安徽省蕪湖市沈巷中學 (郵編：241012)

1 問題背景

“深度思考”是一個思考的過程，并不是一次性的思考，而是一種持續(xù)狀態(tài)下的思考，在這樣的“思維發(fā)酵”中，思考的結果不斷地逼近直至觸及問題的本質.閱歷、閱讀和交流是深度思考的催化劑.深度思考要求我們要：明晰概念，關注細節(jié)，系統(tǒng)思維.

“冪函數”是高中數學函數模塊的重要內容，是中學數學基本初等函數之一.冪函數原先不被人們所重視，是常說的“簡單課”“雞肋課”，教學內容只是教材上的一張紙，習題、復習題中寥寥3道題，學生也常常忽視它的存在.但是，隨著課程改革的深入，數學核心素養(yǎng)課程目標的提出，再加上高考題的出現(xiàn)、指揮棒作用的凸顯，冪函數的教學逐漸被教師和學生所重視.中文核心期刊《中學數學教學參考》在2018年第6期(上旬)的“談學論教”欄目中，刊用3篇文章論述冪函數的教學與思考，實屬打破常規(guī)，創(chuàng)新出彩.說明，一是冪函數的教學，有利于展現(xiàn)教者的教學智慧和水準，二是對冪函數圖象與性質的探究，可以讓學生進一步體會建立和研究一個函數的基本過程和方法，也有利于培養(yǎng)學生敏銳地發(fā)現(xiàn)問題、科學地探究問題和批判性解決問題的數學素養(yǎng).

基于“深度思考”的教育價值，站在3篇樣本文章的基礎上，筆者深耕細作，對“冪函數”的教學及其設計，提出自己的新思考.

2 樣本文章概要與研判診斷

文[1]《教之道在于度——“冪函數”的教學研討與反思》秉持“元認知”啟發(fā)引導探究活動，從學習什么、尋找方法、探索性質、突出本質、回顧反思諸環(huán)節(jié)分析兩位教師的課堂教學片斷，對教學設計和實施進行反思.

研判診斷該案例中，兩位授課教師以學生為主體展開教學過程，探究冪函數的概念、圖象和性質，但是，教學活動都是教師拋出問題、學生解決問題.教師牽著學生“鼻子”走，其本質還是告知，不是真正意義上的啟發(fā)探究行為.

文[2]《基于數學基本活動經驗提升數學核心素養(yǎng)》以數學核心素養(yǎng)為要求，基于數學基本活動經驗，自我剖析一次公開課的教學實踐并加以說明，多媒體(幾何畫板)輔助教學，感性與理性深度融合.

文[3]《從一節(jié)公開課談起——關于人教A版“冪函數”若干教學環(huán)節(jié)的思考》“類比”研究指數函數和對數函數的思想方法，研究冪函數的性質.從教學建議、例題處理兩方面，以數學核心素養(yǎng)的養(yǎng)育為教學行為準則，評價他人的一節(jié)公開課.

研判診斷作者的教學建議中有兩個智慧點，一是關于冪函數概念的引入，遵從教科書的處理方式.因為教科書是課程的核心教學材料；二是引導學生先探究冪函數的性質，再根據性質畫圖象，最后用信息技術演示驗證.教學設計有創(chuàng)新，也符合學生認知的實際.

3 系統(tǒng)思維，整體認識冪函數

中學數學課標教材依據“循序漸進，螺旋上升”的認知原則，分三個階段編排函數課程.義務教育階段的反比例函數、一次函數和二次函數，這是中學數學常用的最簡單的初等函數；高中必修教材中的指數函數、對數函數和冪函數，是基本初等函數(Ⅰ)，正弦函數、余弦函數和正切函數則是基本初等函數(Ⅱ).其他形式的更為復雜的函數都是它們通過四則運算和復合而得到.因而，中學函數模塊的學習，關鍵是對這些初等函數的理解、掌握與應用.高中選修教材中的函數與導數，是函數學習的第三個階段，也是中學學習函數的提高與驗收階段，是用導數的方法解決函數學習中的一些疑難問題，同時，讓學生體會到用現(xiàn)代數學方法解決函數問題的簡潔精妙與強大功能，認識到數學技術的應用也是生產力，進而產生進一步學習高等數學的強烈愿望；認識到數學與其他學科特別是與物理學科的緊密聯(lián)系，學會用數學的方法解決物理學科中的有關問題.

依據《普通高中數學課程標準(2017版)》，即將使用的人教A版高中數學教科書，對函數必修內容作了較大的調整，進一步優(yōu)化數學課程結構.將 函數的概念及其表示、函數的基本性質、冪函數、函數的應用(一)，整合成一章，把指數與指數函數、對數與對數函數、函數應用(二)，整合成另一章.把冪函數提到指數函數與對數函數之前，這樣處理冪函數的編排結構，用學生較容易理解和掌握的冪函數，在“函數的基本性質”和“指數函數、對數函數”之間架起了一座聯(lián)系緊密和有效學習的橋梁，匠心獨運，意味深長.

一是知識體系上的銜接.義務教育階段，學生學習了冪的意義以及冪的運算，學習了反比例函數、一次函數和二次函數.事實上，y=x-1、y=x、y=x2都是冪函數，學生對它們的圖象和基本性質應該是掌握的.高中數學在學習了函數的概念、函數的基本性質之后，緊接著學習冪函數，從知識體系上講是自然銜接，從學生的認知結構上講則是抓住了學習的“最近發(fā)展區(qū)”順勢而為，學生可以很容易地應用函數的基本性質來分析冪函數，從而能有效地分散和化解函數學習的難點，初步形成利用圖象研究函數及其性質的基本過程和方法，為進一步學習指數函數、對數函數和三角函數作了知識上和心理上的準備.

二是實踐反思后的成果.依據2003版課程標準編寫的高中數學教科書(以下簡稱實驗版教科書)已有十幾年的歷史.教學實踐中，學生和教師都有一種感受：函數起始部分難學難教，知識的難點過于集中.“函數的基本性質”就壓得大部分學生喘不過氣來，接著就編排指數函數和對數函數，學生又是雪上加霜.實際上，對大部分學生來說，突破指數運算和對數運算就是一個巨大的挑戰(zhàn)，更不要說是在此基礎上的函數學習了.教學的根本任務是有效地促進和改進學生的學習，基于此，為了分散函數學習的難點，把相對來說學生較為熟悉的冪函數調整到指數函數、對數函數之前，就顯得尤為必要，這應該是教材編寫專家在廣泛的調查研究基礎上，聽取一線教師和學生的教學意見后，優(yōu)化教材編寫結構的結果，也是實驗版教科書在實踐反思后的成果.

4 冪函數教學深度思考

“把握數學本質，啟發(fā)思考，改進教學.”是《普通高中數學課程標準(2017版)》四大基本理念之一.新課標要求普通高中數學課程要以發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，為學生的可持續(xù)發(fā)展和終身學習創(chuàng)造條件.數學教學不僅要關注如何幫助學生學會知識、技能、思想、方法，更應當關注如何引導學生會學習、會思考、會應用，不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.數學教學還要整體把握教學內容，促進數學學科素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展.

4.1 明析概念，關注細節(jié)

再者，指數α是常數，那么α∈R還是α∈Q？筆者認為，中學階段研究函數都是在實數集范圍內進行的，因而α∈R.但是，如果指數α為無理數，那么研究相應的冪函數，就要涉及到它在實數集R上的一致連續(xù)性，這顯然超出中學數學課程的范圍.所以，冪函數的指數α∈Q合乎情理，符合中學數學教學的實際.

4.2 多維思考，深度揣摩

4.3 把握本質，改進函數教學

函數教學的課程目標是：在函數教學中，要處理好解析式、圖象和性質之間的知識體系和認知結構關系，通過科學地處理這些關系，讓學生逐步掌握研究函數問題的基本過程和方法；會運用函數模型表述、思考和解決現(xiàn)實世界中蘊含的規(guī)律，逐步形成善于提出問題的習慣，學會數學表達和交流，發(fā)展數學應用意識.

由函數解析式到圖象直至函數性質，這種一般且常規(guī)的教學路徑，形成了解決問題的思維定勢，長此以往，不利于學生系統(tǒng)性結構化地掌握函數知識、靈活解決問題.

從函數的知識體系來看，課標教材呈現(xiàn)出由“低級感知”到“高級認知”的過程，由函數解析式描繪圖象，再由圖象形數結合，得到函數性質.在實驗版教科書中，基本初等函數的教學直到正弦、余弦函數，都是依循此結構呈現(xiàn)知識體系和思想方法的.正切函數的教學程序發(fā)生了變化，由“圖象與性質”變成“性質與圖象”，圖形是最好的語言，根據性質來研究函數圖象應當是函數學習的更高級階段.

基于以上的思考，函數教學要靈活處理解析式、圖象與性質之間的知識結構關系和認知邏輯關系，根據學生學習的實際，開展各類基本初等函數的教學.在擰緊由解析式到圖象，再到性質的基本認知鏈的同時，搭建由解析式到性質、由性質到圖象的高級認知鏈，在解析式、圖象與性質之間構建起動態(tài)的、良性的知識體系和認知結構，有效地促進學生對函數模塊的學習和掌握，為培養(yǎng)學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學建模的核心素養(yǎng)創(chuàng)設契機、搭建舞臺、推波助瀾.

5 結束語

“理解數學、理解教學、理解學生”，這是數學課堂教學的立身之本；教好數學，這是落實數學學科核心素養(yǎng)的根本保證.反思我們的數學教學實踐，缺少的是“系統(tǒng)思維”意識，迷失的是“深度思考”態(tài)度.我們習慣的或曰引以為豪的教學范式，多是遵循自己熟悉的路徑不斷重復，是不會有任何提升的，只能將知識和技能變得熟練而已.數學真正的功用，是其背后的數學思維；數學教學的真正提升，應該是教學設計時對知識結構和本質的深度思考，交互活動中有效促進學生的深度學習，應該在于數學課堂上的兩個主要角色教師與學生思維和視野的突破.愿我們的數學課堂教學能化繭成蝶，睿智聰穎，從有效教學走向優(yōu)質教學.