁白的形式將編者的設(shè)計(jì)意圖進(jìn)行了詳細(xì)陳述，明確了方程組1的“生長(zhǎng)”過(guò)程，對(duì)教師的教學(xué)行為進(jìn)行了規(guī)范和指引，但是，教材給出的解法中僅給出了方程組1，把原本應(yīng)在解題過(guò)程中出現(xiàn)的方程組2直接略過(guò)，從例題的規(guī)范性和示范性角度分析，這樣的解題過(guò)程顯然是不合常規(guī)的.這樣的解題范式，是不是要求在接下來(lái)解答“成比問(wèn)題”時(shí)，學(xué)生也應(yīng)在腦海中提前完成建模與轉(zhuǎn)化，直接給出與方程組1類(lèi)似的二元一次方程組？如果是這樣，學(xué)生解決問(wèn)題的“前奏”是不是過(guò)于沉重了？不僅要思考如何從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，還要考慮如何建構(gòu)出有效的解題模型，甚至連如何將模型“規(guī)范化”都要提前完成好，如此要求，確實(shí)不低.因此，筆者認(rèn)為，教材繞開(kāi)方程組2直接列出方程組1，沒(méi)有能較好地順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，所跳過(guò)的步驟是解題的起始步驟，也是關(guān)鍵步驟，如此跳步對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是“有百害而無(wú)一利”的.

3.重心偏移

人教版教材中，題1被安排在代入消元法中，基于“練習(xí)”的分割，這道例題應(yīng)作為本節(jié)第一課時(shí)的第2道教學(xué)例題，其核心教學(xué)價(jià)值應(yīng)凸顯在代入消元法的應(yīng)用上.事實(shí)也確實(shí)如此，當(dāng)學(xué)生得到方程組1后，自然會(huì)順勢(shì)對(duì)方程①進(jìn)行變形，進(jìn)而應(yīng)用代入消元法解出這個(gè)方程組.如果僅從得到方程組后的解題過(guò)程看，題1的教學(xué)目標(biāo)是基本實(shí)現(xiàn)了.然而，實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在列方程組和解方程組的時(shí)間分配上與代入消元法的課時(shí)地位是嚴(yán)重不匹配的，他們把大把的時(shí)間和精力耗在了列方程組上：為了避免列出分式方程，為了避免列方程組時(shí)單位不統(tǒng)一，為了與教材解題過(guò)程一致等.在不少課堂上，為了有效規(guī)避所有可能出現(xiàn)的干擾，教師和學(xué)生在列出與教材一致的方程組上花費(fèi)了15分鐘時(shí)間.如此多的教學(xué)時(shí)間被占用，讓本節(jié)課的教學(xué)重心從代入消元法的獲得、鞏固和應(yīng)用上，偏移到了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型（二元一次方程組）上來(lái)，這顯然是不妥的.

三、優(yōu)化建議

1.前后呼應(yīng)，統(tǒng)一建模過(guò)程

題1是一個(gè)數(shù)量“成比問(wèn)題”.人教版教材中，“成比問(wèn)題”是較為常見(jiàn)的.上面的題2，在第三章一元一次方程中，解答時(shí)抓住“2∶5”可直接給出了2xt、5xt的設(shè)元，這是對(duì)題中給定比例“不繞任何彎子”的直接應(yīng)用.在題1所在的第八章二元一次方程組中，“8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組”的探究2也是一個(gè)“成比問(wèn)題”，《教師教學(xué)用書(shū)》給定的方程是100x∶（2×100y）=3∶4，這是題中蘊(yùn)含的“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4”的直接應(yīng)用.如果按照題1的解法，我們是不是也應(yīng)該給出3×（2×100y）=4×100x才適宜呢？筆者認(rèn)為，同一套教材應(yīng)該要保持前后一致.更何況，題1和探究2在同一單元中，而且相隔僅一課時(shí)的“距離”，解法上是不應(yīng)該有多大差異的.所以，筆者建議教材再版時(shí)，可將方程組2插入到“解法”的設(shè)元與方程組1之間，增加一個(gè)“化簡(jiǎn)”環(huán)節(jié).如此設(shè)計(jì)有兩個(gè)好處：一是順應(yīng)教材編排的體系，做到了前后一致；二是讓學(xué)生經(jīng)歷方程組的整理過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，知道“遇到復(fù)雜的方程（組）時(shí)，要將其化簡(jiǎn)，變成已經(jīng)學(xué)過(guò)的方程（組）”.

2.整合例題，強(qiáng)化整體認(rèn)知

在“8.2消元——解二元一次方程組”中，共安排了4道例題：兩道“解方程組”（例1、例3）和兩道應(yīng)用題（例2和例4）.教材安排這些題目，是按照“一道解方程組+一道應(yīng)用題”的形式安排的，筆者認(rèn)為，這樣的安排是對(duì)一元一次方程“先解法，后應(yīng)用”的認(rèn)知?dú)v程的呼應(yīng).在學(xué)生學(xué)習(xí)“代入法”和“加減法”這兩種解法時(shí)，都要經(jīng)歷“探索解法—解方程組—實(shí)際應(yīng)用”的認(rèn)知?dú)v程.這樣安排，使得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索占用了大量的教學(xué)時(shí)間，讓學(xué)生對(duì)兩種解法的探索與應(yīng)用都停留在表層，無(wú)法走向深入.此外，實(shí)際問(wèn)題探索的淺嘗輒止，學(xué)生對(duì)二元一次方程組的應(yīng)用體驗(yàn)同樣停留在表層，無(wú)法整體把握其流程與價(jià)值.筆者建議，將教材中難度較大的例2（即題1）和難度不大的例4合并安排在兩種解法之后，作為本節(jié)第三課時(shí)“二元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的教學(xué)內(nèi)容.如此安排，有四個(gè)好處：一是與學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)契合，有利于學(xué)生進(jìn)一步鞏固“定義+解法+應(yīng)用”的方程學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，整體把握二元一次方程組的知識(shí)體系；二是順利解決原教材“重點(diǎn)不突出”的問(wèn)題，讓兩種解法的地位凸顯出來(lái)；三是能借助兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解決，讓學(xué)生體會(huì)代入消元法和加減消元法各自的優(yōu)勢(shì)，為解法的優(yōu)選與應(yīng)用積累經(jīng)驗(yàn)；四是實(shí)現(xiàn)“8.2消元——解二元一次方程組”與“8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組”的自然銜接，前后兩課時(shí)中的實(shí)際問(wèn)題由易到難，學(xué)生的認(rèn)知順勢(shì)發(fā)展，螺旋上升.如此一舉四得的好事，教材再版時(shí)不妨一試.

3.重組練習(xí)，關(guān)注配套訓(xùn)練

為了確保教學(xué)資源的配套，教學(xué)例題的整合必然帶來(lái)課時(shí)練習(xí)的重組.一旦我們將代入消元法和教材例1在第一課時(shí)呈現(xiàn)，其配套練習(xí)自然也就應(yīng)是與代入消元法有關(guān)的問(wèn)題了，如第93頁(yè)“練習(xí)”中的第1題“把下列方程改寫(xiě)成用含x的式子表示y的形式”，第2題“解方程組”.第二課時(shí)中，只涉及加減消元法，自然配套練習(xí)也應(yīng)以加減消元法為主，除了教材第96頁(yè)的解方程組，我們可以在其前面增加一道填空題，將加減消元法進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)用，如：若x、y滿足方程組則x-6y=______.至于第三課時(shí)，應(yīng)側(cè)重于鞏固“二元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用”，原教材“練習(xí)”與兩道例題并不完全配套，尤其是題1，教材中第93頁(yè)的“練習(xí)”與“習(xí)題8.2”中均沒(méi)有出現(xiàn)“成比問(wèn)題”，教材再版時(shí)，我們可以將原第93頁(yè)練習(xí)的第3題改為一個(gè)包含比例關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，與同頁(yè)的第4題移至本節(jié)最后一課時(shí)，與第97頁(yè)“練習(xí)”中的2、3合并作為課時(shí)練習(xí).這樣的調(diào)整，保證了課時(shí)練習(xí)與教學(xué)內(nèi)容具有較高的吻合度，較好地實(shí)現(xiàn)了幫助學(xué)生即時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)的目的，為他們的后續(xù)學(xué)習(xí)提供了強(qiáng)有力的“四基”支撐.