江蘇蘇州市吳江區(qū)盛澤實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)程開甲小學(xué) 李雪梅

概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，也是學(xué)生展開數(shù)學(xué)思維的依據(jù)。在概念教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行深度加工，讓學(xué)生真正理解概念本質(zhì)。很多情況下，學(xué)生的概念之所以模糊，是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)概念沒有本質(zhì)的、結(jié)構(gòu)性的把握。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以以學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為載體，以學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)為過程，以概念結(jié)構(gòu)的建構(gòu)為依托，讓學(xué)生全面把握概念內(nèi)涵和外延。通過對(duì)概念的精致化建構(gòu)，充分展現(xiàn)學(xué)生思維過程，讓學(xué)生感受蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而有效地實(shí)現(xiàn)“教與學(xué)”的價(jià)值。

一、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把握數(shù)學(xué)概念之來源

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，必須依托學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。為此，教師要激活學(xué)生“知識(shí)經(jīng)驗(yàn)”，運(yùn)用學(xué)生“知識(shí)經(jīng)驗(yàn)”，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念之來源，如可以借助學(xué)生生活中熟悉的典型事物，可以借助學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)等。通過已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、操作經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生逐步抽象、提煉、內(nèi)化，建構(gòu)概念。

例如，在教學(xué)“素?cái)?shù)與合數(shù)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，這部分內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍數(shù)和因數(shù)”“奇數(shù)和偶數(shù)”以及 “2、3、5的倍數(shù)的數(shù)的特征”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。因此，教師可以將這部分內(nèi)容嫁接在“因數(shù)和倍數(shù)”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，例如，教師可以指導(dǎo)學(xué)生拿一些小正方形去拼長方形，引發(fā)學(xué)生深度思考：為什么有些個(gè)數(shù)的正方形可以拼成不同形狀的長方形，而有些個(gè)數(shù)的正方形卻只能拼成同一形狀的長方形？在學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵有了感性的理解后，可以讓學(xué)生寫出20以內(nèi)數(shù)的因數(shù)，并讓學(xué)生對(duì)20以內(nèi)的數(shù)的因數(shù)進(jìn)行分類。學(xué)生通過觀察、思考，就能根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)將數(shù)分成三類（只有一個(gè)因數(shù)，只有兩個(gè)因數(shù)，有兩個(gè)以上的因數(shù)），而其中第二類就是只能拼成同一形狀長方形的正方形的個(gè)數(shù)，第三類就是可以拼成不同形狀長方形的正方形的個(gè)數(shù)。借助感性材料，學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過逐步抽象、概括，形成“素?cái)?shù)”與“合數(shù)”的概念。這種對(duì)概念的抽象過程，因?yàn)橛辛酥庇^操作、觀察等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的支撐，所以學(xué)生理解得十分深刻。對(duì)于“素?cái)?shù)與合數(shù)”，學(xué)生不再停留在符號(hào)記憶層面，而是對(duì)概念本質(zhì)內(nèi)涵有了深刻把握。

其實(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念，無論是“描述式”還是“定義式”的，基本上都來源于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也基本上都是樸素的。基于此，從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作、活動(dòng)、思考，是數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的現(xiàn)實(shí)路徑。

二、多維思辨，把握數(shù)學(xué)概念之本質(zhì)

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，不是記住“形式化定義”，而是要對(duì)概念進(jìn)行多維度、多向度思考、思辨。只有通過不斷思辨，學(xué)生才能把握數(shù)學(xué)概念之本質(zhì)。在概念教學(xué)中，教師要善于運(yùn)用變式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，包括反例思辨、變式思辨、對(duì)比思辨，等等。黑格爾曾提出：思辨既是“異中尋同”的過程，也是“同中找異”的過程。經(jīng)過思辨，學(xué)生能逐步舍棄概念的非本質(zhì)屬性，抽取概念的本質(zhì)屬性，從而深化對(duì)概念的理解。

例如，在教學(xué)“圖形的放大和縮小”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，筆者首先出示了一張微型長方形全家福照片。學(xué)生紛紛認(rèn)為看不見，那怎么辦呢？學(xué)生自然想到將這個(gè)全家福照片“放大”?！霸鯓臃糯竽?？”筆者出示了三種照片的放大圖：一種是長放大，寬不變；一種是寬放大，長不變；還有一種是長和寬同時(shí)放大。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第一類、第二類“放大”，其放大后的圖形猶如“哈哈鏡”，實(shí)際上是對(duì)原來照片的變形，這不是真正的放大。哪一種放大是數(shù)學(xué)意義上的“放大”呢？學(xué)生紛紛認(rèn)為應(yīng)該是第三類，也就是長寬同時(shí)放大，而且放大相同倍數(shù)。順著學(xué)生的思維，筆者讓學(xué)生深度思考：如何用數(shù)學(xué)方法表示數(shù)學(xué)意義上的放大？學(xué)生展開多樣化猜想。有學(xué)生認(rèn)為，可以用“放大前的面積”與“放大后的面積”進(jìn)行比較；有學(xué)生認(rèn)為，可以用“放大后的面積”與“放大前的面積”進(jìn)行比較；有學(xué)生認(rèn)為，可以用“放大前的長度”與“放大后的長度”進(jìn)行比較；還有學(xué)生認(rèn)為，可以用“放大后的長度”與“放大前的長度”進(jìn)行比較。到底哪一種表示方法更科學(xué)呢？學(xué)生彼此展開激烈的辯論、交流。經(jīng)過思辨，學(xué)生認(rèn)為，這么多表示方法聚焦于“面積比”“長度比”哪一個(gè)更科學(xué)呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果運(yùn)用面積比來表示圖形的放大和縮小，并不能保證圖形放大或縮小的唯一性，而用長度比表示圖形的放大和縮小，能夠保證圖形放大或縮小的唯一性。于是，學(xué)生理解了圖形放大和縮小的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)概念需要學(xué)生深入地思辨、層層地思辨。只有通過深入的、持久的思辨，才能讓數(shù)學(xué)概念本質(zhì)顯山露水?！胺糯蟆焙汀翱s小”兩個(gè)概念，學(xué)生容易和生活中的“變大”“變小”形成關(guān)聯(lián)。通過思辨、爭辯，學(xué)生對(duì)概念理解逐漸從“模糊”走向“清晰”，從“模糊”走向“精準(zhǔn)”。

三、概念導(dǎo)圖，把握數(shù)學(xué)概念之結(jié)構(gòu)

根據(jù)“系統(tǒng)論”原理，新概念只有納入原有概念結(jié)構(gòu)、概念體系中才能獲得更好的理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助“概念導(dǎo)圖”，引導(dǎo)學(xué)生在概念比較、概念建構(gòu)中理解概念；可以引導(dǎo)學(xué)生從概念的隸屬關(guān)系、因果關(guān)系、交叉關(guān)系等方面進(jìn)行思考，根據(jù)新舊概念的不同關(guān)聯(lián)，運(yùn)用演繹、歸納、類比推理等方法，進(jìn)行多維聯(lián)想、探索。

常見的概念圖有“中心型概念圖”“層級(jí)型概念圖”“流線型概念圖”“系統(tǒng)型概念圖”，等等。概念圖不僅具有解釋力，而且具有生成力。例如“平面圖形”，基本上都是采用的“屬加種差”的定義方式，這樣的定義方式要求學(xué)生深刻理解每一個(gè)概念的上位概念。如“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（長方形）”“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”“有一個(gè)角是直角并且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形”，等等。例如，在教學(xué)“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”“梯形的認(rèn)識(shí)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，教師通常都是分開教學(xué)，各個(gè)突破的，這樣的教學(xué)，容易割裂概念間的關(guān)聯(lián)。筆者在教學(xué)中，將“認(rèn)識(shí)平行四邊形”和“認(rèn)識(shí)梯形”兩課整合起來教學(xué)。因?yàn)楸M管平行四邊形和梯形都隸屬于四邊形，但二者有著明顯不同的特征。平行四邊形是“兩組對(duì)邊分別平行”，而梯形是“只有一組對(duì)邊平行”，或者“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行”。在教學(xué)中，筆者出示了各種形狀、大小的平行四邊形和梯形，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行分類。借助分類，學(xué)生認(rèn)識(shí)到平行四邊形具有的共同特征，認(rèn)識(shí)到梯形具有的共同特征。同時(shí)，將長方形、正方形、菱形等圖形納入平行四邊形的圖形之中。這樣，學(xué)生認(rèn)識(shí)到平行四邊形的一般特征和特殊特征。由此深化、拓展了學(xué)生對(duì)平行四邊形、梯形概念的本質(zhì)理解。

以“概念圖”為核心，將概念上一級(jí)或者下一級(jí)的母概念或子概念整合優(yōu)化到整個(gè)概念結(jié)構(gòu)之中，使學(xué)生不僅能夠把握概念間的有機(jī)關(guān)聯(lián)，把握概念之間的層級(jí)關(guān)系、屬種關(guān)系，促進(jìn)概念與概念的優(yōu)化整合，而且有助于其在比較中明晰概念本質(zhì)。學(xué)生既能居高臨下把握概念的內(nèi)涵，又能退到概念之外看到概念的外延。

概念既是人思維的一種形態(tài)，又是人思維的一種產(chǎn)物。作為思維形態(tài)，概念是人們進(jìn)行判斷、推理的基礎(chǔ)，反映了人們對(duì)事物特征的本質(zhì)認(rèn)識(shí)過程；作為思維產(chǎn)物，概念是人們對(duì)事物本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)結(jié)晶。教學(xué)中，教師需要堅(jiān)持不懈地努力，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行全方位、多角度的思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)化、理解。?