☉江蘇省蘇州高新區(qū)第二中學 范 紅

一、從一次網(wǎng)絡(luò)研討說起

說明：這是筆者參與的一個數(shù)學教師微信群里的一次網(wǎng)絡(luò)研討的摘要.話題討論由“師1”發(fā)起，隨后不少老師參與了討論，筆者沒有參與討論，但認真閱讀了他們的對話，有了一些思考，本文就從這段網(wǎng)絡(luò)研討的對話說起.

師1：請教一個問題：負數(shù)的整數(shù)部分是什么？比如-2.6的整數(shù)部分是什么？

師2：從百度查到“實數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分講義”，主要觀點是，對于正實數(shù)，整數(shù)部分直接取其最接近的兩個整數(shù)中最小的正整數(shù)，小數(shù)部分用原數(shù)減去整數(shù)部分.比如，實數(shù)3.25，最接近的兩個整數(shù)是3和4，則整數(shù)部分為3，小數(shù)部分就是3.25-3=0.25，類似的，最接近的兩個整數(shù)是2和3，則整數(shù)部分為2，小數(shù)部分是.而對于負實數(shù)，整數(shù)部分取與其最接近的兩個整數(shù)中較小的負整數(shù)，小數(shù)部分用原數(shù)減去整數(shù)部分.比如，-2.6在-3和-2之間，則整數(shù)部分確定為-3，所以它的小數(shù)部分為-2.6-（-3）=0.4.

師3：網(wǎng)上很多是這樣解釋的.

師1：是的.但是像-2.6，也可看成整數(shù)部分為-2，小數(shù)部分為-0.6.可不可以這樣認為呢？

師4：更多的認為是比這個數(shù)小的最大整數(shù).有一年我出初一試卷時出現(xiàn)了這個問題，當時爭論過，我從網(wǎng)上查到基本上是這個解釋，即整數(shù)部分為-3.

師5：就叫不大于本身的最大整數(shù).

師1：哦，那么-2.6的整數(shù)部分應(yīng)該是-3，小數(shù)部分就是0.4.

師6：前段時間我關(guān)注過2016年全國初中數(shù)學競賽試卷，其中第1題也涉及這類問題，但是競賽題表述比較嚴謹，使用的是新定義的方式，摘題如下：

用［x］表示不超過x的最大整數(shù)，把x-［x］稱為x的小數(shù)部分.已知，a是t的小數(shù)部分，b是-t的小數(shù)部分，則=（ ）.

C.1

這道競賽試題以新定義的方式表述了上面探討的一個數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分，然后在求解過程中需要分別研究正數(shù)和負數(shù)兩種情況，比如，t是正數(shù)，而-t是負數(shù).對照定義可分析出t的范圍.，即3＜t＜4，所以.進一步分析負數(shù)，可得，于是對照定義再代入求解可得，故選A.

（師6的發(fā)言和舉例，引發(fā)群里教師的“一片點贊”）

師6是當?shù)爻踔袛?shù)學學科帶頭人，從他引證競賽題例來看，對上述話題討論起到了較好的引導(dǎo)作用.

二、由網(wǎng)絡(luò)研討引發(fā)的一些思考

需要說明的是，筆者無意繼續(xù)討論與一個數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分有關(guān)的習題的解法，而是由這類網(wǎng)絡(luò)研討出發(fā)，討論一下數(shù)學教師的教研興趣與教研關(guān)注點.

1.理解數(shù)學需要破除迷信、追求真理

數(shù)學是一門邏輯連貫、結(jié)構(gòu)嚴謹?shù)目茖W，但根據(jù)法國著名數(shù)學家彭加勒的觀點，數(shù)學是從約定、假設(shè)開始的.彭氏有幾本中文譯本的著作在國內(nèi)影響較大，如《科學與假設(shè)》《科學與方法》等著作.聯(lián)系到初中數(shù)學的教學內(nèi)容，數(shù)學概念的教學也都是從定義（概念，往往是一種約定、歸納）、公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理得出一系列真命題（定理、推論等）.從理解數(shù)學出發(fā)，我們在遇到一些有爭議的數(shù)學習題時，探究解法不必以名人、權(quán)威或不靠譜的“網(wǎng)傳解釋”為準，而應(yīng)基于國家發(fā)布的義務(wù)教育數(shù)學課程標準，經(jīng)過審定的教材上的數(shù)學概念、定義、基本事實（公理）、定理，進行解釋和推理，如果能夠成立就是正確的，如果相悖往往是錯誤的，或者需要另選解釋的途徑.簡言之，作為習題爭議解法的探討，我們需要立足數(shù)學本身，追求真理，并把這種追求傳遞給學生，而不是讓學生養(yǎng)成聽老師解釋的習慣，想來，這也是數(shù)學育人、核心素養(yǎng)的當下追求.

2.關(guān)注教材經(jīng)典例、習題，對教輔資料上的內(nèi)容審慎選用

數(shù)學學習離不開習題訓練與講評，根據(jù)我們的觀察，數(shù)學老師中不讀期刊、不讀一些專家學者著作的并不在少數(shù).客觀上看，不少老師（特別是任教畢業(yè)年級的教師）的課余時間多在解題、“做作業(yè)”（學生的作業(yè)），而很少有時間深入思考教學話題.難怪有些資深教研員指出，長期在畢業(yè)年級教學的老師往往不會上數(shù)學新授課，如果“循環(huán)”到七年級開展初中起始年級教學，他們常常對一些概念“一帶而過”，進而以大量習題“以練代講”，進行變式訓練，而且對教材也缺少必要和深入的研習.事實上，數(shù)學教材（課本）上的例、習題往往比較經(jīng)典，教師要多研究、多變式，帶領(lǐng)學生思考、練習，以達到鞏固所學的目的.特別值得提醒的是，不能被教輔資料牽引著教研方向，教輔資料上的有些習題不夠嚴謹，以錯傳錯，特別是有些“網(wǎng)紅試題”（超標題、超綱題，或是從一些數(shù)學競賽試卷中簡單改編而來的一些技巧極高的習題），這類試題作為自主招生考試、競賽輔導(dǎo)使用是可以的，畢竟是“小眾”參與，而作為“全樣本”參與的大型考試命題或集中布置作業(yè)來說，這類習題是應(yīng)該舍棄的，有專業(yè)自主的教師都應(yīng)該抵制、舍棄，不要向?qū)W生傳遞錯誤的數(shù)學習題觀.

3.數(shù)學教師離不開解題，但要明辨“食材”、大膽取舍

數(shù)學教師的解題不能只是滿足于答案獲得，思路貫通，而要追求一題多解，并繼續(xù)開展解后反思，比如，分析試題能否進行必要的推廣，推廣之后能得出哪些結(jié)論，由這些結(jié)論能提煉出怎樣的“深層結(jié)構(gòu)”，在此基礎(chǔ)上還可以怎樣進行“縱向深化”“橫向拓展”，最后形成一些統(tǒng)一的結(jié)論，以達到“做一題、會一類、通一片”的解題追求，從而開展解題教學時就能引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)“變中不變”，揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，提煉數(shù)學思想方法，達到“精學一題，妙解一類”，促進學生把握同類問題的本質(zhì).當然，我們也看到，有些教師在上述方向上十分用功，在很多教研群里熱衷研究解法、揭示結(jié)構(gòu)、變式拓展，但是很多考題是“超標題”，技巧性強，是“競賽題”套路，雖然也被有些中考試卷引用，但并不是貼上了中考題的標簽就一定是好的習題.我們的意見是，數(shù)學教師的專業(yè)成長，離不開解題，但解題如同吃飯，食材關(guān)要把好，對垃圾食材、有毒食材、偽造食材要學會辨別，而不是繼續(xù)烹飪下去，該扔的要扔了.

三、關(guān)于習題研討的進一步思考

1.基于理解數(shù)學的高度精選好題

理解數(shù)學需要教師關(guān)注數(shù)學史，知曉初中階段數(shù)學知識的“前世今生”，在此基礎(chǔ)上就可對一些數(shù)學習題進行辨析，分析這些習題的訓練功能，如是否具有變式拓展，能否關(guān)聯(lián)初中階段數(shù)學的一些核心概念等.而對一些人為編造的繁雜、無趣的劣質(zhì)題要大膽舍棄，選取好題之后還可以把同類問題整理到一起進行研究.近年來，我們在《中學數(shù)學（下）》上看到不少專題復(fù)習的課例都是精選了同類問題開展教學，這是值得我們關(guān)注和努力的教研方向.

2.重視教學“基本問題”的研究

教學“基本問題”關(guān)注的是“教什么、教誰和怎么教”，習題研討也可以從上述三個視角開展研究.比如，當我們面對一道習題時，首先要思考這道習題的考查意圖，通過這道習題的講評與教學能幫助學生掌握哪些數(shù)學概念或性質(zhì)，對于后續(xù)數(shù)學學習有哪些幫助；再結(jié)合所教班情、學情，想清學生的最近發(fā)展區(qū)，思考如何預(yù)設(shè)鋪墊式問題，以便讓學生更好地理解問題，思考習題講評之后怎樣揭示問題結(jié)構(gòu)，如果有必要，還可以針對所講習題進行變式再練，進行必要的學情反饋.可以發(fā)現(xiàn)，當習題研究走向教學研究時，作為教師的習題研究會更加有意義.