張東鎖

摘 要：函數(shù)與導數(shù)問題是高考數(shù)學壓軸試題，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結合、化歸轉化和分類討論思想，從培養(yǎng)學生“三種意識”入手，分析其解題策略，培養(yǎng)解題能力。

關鍵詞：導數(shù)解題;三種意識;解題策略

將導數(shù)內(nèi)容引入高中數(shù)學教材，極大地豐富了學生研究數(shù)學問題的方法。導數(shù)的應用實現(xiàn)了函數(shù)與不等式、方程等多個知識點的交匯，受到命題者青睞。函數(shù)與導數(shù)問題是近些年來高考數(shù)學壓軸試題，每年的考題新穎不重復，難度大。此題把高中數(shù)學的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想和分類討論思想體現(xiàn)得淋漓盡致。許多學生遇到導數(shù)試題就不知所措，常常感到 “似曾相逢不相識，無可奈何花落去”。本文從培養(yǎng)學生“三種意識”入手對函數(shù)與導數(shù)試題進行分析，說明其解題策略，以突破求解瓶頸。

一、觀察意識

數(shù)學解題中，觀察是一種很重要的思維活動。為了順利求解，首先要學會觀察，觀察對象可分為兩類：一是符號（數(shù)字、字母、運算符號、關系式）或文字所表示的數(shù)學關系式，命題或問題;另一種是圖形、圖象和圖表。在運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題中，常常涉及確定方程的解，當通過解方程無法求出該方程的解時，就需要對方程特征進行分析，觀察出f′（x）=0的解，以達到解決問題的目的。

例1.已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=lnx。

若f（x）≥g（x）對于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解：由f（x）≥g（x）得：x2-ax≥lnx（x>0），則不等式a≤x- 對任意x>0恒成立。

設h（x）= （x>0），于是h（x）= ①。

觀察①式，不難發(fā)現(xiàn)當x=1時，h（x）=0。

因為x∈（0，1）時，h′（x）<0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減;當x∈（1，+∞）時，h（x）>0，函數(shù)單調(diào)遞增。所以函數(shù)h（x）的最小值是h（1）=1。

故實數(shù)a的取值范圍是a≤1。

點評：本題求解的關鍵是研究函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，而確定函數(shù)單調(diào)性不可回避的一點就是求方程h′（x）=0即x2+lnx-1=0的根。如何求這一方程的根呢？這是用代數(shù)方法不能解決的，要善于觀察，發(fā)現(xiàn)x=1是方程h′（x）=0的根。解方程時，分析方程特點，通過觀察，發(fā)現(xiàn)方程的根看起來沒有道理，實際上是學生數(shù)學素養(yǎng)的體現(xiàn)，這方面的能力培養(yǎng)在我們平時的教學中是不容忽視的。

二、構造意識

構造模型解題是根據(jù)題目的特征，對問題進行深入分析，找出“已知”與“所求（或所證）”之間的聯(lián)系紐帶，另辟蹊徑解題。用構造法解題被構造內(nèi)容是多樣的，沒有固定模式。在函數(shù)與導數(shù)試題中，構造函數(shù)、不等式或方程是解決參數(shù)范圍、證明不等式和討論函數(shù)的零點等問題的一種行之有效的方法。

例2.已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R）

（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍。

（2）設n∈N+，證明： + +…+

解（1）由lnx-ax+1≤0（x>0）知，a≥ + 。

設h（x）= + ，對于任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立的充要條件是當x>0時，a≥h（x）max。

h′（x）= ，當x∈（0，1）時，h′（x）>0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增;當x>（1+∞）時，h′（x）<0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減。

所以當x=1時，h（x）的最大值是h（1）=1，故a≥1。

（2）取a=1，由（1）知lnx≤x-1，令x= （n∈N+），則ln ≤ -1。

即lnn-ln（n+1）<- 。

從而ln1+ln2-ln3+…+lnn-ln（n+1）<-（ + +…+ ），故 + +…+

點評：問題（2）求解的關鍵是取a=1，構造不等式lnx≤x-1，令x= （n∈N+），再結合不等式性質解答。根據(jù)所證不等式結構特征構造相應的函數(shù)或不等式，研究該函數(shù)單調(diào)性是解決這一問題的基本方法，體現(xiàn)了導數(shù)的工具性及函數(shù)與方程思想。

三、圖象意識

函數(shù)圖象是函數(shù)性質的直觀體現(xiàn)，借助圖象可以把某些抽象的函數(shù)問題形象化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學問題的本質。在導數(shù)試題中，涉及方程的根或函數(shù)零點、函數(shù)最值、解不等式及求參數(shù)范圍等的問題屢見不鮮，這類試題綜合性強，求解時要善于構建函數(shù)模型并結合其圖象“以形助數(shù)”。

例3.已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數(shù)。

討論函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)。

解：令f（x）=lnx-ax+1=0（x>0），則a= 。

設g（x）= ，y=a，則g′（x）= =- 。

當x∈（0，1）時，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增;當x∈（1，

+∞）時，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減。所以當x=1時，g（x）有最大值g（1）=1。

由于g（ ）= =0，當x∈（0，1）時，g（x）單調(diào)遞增，所以當x∈（0， ）時，g（x）<0，當x∈（ ，1）時，

g（x）>0;當x∈（1，+∞）時，g（x）>0。

作出函數(shù)g（x）= （x>0）及y=a的圖象（如下圖），觀察兩個函數(shù)圖象的交點，不難發(fā)現(xiàn)：當a≤0或a=1時，函數(shù)y=g（x）與y=a的圖象有且只有一個交點，所以函數(shù)f（x）有一個零點;當01時，函數(shù)y=g（x）與y=a的圖象無交點，所以函數(shù)f（x）無零點。

點評：運用導數(shù)研究方程的根或函數(shù)的零點問題，就是利用數(shù)形結合思想，通過函數(shù)的性質找到方程的根或函數(shù)零點的各種情況所滿足的關系式.在本題中函數(shù)的零點問題最終歸結為函數(shù)g（x）= （x>0）圖象

與直線的交點問題，而這個問題的解決要通過作函數(shù)

g（x）= （x>0）的圖象來完成。

函數(shù)與導數(shù)試題是每年高考必考試題之一，近幾年在高考中的考查力度不斷加強。在日常教學中，教師要注重從解題思路的探尋上下功夫，弄清解法的根源所在，這樣學生才能做到“悟其必然，品其真味”，進而提高分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]陳少春，虞關壽.淺談立體幾何解題教學的三種意識[J].中學數(shù)學研究，2018（7）：12-15.

[2]萬軍.導數(shù)解題中思維障礙的突破[J].高中數(shù)理化，2016（6）：13.

編輯 杜元元