江蘇省盱眙縣第二中學(xué) (郵編：211700)

問題(2018年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷第23題)如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，CM的延長線交AB于點(diǎn)F.

(1)求證：CM=EM；

(2)若∠BAC=50°，求∠EMF的大??；

(3)如圖2，若△DAE≌△CEM，點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN∥EM.

圖1 圖2

此道問題的圖形是一個(gè)具有確定性的背景圖形，特別是第(3)問，解法多樣，涉及的知識面廣.初中階段主要的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)如：三角形勾股定理、全等、相似、平行線的判定、解直角三角形等都可以在此題中加以應(yīng)用，非常好地考查學(xué)生的幾何直觀、空間觀念、運(yùn)算能力、模型思想、推理能力等具有初中學(xué)段特色的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，本文將重點(diǎn)從邏輯推理素養(yǎng)的角度解析此題并提供多種解法.

同樣面對中考壓軸題繁多的條件，學(xué)生處理方式不同，效果也會大不相同，原因?yàn)楹?？除去天賦因素，最大的差別在于其思維方式和思維習(xí)慣的不同.對于數(shù)學(xué)教學(xué)，如何培養(yǎng)科學(xué)的思維方式和良好的思維習(xí)慣是一個(gè)重要的課題.

數(shù)學(xué)解題中有兩種思維：一種學(xué)生是根據(jù)問題的外部特征在記憶中搜索相同或相似的現(xiàn)成模式，依靠直覺采取切合的動(dòng)作，若無相關(guān)信息就會一籌莫展不知所措；另一種學(xué)生是分析問題中的內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，據(jù)此應(yīng)用基本知識和方法解決問題，若不成功則反復(fù)在條件結(jié)論之間進(jìn)行推理尋求聯(lián)結(jié).當(dāng)然實(shí)際情況中這兩種思維也是互相交織的，只是所占比例不同.

一種學(xué)生是“看”出解題思路和方法，另一種學(xué)生是“推”出解題思路和方法.

顯然，對于新穎陌生的或隱蔽性強(qiáng)的或比較復(fù)雜的問題，只依靠“看”是解決不了的.必須引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題中的信息進(jìn)行“推”，順推是“進(jìn)”，逆推是“退”，進(jìn)退有序，尋找條件與結(jié)論的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，才是解決問題的好方式.

若將題中的條件看成“因”，將結(jié)論視為“果”，則本文主要研究第(3)問，先根據(jù)題目信息進(jìn)行邏輯分析、解構(gòu)重組：

進(jìn)行了這樣的信息解構(gòu)整合之后，就可以在條件與結(jié)論之間進(jìn)行尋求多種聯(lián)結(jié)方式，自然會產(chǎn)生多種解題思路和方法.

策略一利用平行線判定方法

這是解決此題的主要思路，下面主要選取平行線的判定方法中的“同位角相等，兩直線平行”進(jìn)行研究；就此題而言，由于不止一對“同位角”，都可以進(jìn)行嘗試：

(1)若選擇∠NAF與∠MEF作為同位角，因?yàn)椤螹EF=30°，所以只要證得∠NAF=30°即可，可分直接證法與間接證法，先看直接證法：

圖3

方法1 (解直角三角形)

再看間接證法：

方法2 (相似法)

圖4

此法也可證△APN∽△NPF.

求證某一個(gè)角等于30°，解直角三角形法與相似推導(dǎo)法都是基本方法，優(yōu)點(diǎn)是思路明確，缺點(diǎn)是計(jì)算量略大.

(2)若選擇∠ANC與∠EMC作為同位角，因?yàn)椤螮MC=∠AED=90°，所以只要證得∠ANC=90°即可，可分間接證法與直接證法，間接證法就是證明AN⊥CM，而點(diǎn)N為CM中點(diǎn)，由等腰三角形“三線合一”可得只要證得“AM=AC”即可，下面圍繞證明“AM=AC”這一思路提供以下方法：

證“AM=AC”可采用“代數(shù)法”與“幾何法”，代數(shù)法即利用勾股定理等方法將AM與AC用含相同參數(shù)的表達(dá)式表示出來，幾何法：(1)若兩條線段不在同一三角形中，常通過證明全等得出結(jié)論；(2)若兩條線段在同一三角形中，可以通過“等角對等邊”加以說明.

先看代數(shù)法兩例：

方法3 (代數(shù)法①)

圖5

方法4 (代數(shù)法②)

圖6

三角形全等是證明線段相等的最常規(guī)辦法，可以利用原圖或采取構(gòu)造的方式尋找全等三角形，下面列舉幾例：

方法5 (全等法①)

圖7

簡析在△ACE與△MAD中，因AE=MD，∠AEC=∠MDA=105°，CE=AD，則△ACE≌△MAD(SAS)，故AC=AM.

方法6 (全等法②)

圖8

簡析在△AEM與△CMB中，因AE=CM=EM=MB，∠AEM=∠CMB=150°，則△AEM≌△CMB(SAS)，故AC=AM.

還有以下幾種巧妙構(gòu)圖方式，讀者可以自行嘗試：

方法7 (全等法③)

方法8 (全等法④)

圖9 圖10

方法9 (直角三角形斜邊中線等于斜邊一半)

圖11

下面介紹“∠ANC=90°”的直接證法：

方法10 (相似法)

圖12

簡析證△AFN∽△NFP(過程同方法2，此處省略)，所以∠ANF=∠NPF=90°.

如果你覺得以上方法不夠簡便的話，讓我們一起來見識下面這種巧妙構(gòu)圖：

方法11 (一線三等角全等法)

圖13

此法甚是精妙，當(dāng)然這需要學(xué)生對幾何模型有一定的構(gòu)建功底，不難發(fā)現(xiàn)，它就是我們常見的異側(cè)型一線三直角模型.

連接AM后，線段AM、AC位于同一三角形中，“等角對等邊”這一方法自然會蹦出腦海，我們何必舍近求遠(yuǎn)？請看：

方法12 (等角對等邊)

圖14

簡析如圖，因∠ACM=∠ACE+∠ECM=30°+45°=75°，∠AMC=∠CME-∠AME=90°-15°=75°,則∠ACM=∠AMC,AM=AC.

若能將題目中的條件充分挖掘，此法的思路自然是清晰明了、水到渠成.

策略二平行于同一條直線的兩條直線平行

因?yàn)槠叫杏谕粭l直線的兩條直線平行，因此，此題可以構(gòu)造AN、EM之外的“第三方直線”，通過平行的傳遞性予以解決.

方法13

圖15

簡析過點(diǎn)C作CP∥ME交BA延長線于點(diǎn)P，則∠CPE=∠MEF=30°,在△ECP與△DAB中，因∠CPE=∠ABD=30°，∠CEP=∠ADB=105°，CE=AD，所以△ECP≌△DAB，PE=BD=2AE，即點(diǎn)A為PE中點(diǎn)，所以AN為梯形MCPE的中位線，AN∥CP∥ME.

此法也可采用倍長EA再證全等或構(gòu)造母子型相似解決.

策略三構(gòu)造A字型相似

方法14

圖16

策略四構(gòu)造含對邊平行的特殊圖形

在初中階段，我們學(xué)習(xí)了多種含對邊平行特征的圖形，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等，特別是平行四邊形類圖形只要證得其中一組對邊平行，另外一組對邊也就平行，此題用這種思路解決甚為巧妙.

方法15 (構(gòu)造平行四邊形)

圖17

簡析過點(diǎn)N作AB的平行線交EM的延長線于點(diǎn)P，所以∠P=∠MEB=30°,PN=2MN=CM=AE,因PN∥AE,PN=AE,則四邊形AEPN是平行四邊形，即AN∥EM.

方法16 (構(gòu)造矩形)

圖18

解題時(shí)依靠直覺根據(jù)記憶“看”出解題思路不可取，須得根據(jù)題目信息進(jìn)行邏輯分析解構(gòu)重組，做到進(jìn)退有序，尋找條件與結(jié)論的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，從而輕松解決問題.