呂紅霞

（江蘇省江陰市成化高級(jí)中學(xué)，江蘇江陰 214423）

引 言

圓錐曲線(xiàn)中的取值范圍問(wèn)題，歷來(lái)是高考命題的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題具有很強(qiáng)的綜合性，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找到隱含的不等式。學(xué)生只有審讀題目，仔細(xì)分析，才能讓這種不等關(guān)系 “浮出水面”，因而這類(lèi)問(wèn)題往往令考生“聞?lì)}色變”[1]。那么這類(lèi)取值范圍問(wèn)題該如何建立不等關(guān)系呢？本文舉例說(shuō)明。

一、利用根的判別式構(gòu)造不等式

從直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系出發(fā)，往往可以利用根的判別式構(gòu)建不等式，再解這個(gè)不等式就可求出參數(shù)的取值范圍。

思路1：可通過(guò)聯(lián)立方程，消去變量（如消去 y），得到關(guān)于 x的二次方程，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)，所以Δ≥0在x∈R恒成立，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，解出m即可。

思路2：從所給含參直線(xiàn) y=kx+ 1入手可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，所以若過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)均與橢圓有公共點(diǎn)，則該點(diǎn)位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入(0,1)后即因?yàn)槭菣E圓，所以m≠7，故m的取值范圍是 [(1,7)∪(7,+∞)]。

比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過(guò)根的個(gè)數(shù)來(lái)確定直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題求解；第二種思路是抓住點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的特點(diǎn)，即若點(diǎn)在封閉曲線(xiàn)內(nèi)，則過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)必與橢圓相交，從而以定點(diǎn)為突破口巧妙解決問(wèn)題。在思路2中，從含參直線(xiàn)能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在橢圓內(nèi)。當(dāng)然解答本題還要注意細(xì)節(jié)，橢圓方程中x2,y2的系數(shù)不同，所以 m≠7。

二、利用點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系構(gòu)造不等式

點(diǎn)在曲線(xiàn)內(nèi)，或曲線(xiàn)外，或在曲線(xiàn)的上、下、左、右，都可以用不等式來(lái)描述，利用這個(gè)不等式有時(shí)也可得到參數(shù)的取值范圍，例1中的思路2就體現(xiàn)了這個(gè)方法。

思路：利用點(diǎn)差法求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，而中點(diǎn)又在橢圓內(nèi)部。

三、利用幾何特征構(gòu)造不等式

圓錐曲線(xiàn)是數(shù)與形的結(jié)合體，從幾何角度看，它也具有幾何圖形的特征，利用這些特征也可以構(gòu)造不等式，如三角形的兩邊之和大于第三邊、直角三角形的斜邊大于直角邊、圓中的直徑是最長(zhǎng)的弦等。

例3：已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，對(duì)于左支上任意一點(diǎn)P都有為實(shí)半軸長(zhǎng))，則此雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是( )。

求雙曲線(xiàn)與橢圓的離心率的取值范圍，一般需構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a,b,c的不等式，屬于較難的一類(lèi)問(wèn)題，往往要從幾何圖形中去找，或利用雙曲線(xiàn)與橢圓的幾何性質(zhì)。

四、利用函數(shù)的值域構(gòu)建不等關(guān)系

對(duì)于某些取值范圍問(wèn)題，可以通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系，把取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，即利用函數(shù)的值域構(gòu)建不等關(guān)系。

當(dāng)所求問(wèn)題的取值范圍的量可以寫(xiě)成關(guān)于某個(gè)函數(shù)關(guān)系時(shí)，一般可采用函數(shù)思想來(lái)解，但必須先明確這個(gè)函數(shù)的定義域，這樣才可通過(guò)定義域求出函數(shù)的值域，即得到原問(wèn)題的取值范圍。

結(jié) 語(yǔ)

從以上四個(gè)例子分析可以看出，對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的取值范圍問(wèn)題，可利用根的判別式構(gòu)造不等式，利用點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系構(gòu)造不等式，利用幾何特征構(gòu)造不等式，利用函數(shù)的值域構(gòu)建不等關(guān)系。構(gòu)造不等式應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，數(shù)形結(jié)合是根本[2]。