嚴(yán)彪

[摘要]學(xué)生推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。由兩次“加法運(yùn)算律”的對比教學(xué)得出，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理，培養(yǎng)學(xué)生思必有源、推必有理、言必有據(jù)的思維品質(zhì)，才能真正落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。

[關(guān)鍵詞]加法運(yùn)算律;合情推理;類比推理;歸納推理

[中圖分類號]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0067-02

推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）。推理在數(shù)學(xué)中則更純粹、更直接，也更徹底，它是數(shù)學(xué)基本的，也是主要的思維方式，從這一角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)活動的過程可以視作數(shù)學(xué)推理教學(xué)的過程。

關(guān)于推理，依據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，其分類結(jié)果也各不相同。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：推理一般包括合情推理和演繹推理。小學(xué)階段是學(xué)生推理能力發(fā)展與形成的重要時(shí)期，針對小學(xué)生的思維特征和數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理及其教學(xué)具有一定的特殊性。

合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。它是一種合乎情理的推理，常與感知、遷移、聯(lián)想和想象等心理活動相伴，其過程也體現(xiàn)思維的跳躍性和結(jié)論的或然性。因此，它不但是啟動和推進(jìn)思維的小船，還能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，給學(xué)生提供研究的線索和思路，從而猜想和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

【教學(xué)片段】加法交換律

第一次教學(xué)

師：28個(gè)男生跳繩，17個(gè)女生跳繩，跳繩的有多少人？解決這個(gè)問題時(shí)你是怎樣想的？

生1：把男、女生人數(shù)合起來，就是跳繩總?cè)藬?shù)。

師：能用數(shù)量關(guān)系式來表示解題思路嗎？

生2：男生跳繩人數(shù)+女生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)。

生3：女生跳繩人數(shù)+男生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)。

生4：男生跳繩人數(shù)+女生跳繩人數(shù)=女生跳繩人數(shù)+男生跳繩人數(shù)。

師：能列式計(jì)算嗎？

生5：28+17=45。

生6：17+28=45，即28+17=17+28。

師：你能再寫幾個(gè)這樣的等式嗎？（類比推理）

（學(xué)生匯報(bào);教師評價(jià)學(xué)生寫出的等式）

第二次教學(xué)

師：還記得我們很小的時(shí)候是怎樣做加法的嗎？（如圖1）兩盤一共有多少個(gè)桃？

師：要求一共有多少個(gè)桃，我們常常是這樣數(shù)的。從左往右數(shù)，得到3+2=5;也可以倒過來數(shù)，得到2+3=5。你從中發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：3+2=2+3。

師：明明是交換加數(shù)的位置，為什么結(jié)果都不變呢？

生2：無論先數(shù)哪一堆，桃子總量保持不變。

師：（如圖2）改變數(shù)的先后順序，桃子的總量會不會變化呢？

生3：這回不用數(shù)，可以列式計(jì)算。28+17=45。

生4：17+28=45，即28+17=17+28。

師：（如圖3-1）如果桃子的數(shù)量再增加，多到數(shù)也數(shù)不清;（如圖3-2）或者是桃子的數(shù)量減少，少到只剩下零零碎碎的部分，還是求一共有多少個(gè)桃。數(shù)的順序改變，桃子的總量會改變嗎？

師：我們得出的幾道算式中，交換加數(shù)的位置后和不變。像這樣的情況，還能舉出別的例子嗎？

生5：3+2=2+3。

生6：28+17=17+28。

生7：1/2+1/4=1/4+1/2。

師：觀察、比較這些等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。

師：為了表示這無窮多的情況，可以用字母來表示。用a+b表示任意兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置就變成了b+a，結(jié)果不變。這條加法運(yùn)算律就可以寫成a+b=b+a，它就叫作“加法交換律”。

【評析：類比推理簡稱類推、類比，是從特殊到特殊的推理。它是兩個(gè)或兩類對象在某些屬性相同或相似的前提下，通過比較而推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的結(jié)論。上述的兩次教學(xué)都是在同類對象之間進(jìn)行推理的，學(xué)生“再寫幾道這樣的等式”，都是以對象所具有的“兩數(shù)相加，交換位置”的共同屬性為前提，推出它們具有相同屬性，即“和不變”的結(jié)論。其中，第一次教學(xué)中的類比推理顯得層次單一，而第二次教學(xué)中的類比推理則從有限到無限，從整數(shù)到非整數(shù)，在都具有“兩數(shù)相加，交換位置”的共同屬性的前提下，推出它們都具有“和不變”的共同屬性。通過這樣層層遞進(jìn)、螺旋上升的思維訓(xùn)練，學(xué)生自然而然地學(xué)會用推理去分析和解決問題。

類比推理在思維方面是橫向的，雖然推出的結(jié)論可能是或然的，但它有提供思路，進(jìn)而引出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的效用。在教學(xué)活動中，學(xué)生常常需要聯(lián)系新舊知識的某些相同或相似之處進(jìn)行類比遷移、自主探索。如蘇教版教材五年級下冊轉(zhuǎn)化策略中的要求“1/2+1/4+1/8+1/16”

的結(jié)果，就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將其轉(zhuǎn)化為“把正方形看作單位‘1，求其中的涂色部分”來解決;求“15+16+17+18+19+20+21+22+23+24”這幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和時(shí)，運(yùn)用遷移的規(guī)律，將求“幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和”轉(zhuǎn)化為求“上底15、下底24、高10的梯形的面積”。以上類比推理，都是在兩類不同對象具有“數(shù)列中各數(shù)之間有一定的規(guī)律”這一相似屬性的前提下，推出它們又都具有相同屬性——可以轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形面積的結(jié)論?！?/p>

【教學(xué)片段】加法結(jié)合律

師：之前是增加每堆桃的個(gè)數(shù)，如果增加桃子的堆數(shù)呢（如圖4）？

生1：28+17+23=68。

生2：17+28+23=68。

生3：28+（17+23）=68。

生4：17+23+28=68。

師：對于28+17+23=68和17+28+23=68，你有什么想法？

生5：結(jié)果相同，位置改變，說明加法交換律也適用于三個(gè)數(shù)相加。

師：對于28+（17+23）=68和17+28+23=68，你有什么想法？這樣兩個(gè)算式什么相同，什么又不同了呢？是什么變化了呢？

生6：多了小括號，順序就變了。先數(shù)前兩堆，或先數(shù)后兩堆，并不改變桃子的總量。

生7：不需要再計(jì)算，桃子的總量肯定不會變化，因?yàn)樘易拥目倲?shù)不會因?yàn)閿?shù)的先后順序而發(fā)生變化。

生8：也就是說，像（28+17）+23=28+（17+23）這樣的算式，我們還可以寫出很多很多。

生9：如果用a+b+c來表示任意的三個(gè)數(shù)相加，那么改變運(yùn)算的順序，結(jié)果不變。可以表示為（a+b）+c=a+（b+c），這個(gè)規(guī)律就叫作“加法結(jié)合律”。

師：加法交換律和加法結(jié)合律，統(tǒng)稱為“加法運(yùn)算律”。

【評析：歸納是通過對某類事物中的若干特殊情形的分析得出一般結(jié)論的思維方法，歸納推理則是由特殊到一般的推理，是以個(gè)別對象的屬性為前提，推出此類對象一般屬性的結(jié)論。歸納推理都是以各自之前的每一個(gè)類比推理中具有特殊或個(gè)性屬性的結(jié)論為前提，得出具有一般和共性屬性的結(jié)論，即“兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”與“三個(gè)數(shù)相加，改變運(yùn)算的順序，和不變”。而“加法運(yùn)算律”也是對“加法交換律”和“加法結(jié)合律”的歸納概括。歸納推理又可以分為完全歸納推理和不完全歸納推理?！?/p>

【總評】

1.自主推理，替代被動接受

小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多定理和規(guī)則。對于規(guī)則的教學(xué)，可以直陳其然，但對小學(xué)生來說，這是一種簡單的、被動的接受性學(xué)習(xí)。要有利于學(xué)生的認(rèn)知和思維的發(fā)展，就應(yīng)賦規(guī)則教學(xué)以理性思考。教師應(yīng)積極尋找和發(fā)掘教材中適合學(xué)生推理的內(nèi)容，善于引導(dǎo)學(xué)生從對象的現(xiàn)象到本質(zhì)進(jìn)行思考和推理，或由因?qū)Ч驁?zhí)果索因，并有意識地培養(yǎng)學(xué)生思必有源、推必有理、言必有據(jù)的思維品質(zhì)，使學(xué)生“在游泳中學(xué)會游泳”，在運(yùn)用和思辨中發(fā)展能力，在感悟和積累中逐步形成關(guān)于推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.借助推理，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

推理的過程常常伴隨著聯(lián)想和遷移等心理活動。開展推理活動，尤其是合情推理活動，也利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。讓學(xué)生在推理活動中憑借直覺、運(yùn)用遷移、展開聯(lián)想、發(fā)揮想象，乃至突發(fā)靈感、達(dá)成頓悟，得出創(chuàng)新性的結(jié)論或觀點(diǎn)。雖然這些結(jié)論或觀點(diǎn)可能是粗糙的，但經(jīng)過一定的加工和完善，也許就成了學(xué)生學(xué)習(xí)中和思維上的金點(diǎn)子。

（責(zé)編金鈴）