吳敏

[摘? 要] 函數(shù)的圖像可以形象直觀地描述函數(shù)的特征. 如何準(zhǔn)確地畫出新函數(shù)的圖像是初中階段研究函數(shù)的一個難點(diǎn). 在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，幫助學(xué)生清晰準(zhǔn)確地描述函數(shù)的圖像.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);函數(shù)的圖像;函數(shù)的性質(zhì);合情猜想;反思

真題呈現(xiàn)

函數(shù)y1=x與y2=的圖像如圖1所示，下列關(guān)于函數(shù)y=y1+y2的結(jié)論：①函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱;②當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小;③當(dāng)x>0時，函數(shù)的圖像最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）. 其中所有正確結(jié)論的序號是______.

[圖1]

結(jié)果分析

本題為南京市2017年中考填空題最后一題，難度系數(shù)0.47. 不少教師在看到試題后都有一個疑問：題目條件中所給的兩個函數(shù)圖像與本題中所求的函數(shù)圖像根本就沒有聯(lián)系，為什么要給出這個看似無用的條件？反而給學(xué)生帶來了困擾.

準(zhǔn)確地畫出新函數(shù)的圖像是解答本題的關(guān)鍵，那么該如何畫出函數(shù)的圖像呢？考慮到這些因素，筆者對新函數(shù)的教學(xué)有一點(diǎn)想法，與大家交流，僅供參考.

教學(xué)過程設(shè)計

1. 課堂前置練習(xí)

請在坐標(biāo)紙上分別畫出y=x+1，y=，y=（x+2）2+1的圖像，結(jié)合圖像來總結(jié)如何研究函數(shù)、如何來描述函數(shù)的圖像.

設(shè)計意圖? 幫助學(xué)生復(fù)習(xí)回憶已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三種函數(shù)的圖像及畫圖步驟，為本節(jié)課的新函數(shù)提供“源材料”，同時也為下面總結(jié)函數(shù)圖像及其性質(zhì)做下鋪墊.

2. 情境創(chuàng)設(shè)

你能迅速地畫出y=x+的圖像嗎？y=的圖像呢？

學(xué)生回答：不能，我們沒學(xué)過上面的函數(shù).

設(shè)計意圖? 通過問題的形式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并思考：對于那些不是我們課本上學(xué)習(xí)過的新函數(shù)該如何去畫圖像？激發(fā)學(xué)生探究的欲望，調(diào)動學(xué)習(xí)的興趣，同時引入本節(jié)課的內(nèi)容.

3. 探索活動

活動一：

問題1：你畫這三個圖像的時候，都經(jīng)歷了哪些步驟？

學(xué)生：列表、描點(diǎn)、連線.

追問1：你畫這三個圖像，各自用了幾個點(diǎn)？

學(xué)生：第一個圖像2個點(diǎn)，第二個圖像6個點(diǎn)，第三個圖像5個點(diǎn).

追問2：用有限個點(diǎn)就能畫出這三個圖像，為什么有限個點(diǎn)就可以畫出函數(shù)的圖像？

學(xué)生：我們已經(jīng)知道了函數(shù)的形狀.

追問3：那么函數(shù)的形狀又是由什么來決定的？

學(xué)生：由函數(shù)的性質(zhì)來決定的.

總結(jié)：函數(shù)的圖像其實是由函數(shù)的表達(dá)式來決定的. 在初中階段，函數(shù)的性質(zhì)是由圖像來刻畫的. 所以，研究函數(shù)的方法：函數(shù)的表達(dá)式——函數(shù)的圖像——函數(shù)的性質(zhì).

設(shè)計意圖? 教師通過連續(xù)的追問，讓學(xué)生思考函數(shù)的圖像為什么可以通過列表、描點(diǎn)、連線畫出，以及函數(shù)的圖像與函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系，形成“函數(shù)的表達(dá)式——函數(shù)的圖像——函數(shù)的性質(zhì)”三者之間的整體認(rèn)識，為本節(jié)課畫新函數(shù)的圖像提供清晰的思路.

活動二：

問題2：y=的圖像是由兩支圖像組成的，我們稱之為雙曲線，原因是什么？

學(xué)生回答：x不能等于0，不能與x軸相交，也不能和y軸相交. （教師板書：x的取值范圍）

追問1：畫函數(shù)y=（x+2）2+1的圖像時，你還關(guān)注什么？

學(xué)生：圖像的頂點(diǎn)（最小值）、對稱軸、單調(diào)性.

追問2：請你嘗試概括：如何來描述圖像的性質(zhì)？

師生：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圖像經(jīng)過的象限（分布情況）、圖像的增減性、圖像的最值問題、圖像的對稱性、函數(shù)的連續(xù)性（直觀）等6個方面，描述函數(shù)的性質(zhì)關(guān)鍵在于畫出函數(shù)的圖像.

我們能不能結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式及我們描述的函數(shù)性質(zhì)的幾個方面，來看一看函數(shù)到底長成什么樣？

設(shè)計意圖? 通過問題2引導(dǎo)學(xué)生去思考函數(shù)的圖像形成的原因，啟發(fā)學(xué)生關(guān)注自變量x的取值范圍;追問1啟發(fā)學(xué)生關(guān)注函數(shù)的圖像的特征，鼓勵學(xué)生嘗試從不同角度來概括函數(shù)的圖像與性質(zhì)，進(jìn)一步理解函數(shù)的圖像與性質(zhì)之間的聯(lián)系，提高他們概括、歸納的綜合能力，形成新的知識體系，并利用新的知識去解決問題.

4. 探索新知

請你對函數(shù)y=的圖像做出合情猜想.

分析如下：

（1）因為x≠-2，與直線x=-2沒有交點(diǎn)，因此圖像位于這條線的左右兩邊，分成兩段（如圖2）.

[圖2][O][x][y][-2]

（2）當(dāng)x=0時，y=3，與y軸的交點(diǎn)為（0，3）;y≠0，與x軸沒有交點(diǎn)，只能在x軸的兩側(cè)，會在哪些象限？（如圖3）

[圖3][O][x][y][-2]

①x>-2，y>0，在x軸上方，圖像位于第一、二象限;

②x<-2，y<0，在x軸下方，圖像位于第三象限（肯定不過第四象限）

（3）把x+2看成一個整體t，則t=x+2，原函數(shù)變?yōu)閥=，結(jié)合這兩個圖像t=x+2，y=，請問：y=有最小值、最大值嗎？

①無最大值、無最小值;

②t=x+2中，t隨x的增大而增大，y=隨x的增大而減小. y隨x的增大而減小有兩種方式：以直線方式，以曲線方式（如圖4、圖5）.注：圖4可能，圖5不可能（與x軸有交點(diǎn)）.

學(xué)生練習(xí)：請畫出y=x+的圖像.

設(shè)計意圖? 通過一系列的探索活動，教師的追問及引導(dǎo)，師生共同歸納、總結(jié)決定函數(shù)圖像的6個方面，學(xué)生可以從函數(shù)的表達(dá)式、已知的性質(zhì)尋找新函數(shù)的特征，結(jié)合這些特征就可以大致地了解新函數(shù)的模樣，最后再按照列表、描點(diǎn)、作圖的步驟準(zhǔn)確地畫出新函數(shù)的圖像. 學(xué)生通過例題的分析、講解，自主的練習(xí)可以熟練地將所學(xué)的知識進(jìn)行實踐，完全符合數(shù)學(xué)的“理論——實踐——應(yīng)用”的理念.

5. 回顧總結(jié)

如圖7、圖8所示.

進(jìn)一步的思考

初中階段，對于具體的初等函數(shù)（三種），課標(biāo)的要求是會（能）畫出它們的圖像，并結(jié)合函數(shù)圖像探索、理解相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì). 對于練習(xí)中出現(xiàn)的其他函數(shù)，學(xué)生就需要利用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自主畫出函數(shù)的圖像. 雖然教師在課堂上講解了畫函數(shù)圖像的一般步驟（列表——描點(diǎn)——連線），但學(xué)生心中根本就不知道函數(shù)大概的形狀，因此在連線的過程中根本就不知道該如何去連接——是直線還是曲線，最終所呈現(xiàn)的函數(shù)圖像千奇百怪. 進(jìn)一步的思考可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生存在問題的地方不僅僅在連線這一步驟，前面的列表（取值）就會存在問題——該如何取值，取哪些值.

對于本節(jié)課中的某些函數(shù)，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)與一次函數(shù)時，深刻掌握函數(shù)圖像的平移變換（上下、左右），也可以精確畫出函數(shù)的圖像，但是這個對學(xué)生的要求更高，需要他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)新函數(shù)與所學(xué)的基本函數(shù)之間的關(guān)系. 例如，y=可以由y=向左平移2個單位長度得到;再例如，y=可以由y=向上平移1個單位長度得到;而y=x+，y=這些更復(fù)雜的函數(shù)就只能通過這次所學(xué)習(xí)的新函數(shù)圖像畫法來畫出它們的圖像.

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，它是代數(shù)與幾何的紐帶. 教育學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段指出：14～16歲的初中生正好處于形式運(yùn)算階段（11～16歲），他們開始具有抽象邏輯思維，但是對于函數(shù)的性質(zhì)探索還必須建立在擁有具體圖像的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形的特征，歸納相應(yīng)的性質(zhì).

筆者比較了各版本的教材，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)圖像為什么是通過生活實例可以得到的一條直線. 例如，人教版路程與時間的比值為定值，單位時間內(nèi)變化率相同;蘇科版通過香燃燒也可以發(fā)現(xiàn)原因. 武漢市第一初級中學(xué)的閔耀明老師還在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》中發(fā)表了文章《一次函數(shù)圖像為什么是一條直線》. 雖然后面的反比例函數(shù)與二次函數(shù)書本上也有生活中的實例，但是教師在平時的教學(xué)中卻忽略了反比例函數(shù)圖像為什么是雙曲線、二次函數(shù)圖像為什么是拋物線這一問題，學(xué)生只是知道圖形，卻不知道為什么一定是這個圖形. 因此，教師在平時的教學(xué)中不能只關(guān)注知識的傳遞，更應(yīng)該關(guān)注知識形成的原因與本質(zhì).

最后，我們再來看填空題的條件，題目中給出的兩個函數(shù)的圖像看似和解題沒有關(guān)系，但實質(zhì)上出題人想讓學(xué)生根據(jù)已有的知識（圖像）來分析新函數(shù)圖像的性質(zhì)，由已知到未知，利用已經(jīng)掌握的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到新的知識上，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).